Момент инерции твёрдого тела

Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где - масса -й частицы тела, - ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела , расстояние от нее до начала координат (т. о) , а координаты, соответственно, (рис. 58).

Момент инерции относительно т. О по определению равен (250)

(рис. 58)

а относительно координатных осей:

(251) (252) (253)

Сравнивая (230), (231), (232) и (233), получим связь момен­та инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

(254)

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде

(продолжение 1) 31. Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера. Моменты инерции тел простой формы

Теорема Штейнера

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось , параллельную заданной оси (рис. 61). Расстояние между осями равно . Выберем частицу тела массы , настояние от нее до осей и указаны на рисунке.

Момент инерции тела относительно по определению: (262)

Из геом-ких соображений:

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

(263)

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М - масса тела.

В последнем слагаемом:

 

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

(продолжение 2) 31. Моменты инерции тел простой формы

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящий через его центр масс.

Если стержень имеет массу и длину , а ось проходит через центр масс стержня (рис. 59), то коор­динаты левого и правого концов стерж­ня равны - и . Выделим в стержне на расстоянии от оси малый его участок длины . Его мо­мент инерции относительно равен: (256)

Интегрируя (236), получим: (257)

Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

Размеры тонкой пластины массы приведены на рис. 60, выделим в пластине на расстоянии от оси узкий слой ширины и запишем его момент инер­ции:

(258)

Интегрируя (258), получаем:

(259)

Момент инерции однородного шара относительно его центра.

Пусть масса шара равна , а радиус . Выделим в шаре тонкий сферический слой радиуса , толщины , момент инерции которого относительно центра шара равен

(260), где:

Интегрируя (260), получим искомый результат:

32. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(264)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(265)

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

В любой момент времени плоское движение можно представить, как вращение вокруг мгновенного центра вращения, пусть О -мгновенный центр вращения, а т. С - центр с масс тела. Тогда: (266)

где: и - моменты инерции тела относительно осей, проходя­щих через центр масс и мгновенный центр вращения, - расстояние между осями, . - скорость центра масс поступательной час­ти движения), (омега) - угловая скорость вращения вокруг оси, прохо­дящей через центр масс.

Вращательное движение

СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Момент импульса тела в произвольном случае его вращения не совпадает по направлению с вектором угловой скорости вращения. Тем не менее, существует такие оси, при вращении вокруг которых момент импульса и угловая скорость по направлению сов­падают. Такие оси называются главными осями инерции (свободными осями вращения). Таких осей в каждом теле три, все они взаимноперпендикулярны и проходят через центр масс тела, поэтому их удобно принимать в качестве системы отсчета для каждой из этих осей , , .

В случае произвольного по форме тела легко показать, что и (омега) не совпадает по направлению (рис. 62).

Кинетическая энергия тела при таком вращении может быть представлена суммой энергий вращения вокруг трех главных осей:

или:

или:

 

или:

Напр-е векторов и можно указать заданием направляющих косинусов, например:

(продолжение) 32. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

очевидно, что направления и совпадают в том слу­чае, если: (267)

Твердое тело, отвечающее условию (267), называется шаровым волчком. Твердое тело, у которого , называется симметричным волчком с осью симметрии .

Твердое тело, у которого все три главных момента инерции различны, называет несимметричным волчком .

СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Свободным называют такое вращение тела, при котором сумма моментов внешних сил, приложенных к телу, равна нулю:

Отсюда следует, что при свободном вращениии.

Рассмотрим свободное вращение симметричного волчка с осью симметрии .Кинетическая энергия для него равна:

В этом выражении первое слагаемое постоянно, следовательно, постоянно и второе, т.е.:

(268)

Учитывая, что получаем: (269)

Написав выражение для кинетической энергии в виде:

делаем вывод, что: (270)

наконец, кинетическую энергию представим в виде:

(271)

где a - угол между векторами и .Из (271) следует, что,

(272)

Учитывая (269), (270), (271),(272) свободное вращение тела можем представить как вращение оси симметрии тела вокруг неподвижного направления . При этом относительное расположение , и со временем сохраняется (рис.53). Такое вращение при отсутствии моментов внешних сил называется регулярной прецессией. Тело вращается вокруг оси симметрии со скоростью , a сама ось описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг неподвижного направления с угловой скоростью прецессии .

Т. o. для вращающегося тела можно выделить три оси - момента импульса., угловой скорости и оси симметрии.