Квантовомеханическое описание движения частицы.

Квантовомеханическое описание движения частицы.

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой: f=Qφ

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q: Qφ=qφ.

Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).

При измерении физической величины q, представляемой оператором Q, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Среднее значение q: <q> = QΨdV, здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.

Важнейшие операторы физических величин

1. Оператор координаты x=x; xψ(x,y,z)=xψ(x,y,z)

2. Оператор импульса p=-ih ,здесь i – мнимая единица.

3. Оператор момента импульса L= [r,p]

4. Оператор кинетической энергии

здесь D= ² – оператор Лапласа, m – масса частицы.

5. Оператор полной энергии – гамильтониан H =T+ U(x,y,z,t)

U(x,y,z,t)– силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.

6)Уравнение Шрёдингера
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:
(38.4) или
– временнόе уравнение Шрёдингера.
Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется. 302
Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера раз-
деляется на два множителя: (38.5)
где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера
(38.4): Hψ=Wψ (38.6)
–стационарное уравнение Шрёдингера.
Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины.

Потенциальная яма – область пространства, в которой находится минимум потенциальной энергии частицы. В данной задаче рассматривается потенциальная яма бесконечной глубины, т. е. в области длиной l потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а во всём остальном
пространстве она стремится к бесконечности. В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е. ψ­₁, ψ₂=0
Уравнение Шрёдингера для области II (38.9)
Введём обозначение
тогда уравнение (38.9) примет вид
Решение этого уравнения

 

Постоянные A и j найдём из свойств волновой функции. Волновая функциядолжна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:
Поэтому

 

Энергия частицы
Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.
Условие нормировки:
Итак,
Квантование энергии

Интервал энергий между соседними уровнями при достаточно больших n.

 

Формула Планка. Законы излучения чёрного тела

Энергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме V:dW= εdN_ε.
Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения: u_ω,T =dW/Vdω = ħωdN_ε /(Vdω).
Подставив сюда выражение (43.3), получим

Из соотношения r_ω,T= u_{ω, T}*v/4 следует, что-------------------------------------------------------®

 

 

Из r_λ,T= r_ω,Tdω/ dλ=(2πv/λ²) r_ω,Tследует

 

Итак, – формула Планка.

 

Законы излучения чёрного тела
1. Закон Кирхгофа
2. Закон Планка
3. Закон Стефана-Больцмана: интегральнаяизлучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры: R_T=σT⁴, где σ = 5,67*10^-8 Вт/К – постоянная Стефана-Больцмана.
4. Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре: λ_mT=b где b = 2,90∙10^–3м∙К – постоянная Вина.

5. Формула Рэлея-Джинса

Из классических соображений можно получить формулу: r_ω,T= ω²kT/2πc²– формула Рэлея-Джинса.

Из этой формулы следует R_T= òr_ω,T dω®∞

– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии. Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энергии.

Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых частотах излучения :

24)Оптическая пирометрия
Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.
Пирометры:

1.радиационные регистрируют интегральное излучение нагретого тела
2.оптические регистрируют излучение нагретого тела на узком участке спектра

Поток излучения Φ – средняя мощность оптического излучения за время, много большее периода световой волны.
♦Энергетическая освещённость – поток излучения, приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет: E=dΦ/dS
♦Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении, приходящийся на единичный телесный угол: I =dΦ/dΩ.
♦Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали: B=dI/dScosφ.Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС.

 

♦Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):
b_ω=dB/dω; b_λ=dB/dλ.
♦Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:B⁰(T_p)=B.

♦Яркостная температура Tя – температура чёрного тела, при которой его спек- тральная плотность энергетическая яркость равна спектральной плотности энер- гетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:
b⁰_λ(Tя)=b_λ.
♦Цветовая температура Tц – температура чёрного тела, при которой относи- тельные распределения спектральной плотности энергетической яркости иссле- дуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:
Обычно λ1 = 660 нм (красный) и λ2 = 470 нм (зелёно-голубой).
Цветовая температура серого тела совпадает с её истинной температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.

Кварковая модель адронов

1. Все адроны состоят из частиц, называемых кварками. Имеется 6 типов (ароматов) кварков (см. ТАБЛ.).
Все кварки имеют спин s = 1/2, дробный электрический заряд, барионный заряд B =1/3.
Антикварки отличаются от кварков знаками зарядов Q, B, S, C, b, t.
Лептоны и кварки группируются в три поколения (ТАБЛ. 50.1). Частицы I поколения – самые лёгкие, III поколения – самые тяжёлые.
Поколения лептонов и кварков

2. Взаимодействие кварков и образование адронов
Сильное взаимодействие между кварками осуществляется через обмен глюонами g.

Фейнмановская диаграмма взаимодействия кварков показан на РИС. Спин глюона s = 1, чётность P = –1.

Кварки не наблюдаются в свободном состоянии. Имеет место пленение кварков – конфайнмент.
Мезоны состоят из кварка и антикварка.
Барионы состоят из трёх кварков; гипероны состоят из трёх кварков, не все из которых – u или d.

Спин адрона: , L- сумма орбитальных моментов кварков, L _s- сумма спиновкварков
Системы, состоящие из одной и той же комбинации кварков, но с разным суммарным спином, являются разными элементарными частицами!
3. Цвет. Кварки характеризуются ещё одним квантовым числом – цветом. Цвет может принимать три значения (красный, желтый, синий). При испускании и поглощении глюонов кварк изменяет цвет, но его аромат при этом сохраняется.
Антикварки характеризуются антицветом. Глюоны характеризуются цветом и антицветом.

Закон сохранения цвета: цветовой заряд закрытой системы не изменяется.

Закон сохранения цвета не выполняется в процессах, обусловленных слабым взаимодействием.
Так как глюон имеет цветовои заряд, он испускает глюоны. На расстояние больше r₀ цветовые заряды вырваться не могут. Поэтому в свободном виде могут существовать только бесцветные (белые) комбинации цветовых зарядов.
Принцип бесцветности адронов: возможны только такие сочетания кварков разных цветов, смесь которых бесцветна.
4. Распад кварков
Аромат кварков может изменяться в процессах, обусловленных слабым взаимодействием.

 

Квантовомеханическое описание движения частицы.

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой: f=Qφ

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q: Qφ=qφ.

Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).

При измерении физической величины q, представляемой оператором Q, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Среднее значение q: <q> = QΨdV, здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.

Важнейшие операторы физических величин

1. Оператор координаты x=x; xψ(x,y,z)=xψ(x,y,z)

2. Оператор импульса p=-ih ,здесь i – мнимая единица.

3. Оператор момента импульса L= [r,p]

4. Оператор кинетической энергии

здесь D= ² – оператор Лапласа, m – масса частицы.

5. Оператор полной энергии – гамильтониан H =T+ U(x,y,z,t)

U(x,y,z,t)– силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.

6)Уравнение Шрёдингера
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:
(38.4) или
– временнόе уравнение Шрёдингера.
Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется. 302
Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера раз-
деляется на два множителя: (38.5)
где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера
(38.4): Hψ=Wψ (38.6)
–стационарное уравнение Шрёдингера.
Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде: