Распределение Больцмана. Барометрическая формула. — КиберПедия 

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...

Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...

Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

2018-01-04 176
Распределение Больцмана. Барометрическая формула. 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

 

Рассмотрим модель идеального газа. Применим к частице идеального газа каноническое распределение Гиббса в форме

 

(38.1)

 

Поставим задачей найти вероятность обнаружения частицы в присутствии внешнего потенциального поля в любом микросостоянии с импульсами в интервалах рх¸ рх + dрх ; ру¸ ру + dру; pz¸ pz + dpz; и с координатами в интервалах х ¸ х + dх; у ¸ у + dу; z ¸ z + dz; Тогда распределение (38.1) сводится к виду

(38.2)

 

здесь e = e(рхуz, х,у,z) есть сумма кинетической энергии поступательного движения и потенциальной энергии частицы; e = eкхуz) + eп (х,у,z); eк = (рх2 + ру2 + рz2)/2m; потенциальная энергия , предполагается определенной в каждой точке пространства с радиус-вектором r = x ex + у eу + z ez. Коэффициент с находится из условия нормировки.

Распределение (38.2) называют распределением Больцмана или, иногда, распределением Максвелла-Больцмана. Последнее название связано с тем, что распределение (38.2) можно представить в виде произведений двух множителей

(38.3)

где

(38.4)

Выражение (38.4) - одна из форм записи уравнений Максвелла. Если eп = 0 во всех точках пространства, то распределение (38.2) переходит в распределение Максвелла. Второй множитель

(38.5)

описывает вероятность обнаружения частицы в элементарном объеме dV = dxdуdz в окрестностях точки с координатой r где потенциальная энергия составляет eп(r). Если плотность частиц в состоянии с нулевой потенциальной энергией (eп = 0) есть nо(0), то в объеме dV в среднем будет находится

(38.6)

частиц.

Локальная плотность частиц в состояниях с энергией eп составит

 

(38.7)

 

Это выражение носит название формулы Больцмана; оно справедливо для потенциальных полей любой физической природы. На рисунке показаны зависимости плотности распределения no(eп) от энергии eп для двух температур.

Формула Больцмана как распределение частиц по потенциальным энергиям отражает единство двух противоположностей. Под действием сил потенциального поля частицы стремятся в состояние с минимальной энергией (принцип Ле-Шателье), но этому препятствует тепловое движение молекул, устанавливающее равновесие. Поэтому формула Больцмана, как и Максвелла, отражает подвижное, динамическое равновесие; оценки средних с использованием этих соотношений имеют среднестатистический, вероятностный характер.

Частным видом потенциального поля является поле силы тяжести, для него eп(h)= mgh (h - высота над уровнем моря). Подставляя eп(h) в (40.7), сразу находим плотность распределения молекул воздуха по высоте.

 

(38.8)

Здесь nо(0) - плотность молекул при h = 0, т.е. на уровне моря. От (38.8) сразу перейдем к давлению р(h) = no(h)kT, т.е. к барометрической формуле

(38.9)

Давление газа в поле силы тяжести меняется по экспоненциальному закону в зависимости от высоты и уменьшается в e раз при поднятии на характеристическую высоту ho = kT/mg (для атмосферы Земли hо @ 10 км). Барометрическая формула в реальных условиях дает приближенный результат: она не учитывает зависимости температуры воздуха и ускорения от высоты.

 


Поделиться с друзьями:

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...

Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.009 с.