Замена переменных в двойном интеграле — КиберПедия 

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...

Замена переменных в двойном интеграле

2018-01-04 307
Замена переменных в двойном интеграле 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где – непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что x и y – непрерывно дифференцируемые в Δ функции. Будем также использовать обозначения

.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение квадрируемых областей: . Кроме того, потребуем, чтобы всюду на области Δ не равнялся 0 якобиан отображения
.

Теорема 1.5. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции выполняется равенство

.

►Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку – непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области Δ прямыми, параллельными осям u и v. Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому и определённые выше векторы мало отличаются от векторов и , соответственно, и рассматриваемый четырёхугольник представляет собой «почти параллелограмм».

Как известно из курса линейной алгебры, площадь параллелограмма со сторонами

 


равна модулю определителя, составленного из координат этих векторов,

,

т.е равна . Поэтому при сделанном преобразовании координат интегральная сумма

близка по величине к интегральной сумме

.

Точнее говоря, можно доказать, что соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства, отличаются друг от друга на стремящуюся к нулю величину. Поэтому и интегралы совпадают.◄

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

Переход к полярным координатам. Вычисление

Пусть требуется вычислить по области, которая задаётся в полярных координатах условиями

Сделаем замену переменных

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке (0,0) соответствует целый отрезок на оси . Однако и точка, и отрезок имеет нулевую площадь, и теорема, с учётом замечания, справедлива. Осталось вычислить якобиан преобразования.

Следовательно,

.

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример.

Пример. Найти .

Решение. — это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению,

.

Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме о сравнении, так как при справедливо неравенство,из которого следует, что , а интеграл , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, т.е.

,

имеем

,

где — квадрат, а — четверти круга, соответственно, радиусов и . Так как , то по свойствам 2, 3 двойного интеграла .

В интеграле перейдем к полярным координатам:

.

Аналогично,

и .

При стремлении к получаем, что

, то есть .

Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемое множество . Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей. Разбиение на части также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения множества на части и для выбранных точек интегральную сумму

,

где обозначает объем части.

Определение. Пусть такое число, что .

Тогда мы говорим, что функция интегрируема на множестве, число есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла.

Теорема 2.1. Ограниченная на кубируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве, то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе кусочно-гладких поверхностей, лежащих на и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на.

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема 2.3. Пусть задана следующими неравенствами:

,

где — квадрируемая область на плоскости, непрерывные функции. Тогда

.

Замечание. Если область задана неравенствами , где — непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема 2.4. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции — непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке .Пусть всюду в области

Пусть — непрерывная функция. Тогда

.

Как и для двойного интеграла, теорема остается верной в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример 1. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен

.

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен

(разложение определителя по 3-й строке)

(выделение общих множителей у столбцов)

.

Часто используется интеграл (вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведем его к значениям эйлеровых интегралов см. приложение 3:

|=

Эйлеровы интегралы

Гамма-функция

Рассмотрим несобственный интеграл

(1)

как функцию от s и выясним область ее определения. Для этого представим интеграл (1) в виде суммы несобственных интегралов

.

Поскольку для всех и всех , а эталонный интеграл сходится при ; т.е. при , и расходится при , то, по признакам сравнения несобственных интегралов, интеграл сходится при всех и расходится при.

Поскольку для любого и сходится, то по аналогичному признаку сравнения заключаем, что несобственный интеграл сходится при всех.

Окончательно, несобственный интеграл (1) сходится только при; т.е. областью определения гамма-функции Г(s) служит множество всех положительных чисел.

Интегрируя по частям (подстановка верхнего предела означает переход ),

. (2)

Формула , задает функциональное уравнение для гамма-функции.

Покажем, что при , где n-натуральное число, ; т.е. гамма-функция есть обобщение понятия факториала. При

.

При, где n-натуральное число большее 1, пользуемся функциональным уравнением

.

Положив 0!=1, получим, что равенство выполняется для всех натуральных чисел.

Известно, что гамма-функция Эйлера бесконечно дифференцируема на , выпукла вниз и её минимум приходится в точке интервала , поскольку .

Бета-функция

Эйлером предложен также несобственный интеграл

(3)

как функция параметров , которую называют бета-функцией. Представим интеграл (3) в виде суммы двух слагаемых

,

где имеет особенность только в точке , а - только в точке .

Поскольку для любого функция положительна, непрерывна и ограничена на отрезке , то существуют постоянные , что для всех и всех . Поэтому, как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что интеграл сходится для всех только при .

Аналогично, функция положительна, непрерывна и ограничена на отрезке для любого, и, следовательно, существуют , что для всех и всех.

Поэтому несобственный интеграл сходится для каждого только при .

Окончательно, бета-функция определена только для и.

Совершая в интеграле (3) замену переменной интегрирования , получим

. (4)

Формула (4) указывает на свойство симметричности бета-функции Эйлера.

Интегрируя в (3) по частям и используя разложение , получим

откуда

(5)

В силу симметричности функции имеем также

(5’)

Формулы (5) и (5’) называют функциональными уравнениями для бета-функции.

Если то согласно (5)

Но

Так что

(6)

Если то (6) принимает вид

Так как то мы доказали частный случай

замечательной формулы Эйлера

Гамма-функция и бета-функция, как и экспоненциальная функция, играют фундаментальную роль в математике и её приложениях.

Сформулируем без доказательств несколько важных свойств этих функций.

Для любого , выполняется равенство , называемое формулой дополнения. Из этого, в частности, следует, что

и, следовательно, .

Бета-функция допускает ещё представление в виде интеграла

Часто используется интеграл (Вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведём его к значениям эйлеровых интегралов:

Формула Стирлинга

К настоящему моменту времени свойства гамма-функции изучены достаточно глубоко. В частности, для неё доказано следующее асимпототическое представление

(7)

называемое формулой Стирлинга. Для натуральных , когда , формула (7) после несложных преобразований принимает вид

где

 


Поделиться с друзьями:

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.007 с.