Вращательное движение. Момент силы и импульса. Центр масс. Момент инерции

5.1. Гладкий легкий горизонтальный стержень AB может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец A. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная невесомой пружиной длиной L₀ с концом A. Жесткость пружины k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему раскрутить до угловой скорости ω?

5.2. Стержень длиной L и массы m находится на гладкой горизонтальной поверхности и вращается вокруг одного из своих концов с угловой скоростью ω. Чему равно натяжение стержня на расстоянии x от свободного конца?

5.3. Стержень массой m и длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. В начальный момент стержень занимает вертикальное положение (над осью). Найдите реакцию оси при прохождении стержнем горизонтального положения. Трудная

5.4. Кольцо радиусом R, вращающееся с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, плавно опускается на горизонтальную плоскость. Сколько оборотов сделает кольцо до остановки? Коэффициент трения кольца о плоскость равен μ.

5.5. Вращающийся диск радиусом R прижимается к шероховатой поверхности силой F. Найти момент сил трения, действующих на диск, если коэффициент трения между поверхностью и диском равен μ. Стержень массой m и длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. В начальный момент стержень занимает вертикальное положение (над осью). Найдите реакцию оси при прохождении стержнем горизонтального положения.

5.6. Блок, имеющий форму диска, массы m=0,4 кг вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁=0,3 кг и m₂=0,7 кг. Определить силы натяжения T₁ и T₂ нити по обе стороны блока.

5.7. К краю стола прикреплен блок в форме диска. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения μ между грузом и горизонтальной поверхностью стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы, и грузы движутся с ускорением a=2 м/с². Нить движется по блоку без проскальзывания, трение в оси блока не учитывать.

5.8 К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок в форме диска, подвешены грузы массы m₁=0,2 кг и m₂=0,3 кг. Ось блока движется вертикально вверх с ускорением a=2 м/с². Во сколько раз отличаются силы натяжения нитей по обе стороны блока, если его масса m=0,4 кг? Нить движется по блоку без проскальзывания, трение в оси блока не учитывать.

5.9. Платформа в виде диска диаметром D=3 м и массы m₁=180 кг может вращаться без трения вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью ω₁ будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массы m₂=70 кг со скоростью v=1,8 м/с относительно платформы?

5.10. Однородный стержень длиной L = 1 и массой m ₀ = 0,5 кг может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массы m = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. На какой угол отклонится стержень от начального вертикального положения в результате попадания пули? Cкорость пули v =360 м/с.

5.11.Шарик массы m=50 г, привязанный к концу нити длиной L₁=1 м, вращается с частотой n₁=1 об/с, опираясь на гладкую горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния L₂=0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу A совершает внешняя сила, укорачивая нить?

5.12. Две материальные точки с массами m₁=40 г и m₂=120 г соединены стержнем длиной L=20 см и массой m=100 г. Система вращается вокруг оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через середину стержня. Определить импульс и момент импульса системы, если угловая скорость вращения ω=10 рад/с.

5.13. Двигатель равномерно вращает маховик. После отключения двигателя маховик останавливается через t=30 с, сделав N=120 оборотов. Момент инерции маховика I=0,3 кг×м². Принимая, что угловое ускорение маховика после отключения двигателя постоянно, определить мощность двигателя при равномерном вращении маховика.

5.14. Материальная точка с массой m движется по окружности радиуса R с постоянным тангенциальным ускорением. К концу n-го оборота кинетическая энергия точки становится равной W. Найти значение тангенциального ускорения.

5.15. Тело массы m, подвешенное на нити длиной L, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. Угловая скорость вращения равна ω. Определить угол α, который образует нить с осью вращения и силу натяжения нити F.

5.16. Шарик, подвешенный на нити, движется по инерции в горизонтальной плоскости, отстоящей от точки подвеса на расстояние h=10 см, по окружности радиусом R=2 см. Найдите линейную скорость шарика.

5.17. Длинный однородный стержень может выдвигаться из горизонтально расположенной цилиндрической трубки. Если масса выдвинутой части m₁, то стержень обламывается под собственным весом. Какова может быть максимальная масса груза, находящегося на конце стержня, чтобы стержень не обломился при массе выдвинутой части m₂ (m₂<m₁)?

5.18. Тело массы 2 кг брошено под углом 60^о к горизонту со скоростью 100 м/с. Найти момент импульса тела относительно оси, проходящей через точку бросания перпендикулярно плоскости движения спустя 5 с после броска.

5.19. Найти момент инерции конуса массы m, высотой h с радиусом основания R относительно его оси.

5.20. Диск скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равно ускорение диска?

5.21. Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой h=15 см. Определить скорость v поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости.

5.22. По наклонной плоскости, составляющей угол α=30° с горизонтом, скатывается без скольжения цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

5.23. Однородный тонкий стержень длиной L висит на горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую минимальную начальную угловую скорость ω надо сообщить стержню, чтобы он совершил полный оборот вокруг своей оси?

5.24. Найти кинетическую энергию вращения Земли, если радиус ее 6400 км и средняя плотность 5,5 г/см³.

. 5.25. Плот с массой m₀ и длиной L неподвижен на стоячей воде. С противоположных концов плота одновременно начинают двигаться навстречу друг другу два человека с массами m₁ и m₂. Найти смещение плота в момент, когда человек с массой m₁ пройдет весь плот, а человек с массой m₂ будет на середине плота.

5.26. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h=520 км. Определить период обращения спутника, а также его угловую и линейную скорости. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

5.27.Определите среднюю плотность планеты, продолжительность суток на которой шесть часов. На экваторе этой планеты пружинные весы показывают на 10% меньший вес, чем на полюсе. Гравитационная постоянная G=6,67∙10^-11 м³.

5.28. Спутник, движущийся по круговой орбите вблизи поверхности некоторой планеты, совершает один оборот за время T ₁. Если же круговая орбита проходит на высоте h от поверхности планеты, то период обращения спутника равен T ₂. Каково ускорение свободного падения тел вблизи поверхности планеты?

5.29. Две стороны проволочной рамки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной L=1 м, сделаны из алюминиевой проволоки, а третья – из медной такого же диаметра. На каком расстоянии от середины медной проволоки в направлении перпендикуляра к ней, находится центр масс системы? Плотность медной проволоки в 3 раза больше плотности алюминиевой.

5.30. Найти момент инерции тонкой прямоугольной пластинки относительно оси перпендикулярной поверхности пластинки и проходящей через одну из ее вершин. Масса пластинки m, длина сторон a и b.

 

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ

 

.

6.1. Сосуд с водой уравновешен на одной из чашек рычажных весов. В сосуд опускают подвешенный на нити металлический брусок массы m так, что он оказывается полностью погруженным в воду, но не касается стенок и дна сосуда. Какой груз и на какую чашку надо положить, чтобы восстановилось равновесие? Плотность металла ρ_м, воды ρ_в.

6.2. Деревянный кубик плавает в воде так, что в воду погружено 90% его объема. Какая часть объема будет погружена в воду, если поверх воды налить слой масла с плотностью ρ=0,8 г/см³, полностью закрывающий кубик? Плотность воды ρ_в.

6.3. В сообщающихся сосудах, диаметры которых относятся как 1:2, находится вода. В широкий сосуд наливают дополнительно столб масла высотой H₀. На сколько поднимется уровень воды в узком сосуде? Плотность воды ρ₁, масла ρ₂<ρ₁.

6.4. Два тела, имеющие одинаковый объем v и плотности ρ и 2ρ, неподвижно висят в жидкости, связанные нитью. Определить натяжение нити.

6.5 На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями ρ₁ и ρ₂ плавает шар так, что отношение объемов погруженных в жидкости частей шара равно V₁/V₂=n. Найти плотность вещества шара.

6.6. Сплошное однородное тело, погруженное в жидкость с плотностью ρ₁, весит P₁, а в жидкость с плотностью ρ₂ – весит P₂. Найти плотность вещества тела.

6.7. В жидкостях с плотностями ρ₁ и ρ₂ вес тела равен P₁ и P₂ соответственно. Найти вес тела в жидкости с плотностью ρ₃.

6.8. В сосуд с вертикальными стенками и сечением S налита жидкость с плотностью ρ. Чему равно изменение уровня жидкости, если в сосуд опустить тело массой m, которое не тонет?

6.9. Слиток сплава двух металлов с плотностями ρ₁ и ρ₂ весит в воздухе P₁, а в воде –P₂. Найти вес каждого из металлов в слитке.

6.10. Из трубы сечением S₁ бьет вертикально вверх струя воды. Найти сечение струи на высоте h над отверстием трубы. Расход воды из трубы равен Q.

6.11. При переходе из моря в реку с корабля сняли груз, при этом осадка судна не изменилась. Масса корабля с оставшимся грузом составляет 4000 т, плотность морской воды равна 1030 кг/м³, речной–1000кг/м³. Чему равна масса снятого груза?

6.12. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни сечением 1000 см² и 10 см². На большой поршень становится человек массой 80 кг. На какую высоту поднимется при этом малый поршень? Плотность воды ρ_в.= 1000 кг/м³.

6.13. Льдина площадью поперечного сечения S=1 м² и высотой H=0,4 м плавает в воде. Какую работу A надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность воды ρ_в.= 1000 кг/м³, льда ρ_л=900кг/м³.

6.14. Резиновый мячик с массы m и радиусом R погружают в воду на глубину h и отпускают. Найти высоту, на которую подпрыгнет мячик в воздухе. Плотность воды равна ρ. Сопротивлением воздуха пренебречь.

6.15. Шарик массы m=60 г лежит на дне пустого сосуда. В сосуд наливают жидкость так, что объем погруженной в жидкость части шарика в k=6 раз меньше его собственного объема. Найти силу давления шарика на дно сосуда, если плотность материала шарика в n=3 раза меньше плотности жидкости.

6.16. Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту h по трубе постоянного сечения S. Какова должна быть мощность насоса? Плотность воды ρ, начальная скорость воды равна нулю.

6.17. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v₁=2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях равна Δр=6.55 кПа. Плотность нефти 800 кг/м³.

6.18.Два шарика радиусами R₁и R₂ изготовленные из материалов с плотностями ρ₁ и ρ₂, соединены невесомым стержнем длиной L. Затем вся система помещена в жидкость с плотностью ρ_, причем ρ < ρ₁ и ρ < ρ₂. В какой точке стержня нужно его подвесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?.

6.19. Шарик с плотностью материала ρ падает с высоты h в жидкость с плотностью ρ₁ (ρ < ρ₁). Найти глубину погружения и время подъема шарика на поверхность жидкости.

6.20. Аквариум имеет форму куба со стороной а=60 см. До какой высоты h надо налить в него воду, чтобы сила давления на боковую стенку была в 6 раз меньше, чем на дно? Атмосферное давление не учитывайте.

6.21. Направленная горизонтально струя воды бъет в вертикальную стенку. С какой силой F струя давит на стенку, если скорость истечения воды v = 10 м/с. и вода поступает через трубку с сечением S = 4 см²? Считать, что после удара вода стекает вдоль стенки.

6.22. Площадь поршня в шприце равна S₁, а площадь отверстия на выходе равна S₂. Ход поршня равен L. На поршень действует сила F. Найти скорость и время вытекания воды из шприца, если он расположен горизонтально, а скорость движения поршня постоянна. Плотность воды ρ.

6.23. Определить силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом V=10 см³, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.24. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d=1 см. Диаметр сосуда D=0,5 м. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h=0,2 м. Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.25. В сосуд льется вода, причем за одну секунду наливается V=0,2 л воды. Каков должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда. Чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне, равном h=8,3 см? Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

6.26. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на шарик, больше веса этого шарика?

6.27. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м³. Диаметр трубы равен 2 см.

6.28. Полый шар с плотностью материала ρ₁ плавает на поверхности жидкости с плотностью ρ₂. Найти плотность вещества, которым следует заполнить полость, чтобы шар находился в состоянии безразличного равновесия внутри жидкости. Радиус шара равен R₁, радиус полости-R₂.

6.29.На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.

6.30. Стеклянный шарик весит в воздухе P₀=0,5 Н, в воде P₁=0,32 Н, и в спирте P₂=0,35 Н. Определите плотность стекла ρ₀ и спирта ρ_2.

Найдите зависимость сечения круглой трубы от координаты x, при которой идеальная жидкость будет двигаться по ней с ускорением a, если в сечении S ₀, имеющем нулевую координату, скорость жидкости равна u ₀? ()

 

 

 

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

 

7.1. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.

7.2. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой Е_к=500 МэВ и импульс p=865 МэВ/c, где c – скорость света.

7.3. Ядро с массой покоя m, движущееся со скоростью v=0,6 c, ударяет в такое же неподвижное ядро. Образуется новое составное ядро. Чему равна скорость составного ядра? Чему равна масса покоя составного ядра?

7.4. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы Δt=10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни Δt=20 нс?

7.5. Два стержня одинаковой собственной длины L₀ движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью v относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?

7.6. За промежуток времени Δt = 1,00 с, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета К, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы К в точку с координатами x = y = z= 1,5×10⁸ м. Найти промежуток собственного времени частицы Δt₀, за который произошло это перемещение.

7.7. Скорость тела возросла на 20%. На сколько процентов при этом уменьшилась его длина?

7.8. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v=0,4с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β–частицу (электрон) со скоростью u=0,75с относительно ускорителя. Найти скорость v₀ частицы относительно движущегося ядра.

7.9. Найти собственное время жизни частицы, если ее скорость отличается от скорости света в вакууме (с= 3·10⁸ м/с) на 20 %, а расстояние, пролетаемое до распада в лабораторной системе отсчета, равно 300 км.

7.10. Покоящаяся частица с массой m₁ распадается на две частицы, массы которых m₂ и m₃. Найти энергию каждой образовавшейся частицы и модули их противоположно направленных импульсов.

7.11. Плотность вещества тела в форме куба равна ρ₀. Какова плотность вещества с точки зрения наблюдателя, двигающегося вдоль одного из ребер куба со скоростью 0,8c?

7.12. С какой скоростью двигались в К системе отсчета часы, если за время t= 5 c (в К системе) они отстали от часов этой системы на 0,1 с?

7.13. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью v=3/4c, попали в неподвижную мишень с интервалом времени Δt= 50нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

7.14. Два стержня одинаковой собственной длины L₀ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов оказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительно другого?.

7.15. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,6с до 0,8с?.

7.16. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в пять раз больше энергии покоя.

7.17. Какую продольную скорость нужно сообщить стержню, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя?

7.18. Суммарная площадь поверхности неподвижного тела, имеющего форму куба равна S₀ Найти площадь поверхности того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью v= 0,968c.

7.19. При скорости частицы v₀ ее импульс равен p₀. Во сколько раз нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился?

7.20. В некоторый момент времени неподвижная частица с массой m₁ распалась на две частицы с противоположно направленными импульсами. Полная энергия каждой из образовавшихся частиц составляет Е₂ и Е₃ соответственно. Найти массы этих частиц.

7.21. Частица с массой m начала двигаться под действием постоянной силы F. Найти скорость частицы, которую она приобретет через время t после начала движения.

7.22. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна Е_к, а импульс равен p. Найти скорость и массу частицы.

. 7.23. Частица, имеющая кинетическую энергию Е_к, равную ее энергии покоя, испытывает неупругое столкновение с другой неподвижной частицей с такой же массой. В результате образуется составная частица с кинетической энергией Е_{к 1}. Найти массу составной частицы.

7.24. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

7.25. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его продольный размер стал в два раза меньше поперечного?

7.26. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v₁=0,6c и v₂= 0,9c вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

7.27. Длина стороны покоящегося квадрата равна а. Определить периметр квадрата, движущегося со скоростью v=c/2 вдоль одной из своих сторон.

7.28. При какой скорости v погрешность при вычислении импульса по ньютоновской формуле p=mv не превышает?

7.29. Над частицей массы =0,911× 10-³⁰ кг, двигавшейся первоначально со скоростью v₁ = 0,1 c, была совершена работа А = 8.24×10^-14 Дж. Как в результате этого изменилась скорость, импульс и кинетическая энергия частицы?

(Найти Δv, Δp и ΔЕ_к).

7.30. Какова должна быть кинетическая энергия частицы с массой m, чтобы ее собственное время стало в n раз меньше лабораторного?

 

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

 

8.1.Точка совершает гармонические колебания вдоль прямой линии. При движении между крайним положениями средняя скорость оказалась равной v=4 м/с. Найдите максимальную скорость.

8.2. Горизонтальная подставка с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с периодом T=0,5 с. Коэффициент трения бруска о подставку μ=0,1. При какой амплитуде колебаний A брусок проскальзывает на подставке при колебаниях?

8.3. Груз массы m=1кг, подвешенный на пружине жесткостью k=200 Н/м, находится на подставке. В начальной момент пружина не деформирована. Подставку быстро убирают. Определите максимальную скорость груза.

8.4. Тело массы m₁=1,4 кг прикреплено к горизонтально расположенной пружине и покоится на гладком горизонтальном столе. Второй конец пружины закреплен. В тело попадает шарик массы m₂=0,1 кг, летящий горизонтально со скоростью 30 м/с и застревает в нем. Определите циклическую частоту и амплитуду колебаний.

8.5. Шарик массы m=0,1 кг, подвешенный на пружине с жесткостью k=40 Н/м, лежит на подставке. Подставку быстро убирают. Какой путь пройдет шарик за 0,4π секунд после начала колебаний? Считайте, что в начальный момент пружина не деформирована.

8.6. На горизонтальной плите находится груз. Плита совершает вертикальные гармонические колебания с циклической частотой ω. Определите эту частоту, если груз начинает отрываться от плиты, когда плита за одно полное колебание проходит путь S=0,4 м.

8.7. На массивную чашку пружинных весов падает с высоты 6,9 см над ней кусок пластилина с такой же массой. Найти амплитуду начавшихся колебаний, если круговая частота колебаний ненагруженных весов равна ω=10 рад/с.

8.8. Пружинный маятник расположен горизонтально и состоит из тела, лежащего на гладком столе, и прикрепленной к нему пружины, второй конец которой закреплен. Период колебаний маятника равен 0,3 с, амплитуда колебаний 10 см. На каком расстоянии от положения равновесия нужно поставить упругую стенку, чтобы период колебаний стал равен 0,2 с?

8.9. Вертикально расположенный пружинный маятник находился в покое. Внезапно верхний конец пружины подняли вверх на 5 см. Найти максимальное ускорение груза маятника, если статическое удлинение пружины под действием его веса составляет 10 см.

8.10. Груз на пружине совершает гармонические колебания, описываемые уравнением x=0,05cos(πt/3) (м). Какой путь пройдет груз за 20 с от начала движения?

8.11. Найти минимальное неотрицательное значение фазы механического гармонического колебания, при которой кинетическая энергия системы равна потенциальной.

8.12. Два математических маятника с одинаковыми массами и длинами нитей L₁=0,72 м и L₂=0,5 м совершают гармонические колебания. Во сколько раз отличаются амплитуды их колебаний, если энергия колебаний одинакова?

8.13. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси x с частотой 0,5 Гц и амплитудой 10 см. За какое время точка проходит путь 4,1 см, двигаясь из крайнего положения?

8.13. Тело совершает гармонические колебания относительно положения равновесия. Точка 1 расположена на расстоянии A/3, а точка 2 – на расстоянии 2A/3 от этого положения. Чему равно отношение скоростей тела в этих точках (v₂/v₁)?

8.14. Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движется по закону x=a sin ωt, y=a sin 2ωt. Изобразить график траектории.

8.15. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с частотой ω₁=15 с^-1. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии L=20 см от нее небольшое тело массы m=50 г, то частота становится равной 10 с^-1. Найти момент инерции первоначального маятника относительно оси О.

8.16. Однородный стержень длины L совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью О, при котором период будет наименьшим. Чему он равен?

8.17. Тело массы m₀ под действием пружины совершает колебания с амплитудой A₀ на гладком горизонтальном столе. В тот момент, когда тело проходит положение равновесия, на него сверху падает и прилипает к нему кусок пластилина массы m. Чему будет равна амплитуда A колебаний?

8.18. Тело массы m=100 г совершает гармонические колебания. На расстояниях x₁=40 см и x₂=0,4 м от положения равновесия скорости тел равны v₁=3 м/с и 3 м/с соответственно. Найти полную энергию тела.

8.19. Обруч радиусом R=1 м может совершать малые колебания относительно горизонтальной оси, проходящей через одну из точек обруча, перпендикулярно его плоскости. Во сколько раз изменится период колебаний обруча, если в диаметрально противоположную точку поместить груз такой же массы?

8.20. Материальная точка совершает гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение x₀=4 см, а скорость v₀=10 см. Определить амплитуду A и начальную фазу φ₀ колебаний, если их период T=2 с.

8.21. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых x=Asin(ωt), где A=5 см, ω=2 с^-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией E_п=0,1 мДж, на нее действовала возвращающая сила F=5 мН. Найти минимальное значение этого момента времени.

8.22. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

8.23. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: 1) t=T/12, 2) t=T/8, t=T/6? Начальная фаза колебаний равна нулю.

8.24. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний равен 0,5 с. После того, как на чашку весов положили еще добавочные гири, период колебаний стал равен 0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?

8.25. Диаметр Юпитера равен 142800 км, а его плотность r=1330 кг/м³. Чему равен период колебаний математического маятника длиной L=1 м у поверхности Юпитера?

8.26. Длина нити одного из математических маятников на DL=15 см больше длины другого. За одно и то же время один из маятников делает N₁=7 колебаний, а другой N₂=8 колебаний. Чему равны периоды колебаний маятников?

8.27. Тело совершает гармонические колебания, которые описываются уравнением x=a sin(ωt–π/4), где a=4 см, ω=4 рад/с. Определите амплитуду и период этих гармонических колебаний. Найдите скорость тела в момент t₀=π/8 с. Какова координата тела в положении равновесия?

8.28. Когда груз подвесили к невесомой пружине, ее длина в положении равновесия стала равной L=18 см. Найдите длину L₀ пружины в недеформированном состоянии, если период вертикальных колебаний груза на этой пружине в n=3 раза меньше периода малых колебаний математического маятника с длиной нити, равной L.

8.29. Груз массы m=250 г, подвешенный на пружине, совершает колебания, описываемые уравнением x=0,4cos8t (м). Определить потенциальную и кинетическую энергию груза в момент времени, когда его смещение из положения равновесия x₁=0,3 м.

8.30. Два математических маятника с длинами нитей L₁=0,72 м и L₂=0,5 м совершают гармонические колебания. Во сколько раз отличаются амплитуды их колебаний, если энергия колебаний одинакова?

 

Тело массой 1 г совершает затухающие колебания с частотой 3,14 Гц. В течение 50 с оно потеряло 80% своей механической энергии. Определите коэффициент затухания и коэффициент сопротивления.