Вычисление положения спутника

В этом разделе показана связь геоцентрических координат с положением спутника, описанным в пространстве кеплеровских обрит. Сначала вернемся к элементам орбиты, перечисленным на Рис. 8.5. Шесть кеплеровских элементов орбиты являются важными для ее описания, поэтому они еще раз представлены в Таблице 8.4 в схематическом виде.

Остальная часть этого раздела неизбежно наполнена математикой; многие читатели пропустят математические выкладки и будут полагать, что геоцентрические координаты найдены.

Ось Х направлена в сторону пересечения экватора и меридиана Гринвича. Это направление мы будем рассматривать, как фиксированное. Ось Z сонаправлена с осью вращения Земли.

 

Z (Earth spin axis)	Z (Ось вращения Земли)
Orbit plane	Плоскость орбиты
Equator	Экватор
X (in Greenwich meridian)	X (на меридиане Гринвича)

 

Рисунок 8.5. Элементы орбиты Кеплера: большая полуось а, эксцентриситет е, наклон орбиты i, прямое восхождение Ω восходящего узла К, аргумент перигея ω и действительная аномалия f. Перигей обозначен P. Центр Земли обозначен через C.

 

Ось Y ортогональна этим двум направлениям и формирует правую координатную тройку.

Плоскость орбиты пересекает экватор Земли в узловой линии. Направление, в котором движется спутник с юга на север, называется восходящий узел К. Угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты называют наклоном орбиты и обозначают i. Угол из центра Земли С между K и перигеем называется аргументом перигея ω; он возрастает против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Z.

Рис. 8.6 показывает систему координат в плоскости орбиты с началом координат в центре Земли C. Ось

x направлена в сторону перигея, а ось h в сторону восходящего узла. Ось z перпендикулярна плоскости орбиты.

Из рисунка 8.6 можно определить эксцентрическую аномалию Е и действительную аномалию f.

 

Таблица 8.4. Элементы кеплеровской орбиты: положение спутника

 

а	Большая полуось	размер и форма орбиты
е	Эксцентриситет
ω	Аргумент перигея	Плоскость орбиты в видимой системе
Ω	Прямое восхождение восходящего узла
i	Наклон
μ	Средняя аномалия	Положение в плоскости

 

 

Circle	Круг
Center of circle	Центр круга
Center of Earth C	Центр Земли
Perigee	Перигей

 

Рисунок 8.6. Эллиптическая орбита в координатах (x,η). Действительная аномалия f на С.

 

Также можно легко получить

x = r cos f

h = r sin f

 

= a cos E - ae = a (cos E - e)

= b a sin E = b sin E = a a

 

sin E

Следовательно, вектор положения спутника r по отношению к центру Земли C определяется формулой

é x ù

é a (cos E - e) ù

r = ê h ú= ê a

ú

sin E

êú ê ú

(8.1)

ë

û

êë z úû ê 0 ú

Простая тригонометрия дает следующее выражение для нормы:

r = a (1- r cos E)

(8.2)

В общем, Е изменяется со временем, тогда как а и е практически постоянны. (Существуют длиннопериодные возмущения е и короткопериодные возмущения а.) Напомним, что ||r|| ‐ есть геометрическое расстояние между спутником S и центром Земли С = (0,0).

Введем среднее движение n, которое является средней угловой скоростью спутника. Если период одного оборота спутника Т, то мы имеем

T

n = 2 p

= (8.3)

Произведение GM было введено на стр. 46 со значением 3.986005*10¹⁴ м³/с². Это значение должно быть использовано для вычисления положения спутника (на основе вещательных эфемерид), хотя сейчас доступны уточненные значения GM; см. Раздел 8.10.

Обозначим через t₀ время пересечения спутником перигея, таким образом,

m (t) = n (t - t 0).

Знаменитое уравнение Кеплера устанавливает отношение между средней аномалией m и эксцентрической аномалией Е:

E = m + e sin E

Из уравнения (8.1) в итоге получаем:

h

(8.4)

f = arctan x

= arctan

cos E - e

(8.5)

Таким образом, мы связали действительную аномалию f, эксцентрическую аномалию E и среднюю аномалию m.

Эти отношения являются базовыми для всех вычислений позиции спутника.

Важно понять, что плоскость орбиты остается довольно стабильна по отношению к геоцентрической системе X,Y,Z. Другими словами, если взглянуть из космоса, плоскость орбиты остается фиксированной по отношению к экватору. Плоскость меридиана Гринвича вращается вокруг оси вращения Земли в соответствии гринвичским видимым звездным временем (ГВЗВ), т.е. со скоростью приблизительно 24 ч/день. Спутник GPS делает два оборота в день по своей орбите, со скоростью 3.87 км/с.

 

В плоскости орбиты декартовы координаты спутника S определяются выражением:

é rk cos f k ù

ú

ê

j j

rk sin f k

ê j j ú

ëê 0 úû

где

rk =|| r (t

) ||

берется из уравнения (8.2) с а, е и Е, вычисленными для t=t_j; см. Рис. 8.5.

j

j

Этот вектор поворачивается в системе координат X,Y,Z путем следующей последовательности трехмерных поворотов:

R (-W k) R (- ik) R (- w k)

3 j 1 j 3 j

Матриц, которая поворачивает плоскость X,Y на угол j и оставляет координату Z, имеет вид:

é cos j sin j 0ù

ê ú

R 3 (j) = ê-sin j cos j 0ú

(8.6)

ëê 0 0 1úû

Для вращения вокруг оси X используется матрица вида:

é1 0 0 ù

R (j) = ê0 cos j sin j ú

 

(8.7)

1 ê ú

êë0 -sin j cos j úû

В итоге, геоцентрические координаты спутника k во время t_j определяются выражением:

j

é X k (t)ù é rk cos f k ù

ú

ê Y k (t) ú= R (-W k) R (- ik) R (- wk) ê

j j

rk sin f k

 

(8.8)

ê j ú 3

j 1 j 3

j ê j j ú

êë Z k (t j) úû

ëê 0 úû

 

Однако, спутники GPS не следуют представленной теории нормальной орбиты. Мы должны использовать зависящие от времени, более аккуратные значения орбиты. Они описаны в, так называемых, широкодоступных эфемеридах; см. Раздел 8.2.2. Мы используем эти значения в процедуре, описанной ниже, и в итоге мы получаем набор переменных, которые должны быть подставлены в (8.8).

Очевидно, что этот вектор зависит от времени, и говорят об эфемериде (во множественном числе: эфемериды, ударение на слог “фем”) спутника. Это набор параметров спутника в определенные моменты времени. Каждый спутник передает свои уникальные эфемеридные данные.

Параметры, выбранные для описания действительной орбиты спутника GPS и ее искажений, схожи с элементами орбиты Кеплера. Эфемериды вычисляются с использованием мгновенной предшествующей части орбиты, они предсказывают последующую часть орбиты. Общедоступные эфемериды обладают точностью до 1‐2 метров. Для геодезических приложений требуется большая точность. Одна из возможностей получить более точные эфемериды – пост обработка, которая дает точность на уровне дм.

Эфемерида предназначена для использования, начиная со времени t_oe, исчисляемого в секундах недели

GPS. Это время номинально находится в середине интервала, для которого эфемерида используется. Общедоступные эфемериды предназначены для использования в этот период. Однако, они описывают орбиту с определенной точностью на два часа вперед. Вещательные эфемериды включают параметры, приведенные в Таблице 8.2. Коэффициенты С_ω, С_r и C_i корректируют аргумент перигея, радиус орбиты и наклон орбиты, что необходимо из‐за неизбежных искажений теоретических орбит, возникающих из‐за изменения поля притяжения

Земли, альбедо и солнечного давления, притяжения Солнца и Луны.

Используя время перехода t (в секундах GPS) в следующей процедуре получим необходимые переменные для использования в (8.8):

 

Время, истекшее с момента t_oe

 

Средняя аномалия в момент времени t_j

Итеративное решение для Е_j

t j = t - toe

m j = m 0 + (

Ej = m j + e sin Ej

 

+ D n) t j

j

j

sin E

Действительная аномалия

 

Долгота восходящего узла

W j = W0+ (W&- we) t j - wetoe

ω_e=7,2921151467∙10^‐5 рад/с

f j = arctan cos E - e

Аргумент перигея Радиальная дистанция Наклон

w j = w + f j + Cwc cos 2(w + f j) + Cwc sin 2(w + f j)

rj = a (1- e cos Ej) + Crc cos 2(w + f j) + Crc sin 2(w + f j)

ij = i 0 + it j + Cic cos 2(w + f j) + Cis sin 2(w + f j)

Средняя частота вращения Земли обозначена через ω_е. Этот алгоритм закодирован как M‐файл satpos. Эта функция вычисляет положение спутника GPS в любой момент времени. Она фундаментальна для любых позиционных вычислений.

Correlation	Корреляция
Time [s]	Время [с]

 

Рисунок 8.7. Корреляция 12‐ти секундных данных в преамбуле.

 

Для избежания потери значимости или переполнения в начале или конце недели мы используем M‐файл check_t.

 

Оценка псевдодальности

Оценка псевдодальности может быть разбита на два набора вычислений. Первый метод вычислений состоит в нахождении начального набора псевдодальностей, а второй состоит в отслеживании псевдодальностей после оценки первого набора.

 

Начальный набор псевдодальностей

Для того, что бы найти начальный набор псевдодальностей между приемником и отслеживаемыми спутниками, требуется, как минимум, 12 с данных. После того, как приемник собрал более 12 с данных, данные коррелируются с преамбулой из телеметрического слова. Телеметрическое слово расположено в начале каждого субкадра. Такой процесс корреляции показан на Рис. 8.7.

Длина преамбулы составляет 8 выборок, так что, если телеметрическое слово присутствует в данных, возникнет корреляционное значение, равное 8. Из Рис. 8.7 можно увидеть, что корреляционное значение, соответствующее преамбуле, встречается дважды в 12 с данных. Это используется для проверки, действительно

ли это начало субкадра или просто последовательность бит, похожая на преамбулу. Корреляция проводится для всех отслеживаемых спутников.

После идентификации преамбулы, находится начало субкадра для всех доступных спутников. На Рис. 8.8

начало субкадра построено для 4 каналов.

Известно, что время распространения волны от спутника до Земли составляет от 65 до 83 мс. Эти данные используются для установки начальной псевдодальности. Спутник, находящийся ближе других к Земле, имеет наиболее раннее время прибытия субкадра. В этом случае ближайший спутник в канале 1 имеет время прибытия 68 мс.

 

Channel 1	Канал 1
Channel 2	Канал 2
Channel 3	Канал 3
Channel 4	Канал 4
ms	мс
Time [s]	Время [c]

 

Рисунок 8.8 Время перехода и начало субкадра для четырех каналов.

 

Остальные времена прибытия сигналов вычисляются по отношению к первому каналу. Эти времена для приведенного примера приведены в Таблице 8.5.

В данном примере временное разрешение составляет 1 мс, что соответствует псевдодальности 300000 м. Для того, чтобы сделать псевдодальность более пригодной для использования, необходимо использовать систему слежения для нахождения начала кода гражданского доступа в определенном кадре. Это означает, что временное разрешение – есть время выборки, и в этом случае частота выборки 38.192 МГц. Эта частота выборки приводит к точности псевдодальности 8 м.

Положение приемника может быть вычислено на основе начальных псевдодальностей. Выходные данные этих вычислений – координаты X,Y,Z приемника и сдвиг тактовой частоты приемника dt. Сдвиг тактовой частоты может быть использован для подстройки времени распространения сигнала опорного спутника. В этом случае это канал 1 со временем распространения 65 мс. С помощью этой процедуры приемник может оценить действительную псевдодальность после двух вычислений.

 

Оценка псевдодальностей на последующих шагах

В Разделе 8.4.1 описано, как оцениваются начальные псевдодальности. Этот подраздел описывает вычисление уточненных значений псевдодальности.

 

Таблица 8.5. Начальные псевдодальности для всех отслеживаемых спутников.

Канал	Время распространения [мс]	Псевдодльность [м]
		19486509.8
		22184641.9
		24283189.1
		20685679.6

 

 

При вычислении последовательных псевдодальностей необходимо отслеживать два момента. Первый связан с существованием разницы в мс между началом субкадра по сравнению с опорным спутником. Второй момент – старт кода гражданского доступа, который дает точное значение псевдодальности для канала.

Когда приемник вычисляет уточненные псевдодальности, он перемещает индексы 100 мс. (Приемник перемещает индексы 100 мс, если приемник установлен на вычисление позиции 10 раз за секунду.) Затем начало кода гражданского доступа находится для всех новых индексов для всех отслеживаемых каналов. Таким

образом, возможно находить псевдодальность каждую миллисекунду и приемник будет вычислять положение

1000 раз в секунду.