Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2018-01-07 | 268 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Выделяют три основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:
· Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.
Пример 9. Найти интегралы функций:
a) .
Решение.
;
b) .
Решение.
.
с) .
Решение.
Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 10.
Таблица 10.
№ | подынтегральное выражение | преобразования | замена | dx |
, | ||||
, где |
· Ко второму типу относят интегралы вида , где Pn(x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится методом неопределённых коэффициентов, с помощью тождества:
= ,
где Qn-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.
Пример 10. Найти интегралы функций:
а) .
Решение.
Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
.
Продифференцируем полученное выражение:
.
Умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:
=
=
.
Итого =
= ;
b) .
Решение.
Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
.
Дифференцируем полученное выражение:
.
Перегруппировываем:
· К третьему типу относят интегралы вида .
Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называется подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , .
Пример 11. Найти интегралы функций:
a) .
Решение.
;
b) .
Решение.
;
с) .
Решение.
Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 11.
№ | подынтегральное выражение | замена | dt |
или | или | ||
или | или | ||
или | или |
Таблица 11.
Основные понятия и методы решения определенного интеграла
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f(x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, b ].
Рис. 23
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [ a, b ] на части и выбора точек , на отрезках .
Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у=b.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл существует.
Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.
Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет первообразную, равную интегралу , и тогда, согласно определению неопределённого интеграла, имеет место равенство .
Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [1].
Основные свойства определенного интеграла:
1. .
2. .
3. .
4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [ a, b ] a < b, то .
5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [ a, b ], то: .
6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .
7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8. .
9.
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!