Оптимизация производственных процессов

Математические модели

 

Оптимизация при оценке производственных процессов предусматривает их сравнение путем анализа соотношения производственных затрат и полученных при этом результатов. Производство представляется как некоторая система, характеризующаяся устойчивой функциональной зависимостью между затратами ресурсов на производство и выпуском продукции. Имеющаяся функциональная связь называется производственной функцией.

где u_max – выпуск продукции.

В качестве выпуска могут быть и другие выходные параметры

v - затраты

В качестве затрат могут выступать ресурсы, энергия, вода, и др.

Производственная функция может быть использована для определения наиболее экономичного уровня затрат на заданный объем выпуска продукции, либо более рационального использования имеющихся ресурсов и на основе этого – выбора более оптимального способа производства из имеющихся вариантов.

Самой простой формой сравнения затрат с выпуском служит направленная величина – вектор. Параметр назван вектором в силу того, что производственный процесс направлен от затрат к выпуску.

Различают вектор единичный (I^е) и объемный (I^о). Вектор называется единичным, если он составлен на единицу затрат либо на единицу выпуска, т.е. при V= 1 либо U= 1.

I^е = (1; U);

I^о = (V; 1).

Выбор единичного вектора определяется исходными параметрами. Если в условии задачи дан выход продукции из единицы сырья, то единичный вектор будет иметь вид: J^e = (1; U); если приведены нормы расхода сырья на единицу продукции, то единичный вектор будет иметь вид: J^e = (V; 1). С помощью единичных векторов упрощается процедура сравнения затрат с выпуском.

Если затраты или выпуск разнообразны (различные виды сырья и продукции), то это отображается в формальной записи вектора отдельными числами, например:

 

J^e = [2(1), 3(2); 1(А)]

- вектор отображает, что одна единица продукции А изготовлена из двух единиц сырья первого вида и трех единиц сырья второго вида.

 

J^e = [1; 2(А), 3(Б)]

 

 

- вектор отображает, что из одной единицы сырья изготовлено две единицы продукции А и три единицы продукции Б.

Следует отметить, что пропорция между затратами и выпуском в единичном и объемном векторах «затраты – выпуск» остается постоянной, так как остается неизменным механизм производственного процесса - технология.

Например, при единичном векторе J^e = [2(1), 3(2); 1(А)] объемный вектор по программе на изготовление тысячи изделий будет иметь вид:

 

J^e = [2000(1), 3000(2); 1000(А)]

 

Объемный вектор (J^о) составляется на весь объем требуемой программы выпуска продукции при рассматриваемых способах производства либо на весь объем имеющихся в наличии ресурсов. Объемный вектор информирует о том, сколько продукции из имеющихся в наличии ресурсов можно получить при реализации каждого из рассматриваемых технологических способов либо сколько ресурсов потребуется для реализации запланированного при каждом технологическом способе выпуска продукции. Причем, объемный вектор по ресурсам на выпуск продукции при использовании различных видов сырья составляется исходя из минимального варианта расхода имеющихся ресурсов (чтобы хватило сырья). Например: если на единицу продукции идет 2 ед. сырья 1, 3 ед. сырья 2 и 1 ед. сырья 3, а в наличии имеется 1200 ед. сырья 1, 900 ед. сырья 2 и 800 ед. сырья 3, то вектора будут иметь вид:

 

J^e = [2(1), 3(2), 1(3); 1]

 

J^о = [600(1), 900(2), 300(3); 300]

 

В данном примере из сырья 1 можно получить 600 ед. продукции, из сырья 2 – 300 ед. продукции, из сырья 3 – 800 ед. продукции. Так как для изготовления используются одновременно все три вида сырья, то объемный вектор составляется по минимальным затратам сырья, т.е. исходя из количества сырья 2, так как его хватит только на 300 ед. продукции.

В приведенном примере объемный вектор по программе составляется на требуемый выпуск продукции (чтобы выполнить программу), например, при необходимости выпуска 500 ед. продукции J^о будет иметь вид:

 

J^о = [1000(1), 1500(2), 500(3); 500]

 

Если в условии задачи дан выход разных изделий из единицы сырья (J^е = 1; 1(А), 3(Б); 2(В)], а также доведена программа выпуска этих изделий (А – 1000ед., Б – 1500ед., В – 1800 ед.), то объемный вектор по программе составляется с учетом максимального расхода ресурсов (чтобы выполнить программу).

 

 

J^о = [1000; 1000(А), 3000(Б); 2000 (В)]

 

( > > )

max

При наличии данных по требуемой программе и имеющихся ресурсах составляются два объемных вектора, показывающих условия выполнения программы и использования имеющихся ресурсов. Из полученных векторов выбирается оптимальный, соответствующий производственной ситуации, т.е. вектор показывающий наиболее выгодные условия выполнения программы выпуска.

Следует помнить, что вектора составляются на способ производства, так как именно в нем реализуются затраты с целью выпуска продукции.

При решении более сложных производственных вопросов, где необходимо оценить технологическую возможность выпуска разнообразных видов продукции из одного либо нескольких видов сырья, возникает потребность в согласовании и увязывании ряда технологических параметров (количества имеющихся сырьевых материалов, планового выпуска различных видов продукции, оценки возможностей максимального выпуска продукции либо получении прибыли при наличии определенных ресурсов и др.). Взаимосвязанность этих параметров иллюстрируется системой уравнений, которая называется математической моделью.

Первое уравнение модели является целевым, так как в нем фиксируются условия конечного результата, например, выпуска продукции при минимальных затратах сырья либо оптимальная загрузка технологии с целью получения максимальной прибыли. Но так как любой технологический процесс требует определенного обеспечения, которое, как правило, имеет конечные параметры, наряду с целевым уравнением, составляются ограничивающие уравнения, учитывающие эти конечные параметры. Целевая функция и ограничения фиксируют обратные параметры, т.е., если в целевой функции задействована продукция или прибыль, то ограничение учитывает наличие ресурсов и наоборот.

Математические модели составляются по планированию выпуска продукции либо загрузке технологических способов при соблюдении конечного условия. Ключевым фактором в любой системе уравнений является неизвестное.

Если требуется составить математическую модель планирования выпуска продукции, то в качестве неизвестного х_1, х_2… х_n принимается объем произведенной продукции по каждому рассматриваемому способу, независимо от конечных условий.

Если требуется составить математическую модель оптимальной загрузки технологических способов, то в качестве неизвестного х_1, х_2… х_n принимается расход сырья по каждому технологическому способу.

Количество неизвестных равно количеству способов в соответствии с условиями задачи.

Пример 1.

Дано: Для изготовления 4-х видов продукции А, Б, В, Г четырьмя технологическими способами используются 3 вида сырья. Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и получаемая прибыль от единицы продукции приведена в таблице 1.

Таблица 1

Сырье	Норма расхода сырья на единицу продукции	Ресурсы
А	Б	В	Г
Прибыль

 

Требуется:

1. Записать единичные и объемные векторы «затраты – выпуск» по каждому способу.

2. Составить математическую модель планирования выпуска продукции исходя из условий:

а) максимизации прибыли.

б) максимизации выпуска продукции

Решение

Составляемые векторы будут иметь вид:

1. J^e_А = [2(1), 3(2), 4(3);1(A)]

J⁰_А= [1000(1), 1500(2), 2000(3); 500(A)]

J^e_Б = [4(1), 1(2), 2(3); 1(Б)]

J⁰_Б = [2800(1), 700(2), 1400(3); 700(Б)]

J^e_В = [7(1), 3(2), 6(3); 1(В)]

J⁰_В = [2800(1), 1200(2), 2400(3); 400(В)]

J^e_Г = [2(1), 5(2), 1(3); 1 (Г)]

J⁰_Г = [600(1), 1500(2), 300(3); 300(Г)]

 

2. Так как в данной задаче планируется выпуск продукции, то принимается за х_1, х_{2, …} х₃ и х_{4 –} объем произведенной продукции по каждому способу.

Математические модели будут иметь вид:

 

а) х - продукция

5х₁ + 4х₂ +8х₃ + 10х₄ → max (целевое уравнение)

2х₁ + 4х₂ +7х₃+2х₄ ≤ 2800

3х₁+х₂+3х₃+5х₄ ≤ 1500 (ограничение по ресурсам)

4х₁+2х₂+6х₃+1х₄ ≤ 3600

 

 

 

б)

х - продукция

х₁→max, х₂→max, х₃→max, х₄→max (целевое уравнение)

2х₁ + 4х₂ +7х₃+2х₄ ≤ 2800

3х₁+х₂+3х₃+5х₄ ≤1500 (ограничение по ресурсам)

4х₁+2х₂+6х₃+1х₄ ≤ 3600

 

Пример 2.

Дано: В таблице 2 приведены данные по выходу изделий из единицы сырья и программа выпуска каждого вида изделий при использовании трех технологических способов.

Таблица 2

Изделие	Выход изделий из единицы сырья	Программа выпуска
А
Б

 

Требуется:

1. Записать единичные и объемные векторы «затраты-выпуск» по каждому способу.

2. Составить математическую модель оптимизации загрузки техн. способов исходя из условий минимизации затрат сырья.

Решение.

Составляемые векторы будут иметь вид:

1. J^e₁ = [1:2(А), 3(Б)]

J⁰₁ = [900; 1800(А), 2700(Б)]

J^e₂ = [1; 4(А), 5(Б)]

J⁰₂ = [450; 1800(А),2250(Б)]

J^e₃ = [1; 1(А), 4(Б)]

J⁰₃ = [1800;1800(А),7200(Б)]

2. Исходя из условий задачи принимается х_1, х_2, х_{3 –} расход сырья по каждому технологическому способу. Математическая модель будет иметь вид:

х - сырье

х₁+х₂+х₃→min (целевое уравнение)

2х₁ + 4х₂ +1х₃ ≥1800

3х₁+5х₂+4х₃ ≥1500 (ограничение по программе)

 

Примечание: Если бы в условии задачи были даны конкретные затраты на единицу сырья по каждому способу, например N, М и Р соответственно, в этом случае целевое уравнение имело бы вид:

Nх₁ + М х₂ + Рх₃ →min

 

 

 

Пример 3.

Данные по имеющимся исходным параметрам для изготовления трех видов продукции по трем технологическим способам приведены в таблице 3.

Таблица 3

	Норма расхода сырья на единицу продукции	Ресурсы
Способы
Сырье
План выпуска
Прибыль

 

Требуется:

1. Записать единичные и объемные векторы по каждому способу.Сделать вывод оптімальных векторов.

2. Составить математическую модель оптимизации загрузки исходя из условий:

а) максимизации выпуска

б) максимизации прибыли

3. Составить математическую модель планирования выпуска продукции, исходя из условий минимизации затрат сырья.

 

Решение.

Составляемые векторы будут иметь вид:

1. J^e₁ = [2;1]

J⁰₁ = (3400; 1700) (J⁰ по ресурсам)

J⁰₁ = (3200; 1600) (J₀ по программе) ▼

J^e₂ = (4;1)

J₂⁰ = (3400; 850)

J₂⁰= (6400;1600) ▼

J^e₃=(1;1)

J^e₃=(3400;3400)

J₃⁰=(1600;1600) ▼

 

2. В соответствии с условием х_1, х_2, х₃→сырье по каждому технологическому способу

Математические модели имеют вид:

 

а) х - сырье

(целевое уравнение)

х₁ + х₂+х₃≤3400 (ограничение о ресурсам)

 

(х –сырье, 2 – сырье на единицу продукции, - продукт)

 

Примечание:

если бы в условии задачи был задан не единый план выпуска продукции по каждому способу, а конкретизирован (например для 1-го способа 1400 ед., второго- 1500, третьего -1600), то при составлении математической модели целевое уравнение имело бы вид ; ; х₃→max.

б) х - сырье

4· (целевое уравнение)

х₁+х₂+х₃≤3400 (ограничение по ресурсам)

 

3. В данном варианте за х_1, х_2, х₃ принимается выпуск продукции по каждому технологическому способу.

х - продукция

2х₁+4х₂+х₃→min (целевое уравнение)

х₁+х₂+х₃≥1600 (ограничение по программе)

Пример 4.

Данные технологических параметров приведены в таблице 4.

Таблица 4

Способ	Выход продукции из единицы сырья	Ресурсы
А	Б	В
Программа выпуска

Требуется:

1. Записать все имеющиеся векторы «затраты-выпуск» и выделить оптимальные.

2. Составить математическую модель оптимизации загрузки технологических способов исходя из условий минимизации затрат сырья

Решение

1. Составляемые векторы будут иметь вид:

J^e₁ = [1;2(А),4(Б),1(В)]

J⁰₁ = [9000; 18000(А), 36000(Б), 9000(В)]

J⁰₁ = [12000; 24000(А), 48000(Б), 12000(В)] ▼

J^e₂ = [1; 3(А),6(Б),2(В)]

J⁰₂ = [9000; 27000(А), 54000(Б), 18000(В)]

J⁰₂ = [6000; 18000(А), 36000(Б), 12000(В)] ▼

J^e₂ = [1; 1(А), 3(Б),3(В)]

J⁰₂ = [9000; 9000(А), 27000(Б), 27000(В)]

J⁰₃ = [8000; 8000(А), 24000(Б), 24000(В)] ▼

▼ – наиболее оптимальные векторы.

 

 

За х_1, х_2, х₃ принимается сырье, используемое при каждом технологическом способе.

х -сырье

х₁₊ х₂₊ х₃ → min (целевое уравнение)

2х₁+3х₂+1х₃ ≥ 8000 (ограничение по программе)

4х₁+6х₂+3х₃ ≥ 4200

1х₁+2х₂+3х₃ ≥ 1200

 

(х – сырье, 2 – выход продукции из единицы сырья, 2·х – продукция)