Выбор схемы и обобщённых координат механизма

Номер строки	Схема по рис. 3	j, град	w1, 1/с
1 или 6 2 или 7 3 или 8 4 или 9 5 или 0	а б в а б
Буква идентификатора шифра	Б	В	Е

 

Таблица 2

Исходные данные механизма по схеме рис. 3, а

Номер строки	l OA, мм	l AB, мм	l AC, мм	e, мм	a, град	F, Н	m 2, к г	m 3, к г
							3,0 3,5 4,2 4,5 5,0 3,7 4,3 3,2 4,3 5,0	0,15 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,85 0,9 1,0 1,2
Буква идентификатора шифра	А	Б	В	Г	Д	Е	А	Б

 

Таблица 3

Исходные данные механизмов по схемам рис. 3, б, в

Номер строки	l OA, мм	l AB, мм	l BC, мм	l BD, мм	xC, мм	yC *, мм	М, Н×м	m 2, кг	m 3, кг
					l BA + +0,5 l OA	l BC	1,5 2,2 2,6 2,0	3,8 4,0 3,6 3,6	3,0 3,8 4,0 3,6

Окончание табл. 3

Номер строки	l OA, мм	l AB, мм	l BC, мм	l BD, мм	xC, мм	yC *, мм	М, Н×м	m 2, кг	m 3, кг
					l BA + +0,5 lOA	l BC	2,4 2,2 2,4 1,8 2,0 2,6	4,2 3,5 3,4 3,4 3,8 4,0	3,7 3,8 4,0 3,4 3,4 4,0
Буква идентификатора шифра	А	Б	В	Г			Д	Е	А

Примечания. 1. ^* Для схемы рис. 3, в у_С = 0.

2. Центры масс S_i звеньев расположены на середине длины соответствующего звена.

3. Момент инерции звена J_i относительно центра масс определить по формуле
J_i = 0,29 m_i × l_i², кг×м².

Методика выполнения

Первая задача посвящена структурному, кинематическому и кинетостатическому исследованию механизма.

Прежде чем приступить к решению задачи, студент должен предварительно изучить следующие основные вопросы:

1) структурный анализ механизмов;

2) исследование и проектирование плоских рычажных механизмов;

3) кинематический анализ механизмов. Задачи и методы кинематического анализа. Планы положений механизма. Определение скоростей и ускорений методом планов;

4) кинетостатическое исследование механизма.

Исходные данные. В качестве примера выполнения расчётно-графи­чес­кой работы № 1 проведём исследование схемы механизма, представленного на рис. 3, б, у которого ведущее звено 1 (кривошип ОА) вращается с угловой скоростью w₁ по часовой стрелке. Размеры звеньев: _ОА, _AB, _ВС, _ВЕ, _ОС, y_С, момент сил сопротивления М, массы звеньев m ₂, m ₃ выбрать из табл. 3. Угол положения ведущего звена j, угловую скорость w₁ выбрать из табл. 1.

Построение схемы механизма. В теории механизмов и машин действительные размеры принято выражать в метрах, а их масштабное значение – в миллиметрах.

По исходным данным вычерчиваем схему механизма в произвольно выбранном, но удобном для построения масштабе , м/мм. Масштабный коэффициент показывает сколько метров действительной длины содержится в одном миллиметре отрезка на чертеже. Действительную длину ведущего звена _OA изобразим на чертеже отрезком , мм. Тогда масштабный коэффициент , м/мм, будет равен

 

= l_ОА / . (1.1)

Примечание: в данных методических указаниях нумерация формул произведена в соответствии с номером расчетно-графи­чес­кой работы и порядкового номера формулы.

 

Размеры остальных звеньев, мм, в выбранном масштабе определятся соответственно:

 

= l_АВ / ; = l_ВС / ; = l_ВD / ;

= х_С / ; = у_С / . (1.2)

Для построения плана механизма (рис. 4, а) в выбранной системе координат ХОУ (кинематическая пара О совпадает с началом координат) находим положение шарнира С. Точка А движется по круговой траектории радиуса ОА относительно точки О и ее положение определяется углом j. Точка В движется по круговой траектории радиуса относительно точки С. Для нахождения положения точки В раствором циркуля с центром в точке А делаем засечку на траектории движения точки В. Точка D находится на продолжении звена 3 и ее положение характеризуется длиной отрезка . Соединив отмеченные точки линиями, получим схему (план) механизма в заданном положении.

Структурное исследование механизма. Согласно принципу обра­зования механизмов, сформулированному русским учёным Л.В. Ассу­ром, любой плоский рычажный механизм может быть составлен последовательным присоединением к основному механизму групп Ассура. Группу Ассура образуют звенья, соединенные между собой низшими кинематическими парами и имеющие нулевую степень подвижности.

Количество ведущих звеньев механизма соответствует степени подвижности W механизма, которая может быть вычислена по формуле П.Л. Чебышева

W = 3 n – 2 p ₅ – p ₄, (1.3)

где n – число подвижных звеньев механизма; p ₅ – число низших кинематических пар (пар 5-го класса); p ₄ – число высших кинематических пар (пар 4-го класса).

 

Рис. 4. Структурное, кинематическое и кинетостатическое
исследование рычажного механизма

Исследуемый механизм имеет: число подвижных звеньев n = 3 (на схеме механизма все подвижные звенья пронумерованы от 1 до 3, а неподвижное звено (стойка) имеет номер 4); число низших кинематических пар p ₅ = 4. Высших кинематических пар в данном механизме нет. Следовательно, степень подвижности его равна:

W = 3 × 3 – 2 × 4 – 0 = 1.

Это означает, что в рассматриваемой кинематической цепи достаточно задать движение только одному звену (в данном случае звену 1, которое является ведущим), чтобы движение всех остальных звеньев было бы вполне определённым.

Произведём разложение механизма на группы Ассура. Правильно выполнить эту операцию очень важно, так как это определяет дальнейшее исследование механизма.

Выделение групп Ассура обычно осуществляется методом попыток и его следует начинать с последней, наиболее удаленной от ведущего звена и наиболее простой группы. Простейшая группа Ассура представляет собой сочетание двух звеньев и трёх кинематических пар.

Для данного механизма такой группой является комбинация звеньев 2, 3 и трёх вращательных кинематических пар А, В, С. Действительно, оставшаяся часть механизма – ведущее звено ОА, соединенное со стойкой, имеет степень подвижности W = 1. Группа звеньев 2 – 3 является группой Ассура второго порядка первого вида, у которой все три кинематические пары являются вращательными.

На рис. 4, а показан механизм, разложенный на группы Ассура (при разложении обязательно следует соблюдать взаимное расположение звеньев).

Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной группы Ассура, входящей в механизм. На основании проведённого исследования можно заключить, что данный механизм является механизмом второго класса, второго порядка.

Кинематическое исследование механизма начинают с ведущего звена и далее для каждой структурной группы в порядке их присоединения.

1. Определение линейных скоростей точек звеньев механизма

Точка А кривошипа ОА совершает вращательное движение, поэтому вектор скорости u _А, м/с, точки А направлен перпендикулярно звену 1 в сторону вращения и численно равен по модулю

 

, (1.4)

где – угловая скорость звена ОА, с^-1; – длина звена ОА, м.

Для определения скорости точки В составляют векторные уравнения, связывающие искомую скорость точки с известными скоростями точек А, С. Так как точка В принадлежит звену 2, то ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости точки А и скорости точки В относительно точки А. В то же время точка В принадлежит звену 3 и ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости точки С ( = 0) и скорости точки В относительно точки С. Следовательно

 

. (1.5)

В этой системе уравнений известны по модулю и направлению векторы скоростей точек А и С (скорость точки А была определена выше, а скорость точки С равна 0). Векторы относительных скоростей неизвестны по величине, но известны по направлению: вектор перпендикулярен к звену АВ, а вектор перпендикулярен к звену ВС. Таким образом, система двух векторных уравнений (1.5) содержит четыре неизвестных и может быть решена графическим методом с помощью построения плана скоростей.

Для построения выбираем на плоскости произвольную точку Р _u – полюс плана скоростей, которая является началом отсчёта, и откладываем на ней отрезок , перпендикулярный к звену ОА, в направлении движения точки А. Длина этого отрезка изображает на плане скоростей вектор скорости точки А и выбирается произвольно. Тогда масштабный коэффициент K _u, , плана скоростей можно вычислить:

 

K _u = . (1.6)

Масштаб плана скоростей K _u показывает, сколько метров в секунду действительной скорости содержится в одном миллиметре отрезка на чертеже.

В соответствии с первым уравнением системы (1.5) на плане скоростей через точку а проводим прямую, перпендикулярную к звену 2 механизма (линия вектора ). В соответствии со вторым уравнением через полюс (точка C совпадает с полюсом) проводим на плане прямую, перпендикулярно к звену 3 механизма (это линия вектора ). Точка b пересечения этих двух прямых, является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости и равного ему вектора . Вектор изображает в масштабе относительную скорость .

Для определения действительной величины любого из полученных векторов достаточно умножить соответствующий отрезок на масштаб плана скоростей K _u. Тогда

 

× K _u; × K _u. (1.7)

Чтобы определить скорость точки D, воспользуемся теоремой подобия. Величину отрезка находим из пропорции

 

= . (1.8)

Действительная величина скорости точки D равна:

= × K _u.

Построение плана скоростей показано на рис. 4, б.

2. Определение угловых скоростей звеньев механизма

Угловые скорости вращения звеньев определяются на основе построенного плана скоростей. Модуль угловой скорости второго звена можно найти по формуле

 

w₂ = . (1.9)

Для определения направления w₂ необходимо мысленно перенести вектор относительной скорости в точку В механизма. Направление вектора скорости указывает, что точка В относительно точки А вращается по часовой стрелке.

Аналогично определяем модуль и направление угловой скорости звена 3:

; w₃ = . (1.10)

Направление угловых скоростей показываем на схеме механизма круговыми стрелками (см. рис. 4, а).

3. Определение ускорений точек звеньев механизма

Определение ускорений точек звеньев механизма выполняется в той же последовательности, что и определение скоростей.

Первой точкой, ускорение которой надо определить, является точка А ведущего звена 1.

При вращательном движении звена ускорение любой точки можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: нормальной и тангенциальной. Поэтому, для определения ускорения точки А напишем векторное уравнение

 

. (1.11)

Так как звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью (w₁ = const), то

Следовательно, в этом частном случае полное ускорение точки А определяется только величиной нормального ускорения , которое по модулю равно:

(1.12)

и направлено параллельно звену ОА от точки А к точке О (центру вращения). Рассматривая точку В, как принадлежащую одновременно звеньям 2 и 3, ускорение точки В может быть представлено в виде суммы двух векторов:

. (1.13а)

Относительные ускорения и представим в виде суммы двух составляющих – нормальной и тангенциальной. Тогда

 

. (1.13б)

Величины нормальных составляющих относительных ускорений

. (1.14)

Вектор нормальной составляющей направлен вдоль звена АВ от точки В к точке А, а вектор нормальной составляющей – вдоль звена ВС от точки В к точке С.

Тангенциальные составляющие ускорений и по абсолютной величине неизвестны, но известны по направлению: они направлены перпендикулярно к нормальным составляющим.

Таким образом, выражения (1.13б) представляют систему двух векторных уравнений с четырьмя неизвестными, которая может быть решена графическим методом с помощью построения плана ускорений. Для этого выбираем на плоскости произвольную точку Р_а – полюс плана ускорений, которая является началом отсчёта, и откладываем от неё отрезок параллельно звену ОА в направлении от точки А к точке О в соответствии со схемой механизма (см. рис. 3, в). Длина этого отрезка изображает на плане вектор ускорения точки А и выбирается произвольно. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений К_а, , будет

 

К_а = / . (1.15)

В соответствии с первым уравнением системы (1.13б) через точку а плана ускорений проводим прямую, параллельную звену АВ в направлении от точки В к точке А, и на ней откладываем отрезок , мм,

 

= / К_а, (1.16)

величина которого в масштабе соответствует величине вектора нормальной составляющей ускорения .

Через точку n ₂ перпендикулярно к звену АВ (или тоже самое, что перпендикулярно аn ₂) проводим линию вектора тангенциальной составляющей .

В соответствии со вторым уравнением системы (1.13б) из полюса Р_а (точка С совпадает с полюсом) проводим прямую, параллельную звену ВС, в направлении от точки В к точке С и откладываем отрезок

 

/ К_а. (1.17)

Через точку n ₃ перпендикулярно звену ВС проводим линию вектора тангенциальной составляющей ускорения .

Пересечение двух прямых на плане ускорений, изображающих линии действия тангенциальных составляющих ускорений, даёт точку b. Соединяя точку b с полюсом плана ускорения P_a, получим отрезок , соответствующий на плане ускорений вектору ускорения точки В механизма. Величину этого ускорения находим с помощью масштаба:

а_В = × К_а. (1.18)

Вектор , проведённый из точки а в точку b, на плане ускорений соответствует масштабному выражению вектора полного относительного ускорения , абсолютная величина которого равна:

 

= × К_а. (1.19)

Значения тангенциальных составляющих относительных ускорений вычисляем по формулам

. (1.20)

Для определения ускорения точки D воспользуемся теоремой подобия. Величина отрезка может быть найдена из соотношения

 

= , т.е. . (1.21)

Численная величина абсолютного ускорения точки D механизма равна

а_D = × K_а. (1.22)

Ускорения a_si центров масс звеньев определяются аналогично с помощью теоремы подобия. Например, в соответствии с исходными данными центр массы S ₃ делит отрезок CD пополам. На плане ускорений точка s ₃ также будет делить отрезок cd пополам. Ускорение центра масс а_{s 3}, м∙с^-2

 

а_{s 3} = × K_а.

 

4. Определение угловых ускорений звеньев механизма

Угловое ускорение e₂, с^-2, звена 2

e₂ = / . (1.23)

Для определения направления углового ускорения e₂, необходимо вектор тангенциальной составляющей ускорения мысленно перенести в точку В механизма. Направление этого вектора указывает направление углового ускорения звена 2 против часовой стрелки.

Угловое ускорение звена 3 определяется аналогично

e₃ = / . (1.24)

Оно направлено против часовой стрелки (в этом также легко убедиться, если вектор перенести в точку В механизма). Направление угловых ускорений для всех звеньев механизма указывается на схеме механизма круговыми стрелками (см. рис. 4, а).