Ростовский институт (филиал)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОСТОВСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

 

 

Одобрено УМС Ростовского института

(филиала) ГОУ ВПО «РГТЭУ»

Протокол №___________

«______»________________200___ г.

___________________________

 

 

Стрикалов А.И., Ткачев Г.В.

 

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Учебно-методический комплекс

 

Специальности: 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Финансы и кредит»

Эконом. и управл. предприят. туризма»

Экономика и управление на предприятии»

Менеджмент организации»

Мировая экономика»

Согласовано: Рекомендовано кафедрой:

Учебно-методический отдел Протокол №____________

Ростовского института (филиала). «____»___________200___ г.

ГОУ ВПО «РГТЭУ» Зав. кафедрой

«____»_______________200___ г. ________________________

 

Ростов-на-Дону

2006 г.

Автор-составитель:

Стрикалов А.И., канд. физ.-мат. наук, доцент

Ткачев Г.В.., канд. физ.-мат. наук, доцент

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Прикладная математика»

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальностям:

080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080105 «Финансы и кредит»,

080502 «Эконом. и управл. предприят. туризма», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент организации», 080102 «Мировая экономика»

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла специальных дисциплин и является обязательной для изучения.

 

 

Утвержден на заседании Учебно-методического совета Ростовского института (филиала) ГОУ ВПО «РГТЭУ» «_____»__________200__ г.,

протокол №___.

 

 

Согласования:

 

И.о.проректора Ростовского института

(филиала) ГОУ ВПО «РГТЭУ» _______________________Сапелкина Е.Н.

(подпись)

 

 

Зав. библиотекой ________________________Неговора Л.Г.

(подпись)

 

 

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

стр.

1. Цели и задачи дисциплины …………………………………………………. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины ……………..… 3. Объем дисциплины ………………………………………………………….. 3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы …………………………… 3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы ……………… 4. Содержание курса …………………………………………………………… 5. Темы практических занятий…………………………………………………. 6. Задания для самостоятельной работы студентов ………………………….. 7. Темы контрольных работ………………………..…………………………… 8. Вопросы для подготовки к экзамену, зачету ………………………… 9. Учебно-методическое обеспечение ………………………………………. 9.1. Литература ……………………………………………………………….

 

 

1.Цель, задачи и предмет дисциплины

«Прикладная математика»

 

При решении задач в коммерческой деятельности возникает необходимость количественной оценки коммерческих операций и анализа их эффективности, а также принятия решений в управлении торговлей. В исследованиях торгово-экономических процессов широко применяются математические методы. В настоящее время дальнейшее развитие электронных технологий сделало применение математических методов исследования экономических операций более актуальным.

В условиях конкуренции обеспечение коммерческой деятельности предприятий и фирм выдвигает на первый план количественный и качественный анализ, оценку эффективности и задачу оптимизации этой деятельности, что в свою очередь требует возрастающего уровня математической подготовки соответствующих специалистов. Этим обусловлена необходимость изучения прикладной математики студентами экономических специальностей.

Целью курса является изучение основных методов математики и применение их в решении экономических задач в коммерческой деятельности.

Параллельно решается задача применять полученные знания на практике.

Характерной чертой курса является сочетание чисто математических вопросов с практическими приемами и методами решения коммерческих задач.

Программа курса прикладной математики соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта для специальностей института. Программой курса предусмотрено чтение лекций, проведение практических занятий, выполнение 4 - х контрольных работ, домашних заданий, самостоятельное изучение курса и консультации, проводимые преподавателями кафедры. Самостоятельная работа студентов предполагает наряду с изучением материала курса, также выполнение небольших по объему исследовательских работ практической направленности.

В результате изучения курса прикладной математики студенту необходимо усвоить основные методы и модели решения коммерческих задач.

Он должен овладеть основными методами линейного и динамического программирования, уметь решать системы линейных неравенств и уравнений транспортных и двойственных задач, рассчитывать основные характеристики систем массового обслуживания и теории игр, исследовать функции полезности, производственные и др., моделировать коммерческие операции и экономические процессы.

2. Требования к уровню освоения дисциплины,

соотнесенные с квалификационными характеристиками специалиста в соответствии с ГОС ВПО или ООП.

 

В результате изучения дисциплины специалист должен

иметь представление: о значении изучаемой дисциплины при дальнейшем обучении в ВУЗе и ее связи с другими предметами.

 

знать: методы и модели используемые при решении коммерческих задач.

 

уметь: составлять экономико-математическую модель коммерческих задач, решать системы уравнений и неравенств, определять экстремальные значения функций, рассчитывать основные параметры и характеристики систем массового обслуживания и теории игр.

 

владеть: изученным материалом для решения задач коммерческой деятельности при выполнении курсовых работ по специальным дисциплинам

и приобрести определенный опыт: для применения полученных знаний при выполнении дипломных работ.

 

 

3. Объем дисциплины

3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Вид учебной	Количество часов по специальностям
работы	Бух. учет анализ и аудит	Финансы и кредит	Эконом и управл. предприятия, РГБ	Эконом. управл. туризма	Менеджмент организации	Мировая экономика
№ № семестров	3,4	3,4	3,4	3,4	3,4	3,4
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
ВСЕГО ЧАСОВ НА ДИСЦИПЛИНУ
Формы отчетности: контрольные работы (колич,№№ семестров)	№№ 1,2 3,4сем	№№ 1,2 3,4сем	№№ 1,2 3,4сем	№№ 1,2 3,4сем	№№ 1,2 3,4сем	№№ 1,2 3,4сем
Виды итогового контроля(экзамен) №№ семестров	Экзам. 3,4сем	Экзам. 3,4сем	Экзам. 3,4сем	Экзам. 3,4сем	Экзам. 3,4сем	Экзам. 3,4сем

 

 

3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы для студентов дневной и заочной формы обучения

Наименование разделов и тем	Лекции	Практич. занятия	Всего	Контрольные работы	Самостоятельные работы
днев.	заоч.	днев.	заоч.	днев.	заоч.
Введение.
Раздел I. Линейное программирование.
Тема 1. Задачи линейного программирования.
Тема 2. Однородная модель линейного программирования. Графический метод.
Тема 3. Каноничеческая и симплексная модели линейного программирования.							К.р. №1
Тема 4. Двойственность в линейном программировании.
Тема 5. Транспортная задача.							К.р.№2
Раздел 2. Оптимизационные задачи управляемых процессов в экономике.
Тема 6. Динамическое программирование.
Тема 7. Параметрическое программирование.
Тема 8. Целочисленное программирование.
Всего за 3 й семестр

Тема 9. Принятие решений в условиях риска. Матричная игра двух игроков. Игра с,,природой”							К.р. №3
Раздел 3. Теория графов.
Тема10. Основные понятия теории бинарных отношений и графов. Разновидности графов.
Тема 11. Графы и матрицы. Задача о коммивояжере.							К.р. №4
Тема 12. Древовидные и двудольные графы. Задача о назначениях.
Тема 13. Сети и потоки в сетях. Разрезы. Теорема о максимальном потоке.
Тема 14. Оптимизационные задачи с использованием теории графов.
Тема 15. Моделирование товародвижения.
Раздел 4. Теория массового обслуживания.
Тема 16. Системы массового обслуживания.
Тема 17. Математическая модель системы массового обслуживания.
Тема18. Основные виды моделей системы массового обслуживания.

 

Раздел 5. Исследование функций.
Тема 19. Эластичность и экономический анализ.
Тема 20. Функция полезности.
Тема 21. Производств. Ф-ции.
Тема 22. Моделирование экономического равновесия и динамики.
Всего за 4 й семестр.
Итого:

 

 

Содержание курса

 

Вводная часть.

Предмет прикладной математики и ее роль в решении экономических, управленческих и коммерческих задач. Учебно-методические указания по изучению курса. Задачи коммерческой деятельности и методы их решения. Понятие о моделях и моделированию [6] с. 11-35

 

Раздел I. Линейное программирование.

Тема 1.Задачи линейного программирования.

 

Примеры экономических задач, приводимых к модели линейного программирования. Основные понятия: тривиальные и нетривиальные ограничения, целевая функция, общее и частное решения, области возможных решений. Виды форм задач линейного программирования: общая, однородная, каноническая и симплексная.

[1] с. 33-43. [4] с. 10-28 [6] с. 56-61

 

Тема 2.Однородная модель линейного программирования.

Графический метод.

 

Особенности однородной модели Л.П. Графическая интерпретация однородной модели допустимых решений задачи. Линия уровня. Графический метод решения ЗЛП. Основы анализа на чувствительность (анализ моделей после нахождения оптимального решения). Понятие многогранной области допустимых решений задачи в n-мерном случае, ее выпуклость, вершина многогранной области, вектор роста целевой функции. Эквивалентные преобразования однородной модели в каноническую и обратно.

[1] с. 44-50. [4] с. 29-34 [6] с. 81-90

Программирования.

 

Преобразование общей модели в каноническую. Отыскание области возможных решений задачи с помощью системы линейных уравнений методом Гаусса. Метод жордановых исключений. Базисное и опорное решения. Принципы минимального допустимого отношения при отыскании исходного опорного решения. Переход от одной вершины к другой смежной ей вершине с улучшением целевой функции с помощью преобразований однократного замещения. Признак оптимальности опорного решения. Алгоритм симплекс-метода решения задачи линейного программирования. Монотонность и конечность симплексного алгоритма. Понятие о зацикливании и методах его преодоления. Применение искусственных базисных переменных к решению задач в канонической форме. Понятие о пакете прикладных программ задач математического программирования для П.К.

[1] с. 51-75. [4] с. 35-60 [6] с. 91-118

 

Тема 4.Двойственность в линейном программировании.

 

Значение принципа двойственности в прикладной математике. Пример экономической задачи, приводящей к двойственной задаче линейного программирования. Симметричные двойственные задачи. Общие правила построения двойственной модели в задаче линейного программирования. Двойственные оценки ресурсов, их экономический смысл. Основные теоремы двойственности. Применение псевдообратных матриц к анализу устойчивости двойственных оценок дефицитных ресурсов и отысканию нового оптимального решения при изменении условий поставок ресурсов.

[1] с. 84-96. [4] с. 80-117 [6] с. 130-152

 

В экономике

 

Тема 6.Динамическое программирование

 

Понятие об управляемой системе и управляемом динамическом процессе. Управляемые и неуправляемые показатели процесса, состояние системы, критерии оптимизации. Принцип динамического программирования Беллмана. Пример решения задачи о распределении операций (управлений) на оптовой базе методом динамического программирования с применением теории графов.

[1] с. 231-235, [4] с. 347-360, [6] с. 361-380.

Раздел 3. Теория графов

Тема 10. Основные понятия теории бинарных отношений и графов.

Разновидности графов.

 

Бинарные отношения в анализе взаимосвязей в экономических системах. Понятие бинарного отношения и его представление в виде графа. Основные элементы графа. Классификация отношений и графов. Операции на отношениях и графах. Значения теории графов и бинарных отношений в постановке и анализе математических моделей. Задачи Эйлера и коммивояжера.

[5] с. 7-12, [6] с. 277-292.

 

Темы практических занятий

Цель: Научить студентов составлять модели задач и решать их.

 

Раздел 1. Линейное программирование.

Графический метод

Вопросы к теме:

1. Построение допустимой области решений ЗЛП.

2. Графическое решение ЗЛП двух переменных.

3. Графическое решение ЗЛП в канонической форме.

 

Программирования.

Вопросы к теме:

1. Симплексная таблица для ЗЛП в канонической форме.

2. Построение первоначального опорного плана.

3. Переход к новому опорному плану..

 

В экономике

 

Раздел 3. Теория графов.

Тема 10. Основные понятия теории бинарных отношений и графов.

Разновидности графов.

Вопросы к теме:

1. Виды графов. Орграфы, н-графы.

2. Цепи и циклы в графах. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.

 

Тематика контрольных работ

1. Решение задач линейного программирования графическим и аналитическим (симплекс-методом) способами.

2. Решение транспортной задачи.

3. Решение задач, заданных матрицами (игра двух лиц, игра с природой»).

4. Матричные представления графов. Потоки в сетях.

8. Вопросы для подготовки к экзамену

 

1. Понятие задачи линейного программирования (ЗЛП). Постановка ЗЛП.

2. Система линейных неравенств. Множество решений системы линейных неравенств.

3. Основная задача линейного программирования. Целевая функция. Максимизация и минимизация целевой функции. Ограничения.

4. Графический метод решения ЗЛП.

5. Графический метод решения ЗЛП в каноническом виде, когда число свободных переменных не превосходит двух.

6. Симплекс-метод. Базисные и свободные переменные.

7. Правила построения симплекс-таблицы.

8. Основная теорема симплексного метода.

9. Двойственность в линейном программировании.

10. Построение двойственной ЗЛП.

11. Исследование пары двойственных задач.

12. Определение двойственных оценок ЗЛП.

13. Экономическая интерпретация двойственных оценок.

14. Основные теоремы двойственности (1-я и 2-я)

15. Двойственный симплекс-метод.

16. Транспортная задача. Первая и вторая транспортные задачи.

17. Определение исходного опорного решения по правилу «северо-западного угла».

18. Определение исходного опорного решения по правилу «минимального элемента».

19. Построение новых опорных решений с помощью метода потенциалов.

20. Открытая модель транспортной задачи.

21. Основные понятия теории игр. Методы решения задач теории игр.

22. Матричные игры с седловой точкой. Чистые стратегии.

23. Решение игры в смешанных стратегиях. Теорема фон Неймана и следствие.

24. Графическое и аналитическое решение матричных игр.

25. Редукция матричной игры. Теорема.

26. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

27. Понятие об игре с «природой». Критерии оптимальности при решении задач игры с «природой».

28. Системы массового обслуживания в торговле. Основные понятия и определения.

29. Марковские процессы и цепи Маркова.

30. Граф состояний СМО. Примеры СМО.

31. Составление системы дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.

32. Потоки событий.

33. Классификация СМО в торговле.

34. СМО с отказами. Основные показатели.

35. СМО с неограниченной очередью. Формулы Эрланга для определения основных параметров системы.

36. СМО с конечной очередью. Основные зависимости для определения параметров системы.

37. Введение в теорию графов. Основные понятия и определения.

38. Эйлеровы и гамильтоновы графы.

39. Матричные представления графов.

40. Операции над графами. Изоморфизм графов. Подграфы. Плоские графы.

41. Двудольные графы. Задача о назначениях.

42. Применение теории графов к решению задач торговли.

43. Сети. Определение минимального разреза в графе.

44. Сети. Построение максимального потока для графа. Теорема.

45. Пути и маршруты в графах.

46. Понятие о задачах динамического программирования.

47. Задача построения оптимальной последовательности операций по приему и отпуску товаров на оптовой базе.

 

 

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Литература

Основная литература

 

1. Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов и А. Б. Волощенко. Математическое программирование. М.: «Высшая школа». 1980, 300 с.

2. А. А. Спирин, Г.П. Фомин. Экономико-математические методы в торговле. М.: «Экономика». 1988. 149 с.

3. М.В. Зайцев, А. А. Беляев. Прикладная математика. Сб. задач, часть I, М.: 1998, 32 с.

4. Рутковский Р.А. Сакович В. А. Экономико-математические методы в торговле. Минск. Высшая школа. 1986 г.

5. А.А. Спирин, Ю.Н. Шведов, А.В. Киселев. Теория графов и линейное программирование. Конспект лекций для студентов всех экономических специальностей. М.: 1995г.

6. Г.П. Фомин математические методы и модели в коммерческой деятельности. М.:,,Финансы и статистика “ 2005г. 616с.

 

Дополнительная литература

 

1. Авадо-Бадино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс.1966.

2. Оре О. Графы и их применение. М.: Мир. 1965.

3. Дж. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир. 1967.

4. Е.С. Вентцель. Исследование операций. М.: Наука, 1980.

5. Хемди А.Таха. Введение в исследование операций. 7 изд. Издательский дом,,Вильямс”. Москва. Санкт-Петербург. Киев. 2005. 902с.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОСТОВСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

 

 

Одобрено УМС Ростовского института

(филиала) ГОУ ВПО «РГТЭУ»

Протокол №___________

«______»________________200___ г.

___________________________

 

 

Стрикалов А.И., Ткачев Г.В.

 

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»