Учет погрешности вычислений.

Оценка погрешностей результатов действий над приближенными значениями чисел. Округление приближенных чисел.

Пусть , где - числа заданные своими приближениями, т.е.

Далее обозначим через следовательно

Утверждение 1: , т.е. сумма границ погрешностей приближенных слагаемых является границей погрешностей их алгебраической суммы

Утверждение 2: Среди границ относительной погрешности суммы приближенных значений слагаемых существует такая, которая не превышает наибольшей из границ погрешностей слагаемых, т.е.

Утверждение 3: Сумма границ относительных погрешностей приближенных сомножителей является границей относительной погрешности их произведения.

Следствие 1: При умножении приближенного значения числа на точный множитель относительной погрешности числа не изменяется, а абсолютная погрешность увеличивается в раз.

Следствие 2: Произведением границ абсолютной погрешности приближенного значения числа на целое положительное число является границей относительной погрешности результата возведения числа в целую положительную степень , т.е.

Следствие 3: Частное границы относительной погрешности приближенного значения числа и является границей относительной погрешности результата извлечения корня степени из , т.е. .

Утверждение 4: Сумма границ относительной погрешности приближенных значений делимого и делителя является границей относительной погрешности частного, т.е.

 

Пусть

При округлении приближенного значения числа получается новое приближение числа .

Таким образом мы доказали Теорему.

При округлении приближенного значения числа , получается новое приближенное значение для которого границей погрешностей является сумма границ погрешностей округляемого приближения и погрешности округления, т.е.

Пример: Произвести округление приближенного значения числа до разряда последней верной цифры.

Решение: следовательно

Следовательно все цифры в записи нового приближения верны. Поэтому можно записать

Замечание: Если , то в этом случае желательно оставлять одну сомнительную цифру.

 

Метод границ

Существуют различные способы оценки точности приближ. знач.:

1) метод строгого учета погрешн.

2)приближ. вычисл. без учета погрешн.

3)метод границ

Метод границ позволяет установить границы в кот. закл. знач. выполняемое по ф-ле, если известны границы парам., входящих в эту же ф-лу. Пусть Х-нек. число, нижняя граница НГх, верх. граница Х ВГх, НГх≤х≤ ВГх, НГy≤х≤ ВГy справедлива теор. 1:

Теорема 1

Сумма нижн. границ слаг. явл. нижн. границей суммы слаг. Сумма верх. границ слаг. явл. верх. границей суммы слаг.

Теорема 2

НГх-у= НГх- ВГy, ВГх-у= ВГх- НГy.

Док-во:

НГх- НГy≤х-у≤ ВГх- ВГy т.о.

НГх-у =НГх- НГy

ВГх-у = ВГх- ВГy

Пример

5.7≤х≤8.4 9≤х+у≤13.8

3.3≤у≤5.4 0.3≤х-у≤5.1

Теорема 3: Если нижние границы сомнож. неотриц., то справедливо след.: НГх* НГy≤ху≤ ВГх* ВГy.

Теорема 4: Если нижн. Граница х неотриц. и n-целое полож. число, то нижн. граница =( =(

Теорема 5: Если нижн. границах неотриц., то = и =

Теорема 6: Если нижняя граница делителя полож., то ≤ ≤ . Док-во: ≤ ≤

Пример: Найти А=

2.57≤х≤2.58;1.45≤у≤1.46;8.33≤z≤8.34 (табл.).

8. Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения СЛАУ.

Бол-во физ. задач решаются при помощи мат. Знаков один из методов решения таких задач-это эксперимент.Второй-матем. исследование физ. Явления.Такое исслдед. применяется не к реал. Физ. процессу, а к его мат. модели.первая стадия при решении задачи – это постановка задачи или формул- мат. модели.2-ая задача – матем. Модели в завис. От её применения.Числ. методы делятся на:

- точные(дают решение задачи через конечное число арифм. Действий причём, если

исх. данные известны точно и вычисл. производ. без округл., то и вычисл. произв. точно-м. Гауса,Крамера и процесс ортогонализации)

- приближённые или итерационные методы (дают бескон. послед. приближенный, предел кот. если он Э явл. решением задачи – метод простой итерации, метод касат. реш.ур-ний и сист. ур-ний метод секущих, метод Зейделя.

Мн-во х произв.эл-ов наз. метрическим пр-вам, если любым эл-ам х,у став. в соотв. (х,у) наз.расст.между х,у (метрикой) удовл.след.условиям:

1) (х,у) 0 и (х,у)=0 если х=у

2) (х,у)= (у,х)

3) (х,z)

Послед. {хn cх}наз.сходящейся если к х* х если метрика между {хn,xm}

Метр.пр-во в коп. всякая фунд.послед.сходится наз.полным.

Пусть х,у-метр.пр-ва,отображение f:х Y наз.оператором заданное в х со знач.у,то f-отображ.метрич.пр-во на себя.Если f(х)=х,где х х,то х-неподвиж.точка отображ. f. Метод оптимального исключения по существу является вариацией метода Гаусса. Идея этого метода состоит в том, что последовательным исключением неизвестных матрица системы приводится к диагональному виду. Возможность же таких эквивалентных преобразований следует из теоремы о приведении матрицы к диагональному виду.

Теорема. Для любой квадратной вещественной матрицы А л-го порядка существуют такие квадратные вещественные матрицы и и v (п-го порядка), что матрица UAV - диагональная. (см. с. 29).

Критерий

Если f(x) непрерыв. и монотонна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, то на данном отрезке существует единств. Корень ур-ния 1.

Отделить корни также можно и графически: найти т. пересеч. графика у= f(x) с осью ОХ.

Самый лучший способ отделения корней- метод Штурмана.

Дихотомия (деление отрезка пополам)

Требуется решить ур-ние 1, где f(x)-непрерыв. ф-ция.

Пусть каким-то образом мы определ. отрезок [ ], что выполн. f()*f()<0. Далее произведем деление = . Из 2-х получ. отрезок: выберем тот, на концах кот. f(x) разного знака.

Выбр. отрез. аналог. делим пополам. Если нам надо получ. корень с опред. точн., то мы будем продолж. деление до тех пор, пока длина получ. отрезка не станет=2*ε. Тогда длина получ. отр. не станет=2*ε. Тогда длина получ. отр. и будет реш. с точн. ε. Дихотомия проста и надежна в исп. она всегда сход. к простому корню для любой непрерыв. ф-ции в т. ч. и недифференцир. Дихотомия устойчива к округл. Скорость сходимости дихот. невелика: за одну итерацию точность увелич. ≈ в 2 раза.

Теорема (принцип Банаха)

Пусть R- полное метр. пр-во. Если отобр. f: R→R явл. сжатием, то для него существ. единств. неподвиж. точка, кот. явл. пределом послед. получ. по ф-ле: =f(), ?R.

Док-во:

1) Рассм. метрику (, )= ( f())≤α ( )≤ (, )≤…≤ ( ),где 0<α<1.

2) Возьмем k<l (k,l-члены послед.): ( )≤ ( )+ ( )≤ ( )+ ( )+ ( )≤ ( )+ ( )+…+ ( )≤ + +…+ ) ( )= ()

( )≤ ( )→0

Т.о. мы получаем, что - фундаментально.

3)Т.к. R-полное метр. пр-во, то в нем всякая фунд. послед. сходится т.е. → ?R.

Покажем, что - неподвиж. точка отображ. f, т.е. имеет место след. запись f()= .

Рассм. .

Рассм. f()≤ + (. f( = + f(), f( α )→0.

Т.о.

4) Докажем, что f.

Предположим противное: f() и = f() ()= (f(),f())≤α ( < (

Точки получ. по ф-ле =f( к реш. x=f(x).

Итак справедлива оценка ( )≤ ( ), если потреб. Чтобы l→∞, то получ. что тогда мы получ. оценку погрешн. (, )≤ ( ).

Правая часть нер-в→0 со скор. , а эта скорость→0 геометр. прогрессии. Такая скорость-линейная.

 

10. Пусть надо решить F(x)=0 (1), где F(x) – вещ. ф-ция вещ. аргумента. Запишем ур-ние 1 в виде x=f(x) (2). Сделаем так: умножим рав-во 1 на ф-цию ψ(x), где ψ(x) – непрерывная знакопостаянная ф-ция. Далее прибавим x. x– ψ(x)*F(x)=x. Пусть к/им-то обр. нашли нач. приближение решение ур-ия 1, тогда остальные прибл-ия будут наход-ся по ф-ле (3). Далее 3 будет наз. м-дом простой итерации.

Т-ма о сходности м-да: пусть выполн. условия: 1) f(x)- определена и непрерывна на промежутке и удовлетворяет условию Липшица: , при . 2) для нач приближения выполн. 3) числа m, , q связ соотнш-ем , тогда ур-ние 1 в обл им. единственное решение , к к/му сходится итерац. процесс 3 со скоростью (4). Док-во т-мы аналог-но док-ву пр-ципа Банаха. Замечание: условие Липшица с для ф-ции f(x) на выполн-ся, если сущ-ет производная данной ф-ции f`(x). Из-за оценки 4 =>, что м-д итераций 3 сход-ся со скоростью геометр. прогрессии, т.е. линейной. Т.к. итерац. процесс бесконечен, то надо использ. правило останова: 1) по невязке , где - ур-нь останова, m – момент останова. 2) по соседним приближениям . Т.о. приближенное нахождение вещ-ых. изолир-ых. корней ур-ния 1 делится на 2 этапа: 1. определение корней; 2. уточнение приближ. знач. корней с помощью итерац. м-да с заданной точностью.

Пример: Методом итераций найти отрицательный корень уравне­ния х4 + х-3 = 0.

Решение: Данное уравнение имеет два действительных корня; отрицательный корень находится на отрезке [-1,5; -1,4], так как для его концов выполня­ется условие f(-1,5) * f(1,4) < 0.

Уравнение запишем в виде х = х + с(х4 + х - 3 = о), где с - постоян­ная. Выберем значение постоянной так, чтобы для функции

ψ(х)=х + с(х4 + х-3) выполнялось условие .

В качестве такого значения можно взять с = 0,1; тогда ψ(x) = 0,lx4 + l,lx-0,3,

ψ'(х) = 0,4х3 +1,1; ;

Взяв = 1,45, вычислим последующие приближения по формуле , где 𝛏=-1,45262 – корень ур-ия.

 

 

11. Пусть на нек/ом [a,b] ф-ция F(x) и F`(x) 0 и F``(x) 0, F(a)F(b)<0 на концах отрезков ф-ция меняет знак из условия следует ур-ние F(x)=0 имеет только один корень. Запишем ур-ие 1 в виде x=f(x) – 2. Домножим на ψ(x) непрерывную в окрестности точки . В кач-ве ψ(x) возьмем конкретную ф-цию . Отсюдо получим . Пусть к/им-то обр. будет выбрано – нач. приближение решения ур-ия 1. Тогда остальные приближения рассчит-ся по ф-ле: (3) метод Ньютона.

Необход док-ть: . Для док-ва сходимости 3 нам надо док-ть, что f- сжатие. . Пусть x= . f(x)–непрерывна на [a,b], а из непрерывности f `(x) следует, что сущ-ет окрестность точки , т/ая что . . Отсюда следует главный вывод: если и кроме этого , то отображение f(x) явл. Сжатием и по пр-ципу Банаха м-д 3 будет сход-ся к . Получим скорость сходимости м-да 3. Для этого разложим ф-цию F(x) в ряд Тейлора в опр. точке . , 𝛏 .

x= , т.к. производная ф-ции 0, то , тогда (4). В ф-ле 3 вычислим : . Если обознач. в кач-ве и , тогда (5).

Замечание: если удаётся получить нер-во , где – символ Ландао. Если k = 1, то сходимость м-да линейная; k = 2, то квадратичная; k = 3, то кубическая; k > 1, то сверхлинейная. Тогда из 5 следует что скорость сходимости м-да квадратичная. Получим оценку погрешности для м-да 3. Для этого потребуем, чтобы нач приближение выбиралось из усл.: ;

– оценка погрешности м-да (оценка скорости сходимости). При переходе от 1 итерац. К др. в м-де Ньютона число верных знаков в последних приближениях удваиваются. Достоинства: высокая скорость сходимости; Недостатки: узкая область сходимости.

Геометрический смысл м-да Ньютона

F(x) = 0 на [a, b] F(a) F(b)=0

Проведем ч/з т. a касательную y=F `(a)+ F `(a)(x-a) и найдем ее пересечение 0=F(a)+F`(a)(x-a); при F `(a) 0. Ч/з точку проведем новую касательную y=F `()+ F `()(x- ). При у=0 . Т.о. м-д Ньютона – это м-д касательных.

 

12. Будем решать ур-ие: F(x)=0 (1), где F(x) – дважды дифф-ая непрерывная ф-ция на [a, b]. F`(x) 0 и F``(x) 0 на [a, b], F(a)F(b)<0. Приведем ур-ие 1 к виду: x=f(x) (2).

–ψ(x)F(x)=0 –ψ(x)F(x)+x=x x– ψ(x)F(x)=x (x– ψ(x)F(x)=f(x)). Пусть ψ(x)= . Т.о. получим, что . Будем считать, что ф-ция ψ(x) непрерывна в окрестности т. и надо, чтобы выполнялось F()* F``() . Т.о., получим новый итерац. м-д: (3) метод хорд. Покажем, что итерац. процесс 3 сходится к ур-ию 1, т.е. убедимся, что f(x)–сжатие.

; (+). Разложим ф-цию F(x) в ряд Тейлора в т. : , 𝛏 (x, ). Подставим в последнее рав-во вместо x получим: (*). При n=0: ; ; ; при . Т.о. , тогда из непрерывности ф-ции f`(x) => окрестность U() такая, что будет выполняться . Если взять нач. приближение из U(), то тогда будет выполняться условие Липшица и м-д 3 будет сход-ся.

Получим оценку погрешности м-да 3: , 𝛏 (). Выразим , где – .

Скорость сходимости м-да 3 – линейная. выбираются так, что и были разного знака. Достоинства: широкая обл. сходимости; недостатки: небольшая скорость.

Частные случаи

;

.

Пусть в ** = b: .

По последней ф–ле считают, что если известно F(b)* ) >o, =0.

Пусть в ** = а: .

Если F(а)* ) >o, =b. График 1.

. Преобразовав это ур-ие с учетом пересечения OX. (AB) OX =>y=0

Если )>, то f(x) вогнутая ф-ция; если )<0, то f(x) выпуклая ф-ция.

Графики (4).

Метод хорд им. Линейную скорость сходимости и оценку погрешности .

Если в ф-ле 3 вместо взять

(4), то ф-ла 4 наз-ся методом секущих. Для м-да секущих в ф-ле

, =>скорость свехлинейная.

Метод Гаусса.

Пусть дана система ур-й:

Ах = b (1)

а₁₁х₁ +... + а_1пх_п =b₁

… (2)

а_пх_х +... + а_Хпх_п =b_n

Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с произвольной матрицей А приводится к системе (3), где А – верхняя треугольная матрица.

Из сис-мы (3) из посл-го ур-я нах x_n, из предпосл-го x_n-1 и т д. Сведение сис-мы (1) к к ситс-ме (3) наз прямым ходом метода Гаусса, а нах-ние x_n, x_{n-1, …,} x₁ обратным ходом.

При вычислении по этому методу велика вер-ть ошибок. Поэтому вводят контр столбец , где . Эл-ты контр столбца преобр по тем же ф-лам что и эл-ты строк матрицы, а затем провер рав-ство суммы эл-тов преобр-х строки и контр эл-та. Они должны совп с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Вычисление определителя.

Идея способа Гаусса посл-ного исключения неизв переем в системе ур-й также м б перенесена на задачу выч-ния определителя, только здесь она переходит в способ послед-го понижения порядка n опр-ля. Рассмотрим схему единственного деления. Пусть дан определитель

 

Выберем ведущий элемент первого шага преобразований. Он д б отличным от 0; чтобы избежать сильного разброса в порядках чисел, за него принимают либо наиб по модулю элемент опр-ля D, либо наиб эл-нт в избранной строке или избранном столбце. Выполняя т о перестановку строк и столбцов, можно считать, что за ведущий элемент принят а₁₁. Вынося а₁₁ из первой строки (столбца) за знак D, приведем определитель к виду

 

Умножая первую строку последовательно на а₂₁, а₃₁, …, а_n1 и вычитая из второй, третьей и т.д. строк, получим

Этим мы понизим порядок определителя на единицу и можем перейти ко второму шагу преобразований, применяя к полученному порядку n-1 такие же преобразования. Выполняя все п шагов, найдем определитель D как произведение ведущих элементов:

Метод наименьших квадратов.

Пусть известен вид эмпирической формулы y=φ(x; ) и φ()- , i= , ─ уклонения эмпирической формулы.

По методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, при которых сумма квадратов уклонений является минимальной:

S()=

Воспользуемся необходимым условием экстремума ф-ций нескольких переменных, по которому частные производные равны 0:

; ; …; ;

Получили, так называемую нормальную систему для нахождения параметров . Если полученная система имеет единственное решение, то оно будет искомым.

Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратных уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине, чего нельзя сказать о методе средних. Недостаток метода наименьших квадратов – громоздкость вычислений.

Определение параметров эмпирических формул по методу наименьших квадратов в случае квадратичной зависимости.

Дана таблица:

x			…
y			…

Рассмотрим пары () как прямоугольные координаты на плоскости и предположим, что точки M(), i= , почти лежат на параболе. В этом случае естественно предположить, что между x и y существует квадратичная закономерность:

, i=

, i=

Выберем параметры a, b, c так, чтобы выполнялось S=

Необходимо, чтобы сумма была наименьшей. Для этого необходимо, чтобы =0; =0; =0;

Находя выражение для частных производных для ф-ции S по переменным a, b, c получим так называемую систему уравнений:

Из этой системы, используя, например метод Гаусса, и определяются параметры a, b, c эмпирической формулы.

Учет погрешности вычислений.

При решении математических задач возникают погрешности вычислений. Их основные источники:

1) математическая модель

2) приближенный метод

3) погрешность исходных данных

4) погрешность округлений

При составлении математической модели реального математического процесса часто приходится принимать условия упрощающие постановку задач. Математическая модель не отражает точно реальные явления, а дает лишь идеализированную практику. Погрешность, которая возникает при этом называется погрешностью модели или постановки задач.

Часто для решения математических задач применяют метод ее приближенного решения. Например, при вычислении того же интеграла пользуются квадратурной суммой и т.д. При этом возникают погрешности недуга.

Погрешность может быть вызвана тем, что при вычислениях приходится производить действия над приближенными, а не точными значениями параметров входящих в математическую формулу (исходные данные заданны приближенно). При этом погрешность исходных данных в какой-то степени переходит в погрешность результатов. Такую погрешность называют погрешностью действий или исходных данных.

Также погрешность возникает при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большое количество значащих или десятичных знаков чем требуется в вычислениях. Такая погрешность называется погрешностью округления.

Опр.1. Пусть некоторое число, приближенным значением (приближением) числа называется число , которое в определенном смысле заменяет вычислением. Запись означает, что число является приближенным значением числа .

Опр.2. Погрешностью приближенного значения числа называется разность . Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью. По знаку погрешности можно определить, как взято число :

- с недостатком или с избытком (если , то взято с недостатком, если , то число взято с избытком).

Опр.3. Границей погрешности приближенного значения