Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-12-13 | 393 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
СФЕРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
,
; ; ;
Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат .
Используется для описания вращательного движения, в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.
Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.
Число l связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.
Набор образует полный ортонормированный базис на единичной сфере.
Момент импульса ЧАСТИЦЫ
В классической механике
,
– радиус-вектор частицы, – импульс. Направление L определяется правилом правого винта.
В декартовых координатах
,
,
,
.
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
В квантовой механике величины заменяются операторами
, ,
.
Оператор градиента
, (7.1)
n k – единичные орты, направленные в сторону перемещения точки при бесконечно малом увеличении соответствующего аргумента.
Операторы момента импульса
,
,
,
,
. (7.2)
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
Сферические координаты
, , . (7.3)
Оператор градиента
, (П.8.1)
– единичные орты. Операторы момента импульса
, (7.4)
. (7.5)
Оператор Лапласа
Выражается через квадрат момента импульса
, (7.6)
определяет кинетическую энергию частицы.
Радиальная часть оператора Лапласа
|
. (7.7)
Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)
.
Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:
.
Выполняются
,
.
Если операторы коммутируют, т. е. их можно переставлять , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Если коммутатор операторов не равен нулю, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины.
Для операторов момента импульса
,
,
,
. (7.8)
Определенные значения имеют одновременно квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций .
Повышающий и понижающий операторы
,
. (7.9)
Действуя на сферическую функцию , операторы изменяют на единицу число m, т. е. проекцию вектора момента импульса на ось z.
Выполняются
,
, (7.11)
. (7.12)
Доказательство (7.12):
,
где использовано
. (7.8)
УРАВНЕНИЕ СферическОЙ функциИ
является собственной функцией оператора квадрата момента импульса
, (7.13)
где – собственное значение оператора . Если объект находится в состоянии , то квадрат момента импульса равен .
С учетом
, (7.5)
уравнение для сферической функции
. (7.14)
Ищем решение уравнения и собственное значение λ.
Разделение переменных
Слагаемые (7.14) имеют производные от разных аргументов, поэтому аргументы решения разделяются
.
Подставляем в уравнение, умноженное слева на , и группируем слагаемые по их аргументам
.
Левая и правая стороны зависят от разных аргументов, поэтому они равны постоянной m. В результате получаем независимые уравнения
, (7.15)
. (7.16)
Решение уравнения (7.15)
1. Уравнение (7.15) является уравнением Гельмгольца и имеет решение
.
2. Однозначность решения накладывает условие периодичности по углу
.
Получаем
,
откуда
, ,
|
– магнитное число,
.
3. Квадрат модуля функции состояния является плотностью вероятности состояния и удовлетворяет условию нормировки
,
тогда
,
. (7.17)
На основании
(1.43)
выполняется условие ортонормированности
. (7.18)
4. Для оператора проекции момента импульса
, (7.4)
выполняется
,
. (7.19)
Следовательно, и – собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z с собственным значением . В состоянии, описываемом функцией , измерение проекции момента импульса на ось z дает
.
Значение l в уравнении
1. Оператором
(7.11)
действуем на и используем
, (7.19)
получаем
.
Операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , т. е. – повышающий оператор, – понижающий оператор.
2. Проекция вектора не превышает его модуль. Если
,
то нет состояний с , тогда действие повышающего оператора на состояние с максимальной проекцией
.
3. Действуем на оператором
. (7.12)
Используем
(7.19)
и
, (7.13)
тогда
и находим
.
4. В результате
,
, (7.20)
где
– магнитное число;
– орбитальное число;
– проекция орбитального момента на ось z;
– модуль орбитального момента.
Сферическая функция
В результате
, (7.24)
. (7.24а)
Из
(6.120)
следует соотношение между состояниями с противоположными проекциями
. (7.25)
Используем
, (1.43)
, (6.123)
получаем условие ортонормированности
. (7.27)
Инверсия координат
Заменяем
,
,
,
, ,
,
,
получаем
. (7.28)
Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.
Частные выражения
Используем
, (7.24)
и находим
,
,
,
,
,
,
. (7.29)
При нет зависимости от углов – центрально-симметричное распределение;
При нет зависимости от угла φ – осесимметричное распределение.
Плотность вероятности
Рекуррентные соотношения
1. Соотношение
. (6.127)
умножаем на
,
учитываем
(7.24)
и получаем
. (7.32)
2. В (6.125) заменяем , тогда
.
Умножаем на
и находим
. (7.33)
3. В (7.33) заменяем , комплексно сопрягаем, используем
, (7.25)
,
получаем
. (7.34)
Первое слагаемое
|
При изменении радиуса
, , ,
тогда
.
Второе слагаемое
При изменении угла θ, аналогично углу φ в полярных координатах:
, , ,
тогда
.
Третье слагаемое
При изменении угла φ используем
, , ,
находим
.
В результате оператор Лапласа в сферических координатах
. (П.8.3)
СФЕРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
,
; ; ;
Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат .
Используется для описания вращательного движения, в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.
Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.
Число l связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.
Набор образует полный ортонормированный базис на единичной сфере.
Момент импульса ЧАСТИЦЫ
В классической механике
,
– радиус-вектор частицы, – импульс. Направление L определяется правилом правого винта.
В декартовых координатах
,
,
,
.
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
В квантовой механике величины заменяются операторами
, ,
.
Оператор градиента
, (7.1)
n k – единичные орты, направленные в сторону перемещения точки при бесконечно малом увеличении соответствующего аргумента.
Операторы момента импульса
,
,
,
,
. (7.2)
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
Сферические координаты
, , . (7.3)
Оператор градиента
, (П.8.1)
– единичные орты. Операторы момента импульса
, (7.4)
. (7.5)
Оператор Лапласа
Выражается через квадрат момента импульса
, (7.6)
определяет кинетическую энергию частицы.
Радиальная часть оператора Лапласа
. (7.7)
Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)
|
.
Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:
.
Выполняются
,
.
Если операторы коммутируют, т. е. их можно переставлять , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Если коммутатор операторов не равен нулю, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины.
Для операторов момента импульса
,
,
,
. (7.8)
Определенные значения имеют одновременно квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций .
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!