Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-13 | 210 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления
Определение и геометрический смысл двойного интеграла
Пусть - некоторая замкнутая ограниченная область на плоскости , а - произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Разобьем область произвольно на n непересекающихся частей , с площадями (i= 1,2,…, n) (рис.1). В каждой части выберем произвольную точку и составим сумму
,
которую назовем интегральной суммой для функции в области .
Рис. 1
Обозначим через d наибольшее расстояние между граничными точками области .
Если интегральная сумма при имеет конечный предел, равный I, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается одним из следующих символов:
; или .
Функция - интегрируемая в области , - область интегрирования, x и y – переменные интегрирования, d s (или d x d y) – элемент площади.
Если функция непрерывна в области , то она интегрируема.
Теорема 1. Если и непрерывна в области , то интеграл
,
выражает объем тела, ограниченного снизу областью , сверху – поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области . (рис. 2).
В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.
Рис. 2.
В частности, если , то равен площади области :
.
Свойства двойного интеграла
1. Линейность. Если функции и непрерывны на области , то
(α и β – постоянные числа).
2. Монотонность. Если функции и непрерывны на области и всюду в этой области , то
.
Таким образом, неравенства можно почлено интегрировать.
В частности, если , то
,
где - площадь области . Данные неравенства называются оценкой интеграла. Еще одно следствие: если на области , то
|
.
3. Теорема о среднем значении.
Если функция непрерывна на области , то существует точка такая, что
, или .
При этом значение , т. е. число
,
называется интегральным средним значением функции в области .
4. Аддитивность. Если область представляется в виде объединения двух областей и без общих внутренних точек, то
.
5. Для любой функции , непрерывной на области , имеет место неравенство
.
Применения двойного интеграла
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д.
Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты (рис. 20) представляют собой обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами формулами
, , .
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле
.
В частности, если положить в этом равенстве , то получим формулу для объема тела в цилиндрических координатах:
.
Сферические координаты
Сферические координаты , , связаны с прямоугольными координатами при помощи формул (рис. 21)
Рис. 21.
В общем случае переменные , , изменяются в пределах , . Формула перехода к сферическим координатам имеет вид
Положив , получим формулу для объема тела в сферических координатах:
Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!