Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-13 | 258 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
Пусть функция f (x; y; z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например O z). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.
Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси O z. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z = z 1(x; y), а верхняя – уравнением z = z 2(x; y), где z 1(x; y), z 2(x; y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):
Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси O y, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси O y входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y = y 1(x), вторая: y = y 1(x) (a £ x £ b). В этом случае
,
то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда
= =
.
Пример 1. Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x= 0, y= 0, z= 0 и x+y+z= 1.
|
D Спроектируем телона плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x= 0, y= 0, x+y= 1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z =0 (XOY)до плоскости x+y+z= 1. Отсюда z= 1 -x-y. Итак, если (x; y)Î(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .
Сведем двойной интеграл к повторному.
Если - фиксировано (0£ х £1) то может изменяться от прямой (ось О х) до прямой y + x =1 (y =1 -x). Следовательно,
. D
2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Как и для двойного интеграла, для тройного интеграла имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические.
I. Цилиндрические координаты
Пусть M 1 - проекция точки M на плоскость XOY, r=OM 1- полярный радиус точки M 1, q=ÐxOM 1- полярный угол точки M 1, z – аппликата точки M. r, q, z называются цилиндрическими координатами точки M. . Обозначается M (r; q; z).
Связь с x, y, z: x=r cos q, y=r sin q, z=z.
Следовательно, преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам происходит так же, как и преобразование двойного интеграла к полярным координатам.
Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:
.
Если положить f (x; y; z)=1 всюду в (V), то
- объем тела (V) в цилиндрических координатах.
Выражение называется элементом объема в цилиндрических координатах.
Пример 2. Вычислить объем кругового цилиндра высоты H с радиусом основания R.
D Поместим начало системы координат в центр нижнего основания конуса. Тогда 0£ r £ R, 0£ q <2 p, 0£ z £ H.
.
(известная формула элементарной геометрии). D
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .
D Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость XOY. Для этого из уравнений выразим и решим систему:
,
,
или - не удовлетворяет условию .
Следовательно, линией пересечения поверхностей является окружность , при этом .
|
Т.к. тело симметрично относительно плоскостей XOY и YOZ, то можно вычислить объем тела , лежащего в I октанте и умножить на 4. Тогда .
Так как проекция тела на плоскость XOY – круг, то следует перейти к цилиндрическим координатам: x=r cos q, y=r sin q, z=z.
Преобразуем уравнения границ:
,
.
Уравнения границы проекции: .
Итак, в области : . Следовательно,
=
. D
II. Сферические координаты
Сферическими координатами точки называются: ОМ=r - расстояние от точки до начала координат, j = ÐxOM 1 - угол между O x и проекцией отрезка на плоскость XOY, q = ÐzOM - угол между осью O z и отрезком OM: М (r; j; q), r ³0, 0£ j <2 p, 0£ q £ p.
Связь с прямоугольными координатами:
z = r cos q (из D zOM),
OM 1= r sin q (из D zOM, zM=OM 1),
x = OM 1cos j Þ x = r sin q cos j (из D xOM 1),
y = OM 1sin j Þ y = r sin q sin j (из D xOM 1, xM 1=O y).
Итак, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cos q.
. (Вычислить самостоятельно.)
Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:
.
Если положим здесь f (x; y; z)=1 всюду в (), то получим
- объем тела (V) в сферических координатах.
Выражение называется элементом объема в сферических координатах.
Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.
D Поместим начало системы координат в центр шара. Тогда 0£ r£R, 0£ q <2 p, 0£ q £ p.
.
(известная из элементарной геометрии формула). D
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!