Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-12-12 | 260 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если непрерывна и неотрицательна на промежутке , то есть масса стержня с плотностью .
Пример. Вычислить
1) Пусть , тогда
2) ; .
Следовательно, при несобственный интеграл расходится, а при сходится.
Пример. Вычислить интеграл .
.
Пример. Вычислить
7.2.2. Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке.
Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.
Рассмотрим произвольное .
Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке .
Несобственный интеграл определяется следующим равенством
.
Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:
, где ; .
Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.
Несобственный интеграл определяется следующим равенством:
, если оба интеграла справа существуют.
Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.
Несобственный интеграл определяется равенством:
, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.
Можно показать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от выбора точки с.
Пример. Вычислить интеграл .
1)
2) .
Таким образом, несобственный интеграл , сходится, а при расходится.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, осью OY, прямой и графиком функции при .
7.2.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.
В данном пункте под несобственным интегралом мы будем понимать какой-либо из ранее рассмотренных несобственных интегралов. В частности, a и b могут равняться .
|
Теорема 1. Если в рассматриваемом промежутке выполняются неравенства , то из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . (Без док-ва).
Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Теорема 2. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. (Без док-ва).
Пример. Исследовать на сходимость интеграл .
- сходится (см. п. 7.1.1.). По теореме 1 сходится интеграл . Это означает, что данный интеграл сходится абсолютно. Следовательно, по теореме 2 данный интеграл сходится.
Отметим, что данные рассуждения не позволяют найти точное значение интеграла .
Лекция 8.
Тема: Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел.
8.1. Вычисление площадей плоских фигур.
8.1.1. Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.
Пусть на плоскости задана ограниченная область D.
Область D проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что любая прямая , пересекает границу области D в двух точках. Прямые и могут иметь с границей области общие отрезки.
В данном случае можно записать уравнение кривой, ограничивающей область D снизу и уравнение кривой, ограничивающей область D сверху .
Отрезок [a,b] произвольным способом разобьем на n частей точками . Это разбиение обозначим через Т. Через обозначим наибольшую из длин частей разбиения. Пусть , тогда .
В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке .
Прямые разобьют область D на n частей. К-тую часть разбиения заменим прямоугольником с основанием и высотой .
Площадь S фигуры D приближенно равна .
Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой.
|
В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и
.
Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.
Замечание 1. Область D можно проецировать на ось OY на отрезок и тогда , где кривая ограничивает область D снизу, а кривая ограничивает область D сверху.
Замечание 2. Если область D такова, что сразу нельзя по предыдущим формулам вычислить площадь в области D, то область D надо разбить на конечное число частей, не имеющих общих внутренних точек, так что можно вычислить площадь каждой из частей. Тогда площадь в области D вычислится как сумма площадей частей разбиения.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Область D проецируется на ось OX в отрезок [0,3]. Сверху область D ограничена линией
Снизу область D ограничена линией . По формуле находим:
8.1.2. Вычисление площади фигуры, граница которой задана параметрически.
Пусть область D проецируется на ось OX в отрезок [a,b] и . Функция x=x(t) на промежутках и монотонна и имеет непрерывную производную.
В частности, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, причем уравнение верхней кривой , задано параметрически
, где x(t) монотонная функция имеет непрерывную производную на , , то где .
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом . Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде: x=acost, y=bsint,
.
8.1.3. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.
Вычислим теперь площадь области D в полярной системе координат.
Пусть область D ограничена лучами и . Будем предполагать, что любой луч , , пересекает границу области D в двух точках. В этом случае область D будет ограничена двумя линиями , и лучами .
Угол между лучами и разобьем произвольным способом на n частей лучами .
Это разбиение обозначим через (Т), , где .
В каждом частичном угле выберем произвольным способом луч .
К-тому углу поставим в соответствие два круговых сектора с радиусами и .
Площадь области D приближенно равна
.
Естественно за S принять предел таких сумм при .
Выражение, стоящее под знаком предела, является интегральной суммой для функции .
|
Следовательно,
.
Рассмотрим два частных случая.
1) Пусть полюс 0 лежит на границе области D. В этом случае , а .
2) Пусть полюс 0 лежит внутри области D
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
8.2. Вычисление объемов тел.
Общее определение объема тела связано с изучением двойного интеграла и будет изложено в III семестре. Сейчас мы рассмотрим некоторые частные случаи.
8.2.1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.
Пусть в пространстве дано ограниченное тело, границей которого является замкнутая поверхность.
Данная область проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что известна площадь сечения данного тела плоскостью .
Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками . Пусть , .
Плоскости разобьют данное тело на n частей.
В каждом из отрезков разбиения произвольным способом выберем по точке .
Объем К-той части разбиения данного тела приближенно равен , а объем всего тела приближенно равен
.
За объем тела принимают предел сумм при , т.е.
.
Сумма, стоящая под знаком предела, является интегральной суммой для функции s(x), поэтому
.
Отметим, что мы дали определение объема тела и указали способ его вычисления.
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .
Данный эллипсоид проецируется на ось OX в отрезок . плоскость пересекает тело по области, границей которой является эллипс . Найдем полуоси этого эллипса ; .
Следовательно, полуосями эллипса являются
Поэтому, площадь сечения равна
.
Объем тела вычисляется по формуле
.
Если a=b=c, то тело, ограниченное эллипсоидом, является шаром.
, где a – радиус шара.
8.2.2. Вычисление объемов тел вращения.
Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX.
В этом случае и .
Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках.
.
Пример. Вычислить объем тела вращения круга , , вокруг оси OX.
Такое тело называется тором.
Фигура D ограничена сверху полуокружностью , а снизу полуокружностью . Поэтому
|
Последний интеграл есть площадь половины круга радиуса r. Поэтому .
Лекция 9.
Тема: Вычисление длины кривой, площади поверхности тела вращения.
9.1. Вычисление длины кривой.
9.1.1. Пусть некоторая кривая является графиком функции , , для которой является непрерывной функцией на . Такие кривые называются гладкими.
Во-первых, мы должны дать определение длины кривой, во-вторых, указать способ ее вычисления.
Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками
Этому разбиению будет соответствовать некоторое разбиение кривой AB на n частей точками .
Соседние точки на кривой соединим отрезками, в результате получим ломаную . Длина К-того участка ломаной равна , где .
Длина l данной кривой приближенно равна длине ломаной , т.е. .
За длину кривой принимают . Кривая, имеющая длину называется спрямляемой. Вычислять длину кривой с помощью определения неудобно. Далее дадим способ вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла.
Т.к. по условию непрерывна на , то тоже непрерывна на . Поэтому на каждом из отрезков удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой .
Поэтому, .
.
Выражение под знаком предела является интегральной суммой для функции . Следовательно,
. (1)
Мы предположили, что непрерывная функция на , поэтому подынтегральная функция непрерывна на и длина такой кривой существует, т.е. кривая спрямляема.
9.1.2. Пусть уравнение кривой задано параметрически , где и непрерывны на , причем .
Заметим, что в равенстве (1) выражение, стоящее под знаком интеграла, есть дифференциал длины кривой: . Дифференциал длины кривой, заданной параметрически, записывается в следующем виде:
, поэтому
(2)
9.1.3. Рассмотрим кривую, которая задана в полярной системе координат.
.
Напомним, что дифференциал дуги кривой в полярной системе координат имеет вид: , поэтому
. (3)
Пример. Вычислить длину кривой от точки до точки
По формуле (1) получаем:
Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды
.
По формуле (2) получаем
Пример. Вычислить длину кардиоиды
Т.к. кардиоида симметрична относительно поляры OP, то достаточно найти длину кардиоиды при , а затем удвоить.
.
9.2. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Пусть кривая AB задана параметрически
, (4)
где непрерывны на отрезке . В этом случае кривая AB спрямляема, т.е. имеет длину, которую обозначим µ. Точка A имеет координаты . Рассмотрим на кривой AB точку M с координатами . Дуга AM спрямляема, т.к. вся кривая AB спрямляема. Пусть l (t) длина дуги AM. Функция l (t) возрастает с возрастанием t. Через t=t(l) обозначим обратную функцию. Подставляя это значение в уравнение (4), получим:
(5)
, т.е. мы имеем параметрическое представление кривой, где за параметр принимается длина кривой l. Такое представление кривой бывает удобным во многих вопросах математики.
|
Пусть кривая AB задана уравнениями (5).
Дадим определение площади поверхности тела вращения.
Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками
Это разбиение обозначим через (T). , . Точкам , на кривой AB будут соответствовать точки . Полученные соседние точки соединим отрезками , в результате получим ломаную . Через S(T) обозначим площадь поверхности вращения ломаной вокруг оси OX.
Определение. Площадью S поверхности вращения кривой AB вокруг оси OX называется предел площади S(T) при .
Далее выведем формулу, позволяющую вычислять площадь поверхности вращения с помощью определенного интеграла.
С этой целью подсчитаем площадь S(T). Через обозначим длину отрезка . Поверхность вращения этого отрезка есть усеченный конус, радиусы основания которого равны , а длина образующей равна . Следовательно, площадь поверхности К-того усеченного конуса равна
, а (6)
Правая часть равенства (6) не является интегральной суммой, т.к. не является приращением аргумента l.
Выражение для S(T) преобразуем следующим образом:
(7)
Суммы , являются интегральными суммами для непрерывной функции . Поэтому
.
Покажем теперь, что предел последней суммы в равенстве (7) равен нулю при . Функция непрерывна и поэтому она ограничена: .
, (8)
где µ - длина кривой, а l (T), как и ранее, длина ломаной.
Отсюда
(9)
Из равенств (7), (8) и (9) следует:
.
Это и есть формула для вычисления площади поверхности вращения. При применении этой формулы надо найти длину кривой µ и найти функцию , что представляет определенные неудобства.
Для получения формулы, свободной от этих недостатков, перейдем к исходному заданию кривой в параметрической форме (4). Под знаком интеграла сделаем замену переменной:
, тогда будем иметь:
.
В частности, если уравнение кривой задано в явном виде , , - непрерывна, то , то
.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды , вокруг оси OX.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кривой , вокруг оси OX.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кардиоиды , вокруг поляры OP.
В этом случае
Нам достаточно взять половину кардиоиды при и вращать ее вокруг поляры OP.
Литература:
1. Л.Д. Кудрявцев “Краткий курс математического анализа”, Москва, физматлит,2002 г., 400 с.
2. В.С. Зарубин и др. “Интегральное исчисление функций одного переменного” Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 г., 528 с.
3. ”Сборник задач по математике для ВТУЗов” ред. А.В. Ефимов, Москва, физматлит, 2001 г., 485 с.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!