Интегрир почастям в неопр интегр — КиберПедия 

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Интегрир почастям в неопр интегр

2017-12-12 193
Интегрир почастям в неопр интегр 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Интегр-ние почастя́м—один изспособов нахожд интегр.Суть метода:если подынтегральнф-ция может быть представл ввиде произвед двух непрерывныхи гладк ф-ций(кажд из кот может быть как элементарнф-цией, так и композицией),то справедливы след ф-лы для неопред интеграла:

для опред:

Замена переменной в неопред

Замены перем и интегрирован по частям для опред интеграла, обычно позвол упростить запись решения. ТЕОР. Пусть ф-ция φ(t) имеет непрерывн производн на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и ф-ция f(х) непрерывна в кажд точке х вида х=φ(t), где t [α,β]. Тогда справедливо след равенство:

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опред интеграле.

Подобно тому, как это было вслучае неопред интеграла, исп замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопред в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интнегрирования.

Разлож на простейшие дроби

Пусть знаменатель правильн рац дроби может быть представл в виде (множителей вида может быть несколько), где —заданные числа

трехчлен не имеет действительн корней. Тогда представляется ввиде суммы простейш дробей 1—3 типов:

где — неизвестн коэффиц, кот находятся путем привед суммы справа к общ знаменателю и послед приравн получ числителя к . Пример:

 

 

Интегрир рац дробей

Целой рац ф-цией аргумента х наз многочлен, в кот переменная х только в цел степенях (в том числе х0=1).
anxn + an-1xn-1 +... + a2x2 + a1x + a0

Дробн рац ф-цией аргумента х наз отноше целых рац ф-ций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз правильн. В противн случае – неправильн.

Алгоритм: Если дробь неправильн - выдел цел часть. Получ интеграл от цел части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильн дроби; Если числитель равен дифф-лу знаменателя (или отлич от него пост множителем), то исп замену переменной z=знамен-ль; Если числитель равен дифф-лу некого многочлена (или отлич от него пост множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то исп замену переменной z=знаменатель; В остальн случ нужно разлож дробь на сумму простейш. Простейш дроби интегрируются в завис-ти от их вида

Интегралы от рац ф-ций

При вычисл интегралов след понизить степень тригонометрич ф-ций переходом к косинусу двойн угла: .Угол удваивается, пока одна из степеней не станет нечётн

Интегрир иррац ф-ций

Клас иррац ф-ций очень широк,поэтому универсальн способа их интегрир-ния быть не может.

Исп-зуя метод непосредств интегрирования,легко находятся неопред интегралы вида , где p –рац дробь, k и b –действительн коэфиц.

Бывают случаи, когда уместно исп-ние метода подведения под знак дифференциала.Например, при нахождении неопред интегралов вида , где p – рациональная дробь.Достаточно часто приходится иметь дело с неопред интегралами вида , где p и q –действительн коэффиц

Опред интеграл

I. Величина опред интеграла не зависит от обозначения переменой интегр-ния, т.е. , где х, t– люб буквы. II.Опред интегр с одинаков пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегр-ния опред интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегр-ния [a,b] разбит на конечн число частичн промежутков, то опред интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме опред интегралов, взятых по всем его частичн промежуткам.

V. Пост множитель можно выносить за знак опред интеграла.

VI. Опреде интеграл от алгебраич сумы конечн числа непрерывн ф-ций равен такой же алгебраич сумме опред интегралов от этих ф-ций.

Опред интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента кот есть интегрируемая ф-ция или ф-ционал,а вторая—область в множестве задания этой ф-ции

11. Ф-ла Ньютона—Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Интегрир по частям в опред

Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывн производные на отрезке [а,b]. Тогда

(4)

где

Ф-ла (4) наз ф-лой интегр-ния по частям для опред интеграла.

Пусть «u» и «v»-две дифференц-уемые ф-ции от х. Тогда дифф-циал произв uv вычисл по след ф-ле (uv)| = u|v+ uv|.

Интегрируя в пределах от “а” до “в”, получ в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с, то в∫а(uv)|dx =uvв|а; поэтому равенство может быть запис в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта ф-ла наз ф-лой интег-ния почастям. Она примем к интегр-нию выраж, кот можно представить ввиде произв двух сомножителей u и dv, чтобы отыскание ф-ции v по её дифференциалу dv и вычисл интеграла в∫аvdu составл в сов-сти задачу более простую, чем непосредств вычисл интеграла в∫аudv.

Замена перем в опред

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опреде интегр.Подобно тому, как это было вслуч неопред интегр, исп замены перем позвол упростить интегр, приблизив его к табличн.При этом в отличие от неопред интегр в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегр-ния α и β по нов переменной t как решение относит перем t уравн-ий φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто нач с того, что указ выраж t=ψ(х) нов переменной через старую. В эт случае нахождение пределов интегр-ния по переменной t упрощ: α=ψ(а), β=ψ(в).

Несобств интегралы

Опред интеграл назнесобств,если выполн, по крайней мере, одно из след условий:

Предел a или b (или оба) явл бескон;

Ф-ция f(x) имеет одну или неск точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Несобств интегралы I рода

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: Если , то исп обознач и интеграл наз несобств интегралом Римана перв рода. В эт случае наз сходящ

Если не сущ конечн , то интеграл наз расходящ к , или просто расходящ. Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: Если , то исп обозначение и интеграл наз несобств интегр Римана первого рода. В эт случае наз сходящ. Если не сущ конечного , то интегр наз расходящ к , или просто расходящ. Если ф-ция определ и непрерывна на всей числ прямой, то может сущ несобств интеграл данной ф-ции с двумя бесконечн пределами интегрирования, определяющийся ф-лой:

, где с — произвольное число.

Несобств интегралы II рода.. Пусть определена на , терпит бесконечн разрыв в точке x=a и . Тогда: Если , то исп-ся обозначение и интеграл наз несобств интеграл Римана втор рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если или , то обозначение сохр, а наз расходящ к ,или просто расходящ.

Пусть определ на , терпит бесконечн разрыв при x=b и . Тогда: Если , то исп обознач и интеграл наз несобств интеграл Римана второго рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если или , то обознач сохр, а наз расходящ к , или просто расходящ. Если ф-ция терпит разрыв во внутр точке отрезка , то несобств интеграл второго рода определ ф-лой:

Диф ур-ия

Диф ур-ние — ур-ние, связывающ знач некотор неизвестн ф-ции в некотор точке и значен её производных различн порядков в той же точке. Диф ур-ние содерж в своей записи неизвестн ф-цию, её производные и независимые переменные; однако не любое ур-ние, содержащ производные неизвестн ф-ции, явл диф-ным ур-ием. Например, неявл диф-ным ур-ием. Стоит отметить,что диф-ное ур-ние может вообще не содерж неизвестную ф-цию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содерж хотя бы одну из производных.

Обыкновенные диф-ные ур-ния (ОДУ) — это ур-ния вида

или

Диф-ные ур-ния в частных производн (УРЧП) — ур-ния, содержащ неизвестн ф-ции от нескольк переменных и их частн производн. Общ вид таких ур-ий можно представить в виде:

Диф ур-ия 1пор.Теор Коши

Простейшие диф-ные ур-ния первого порядка —класс диф-ных ур-ий первого порядка, наиб легко поддающихся реш и исследованию.К нему относ ур-ия в полн дифференциалах, ур-ния с разделяющ переменными,однородн ур-ния первого порядка и линейные ур-ия перв порядка. Все эти ур-ния можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифф-ное ур-ние перв порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

Зада́ча Коши́ - одна из осн задач теории диф-ных ур-ий(обыкновенных и с частн производными); сост в нахождении реш (интегр)диф-ого ур-ия, удовлетворяющ так наз начальным условиям(начальным даным).Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых диф-ным законом эволюции и начальным сост-ем(математич выраж-ем кот и явл ур-ние и нач условие).

Справедлива след теорема о сущ и единственности решения задачи Коши. Теор Коши. Пусть в области D из R n +1непрер все компоненты вектора прав части F (x, Y)и их частные произв по Y:

Тогда, какова бы ни была нач точка (x0,Y0) ≡ (x0,y1, 0,y2, 0, …,y n , 0) ∈D,сущ т отрезок [x0h; x0 + h],что задача Коши Y ' = F (x, Y),что Y (x 0)= Y 0имеетединствреш

Решение лин диф ур-ий

Диф-ное ур-ние обычно имеет бесконечно много реш. Чтобы выдел нужное реш, исп доп усл. Чтобы выдел единств реш ур-ния n –го порядка задают n нач усл-ий y (x 0) = y 0, y '(x 0) = y 1, y ''(x 0) = y 2, …, y (n − 1)(x 0) = yn − 1.

 

Задачей Коши (или нач задачей)наз задача отыск реш y = y (x) ур-ния

F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y (n)(x)) = 0, x > x 0,

удовлетворяющего условиям

y (x 0) = y 0, y '(x 0) = y 1, y ''(x 0) = y 2, …, y ( n − 1)(x 0) = yn − 1.

 

Условия y (x 0) = y 0, y '(x 0) = y 1, y ''(x 0) = y 2, …, y (n − 1)(x 0) = yn − 1 наз нач данными, нач условиями или данными Коши. Люб конкретное реш y = φ(x) ур-ния n –го порядка F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y (n)(x)) = 0, наз частным решением.

 

 


Поделиться с друзьями:

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.027 с.