Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 252 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
спектрометр
На призму с дисперсией падает Плоская волна падает
волна с зависимостью на транспарант с
от времени . коэффициентом пропускания .
Призма преобразует Линза преобразует
время → частота, координата → волновое число,
, ,
амплитуда распределена амплитуда распределена
по углам. вдоль линии в фокальной плоскости.
, ,
Теоремы Фурье
Линейность преобразования
. (1.5)
Следует из линейности операции интегрирования в (1.1).
Масштабное преобразование аргумента функции
. (1.6)
Доказательство
В интеграле (1.1)
выполняем замену аргумента, результат сравниваем с (1.1):
.
Пример: Функция Гаусса
, .
При масштабном преобразовании с происходит сжатие по x в 2 раза (переход от сплошной линии к пунктирной), растяжение по k и уменьшение амплитуды в 2 раза.
Инверсия аргумента
Из (1.6)
при получаем
. (1.7)
Четности функции и ее фурье-образа совпадают:
если – четная функция , то и – четная функция;
если – нечетная функция , то и – нечетная функция.
Теорема о частотной полосе
, (1.8)
где дисперсии
; .
Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению частотной протяженности ее образа, и наоборот, как показано на рисунке.
Для функции Гаусса
,
,
выполняется
, ,
.
Смещение аргумента
Сдвиг аргумента функции приводит к сдвигу фазы фурье-образа
. (1.9)
Доказательство
Используем (1.1)
,
получаем
.
Фазовый сдвиг
Сдвиг фазы функции приводит к сдвигу аргумента фурье-образа
. (1.10)
Доказательство
Из (1.1)
.
Комплексное сопряжение
|
Комплексное сопряжение функции приводит к комплексному сопряжению фурье-образа и инверсии его аргумента
. (1.11)
Доказательство
В (1.1) подставляем
.
Выполняем комплексное сопряжение (1.1)
.
Сравнение результатов дает (1.11).
Следствия (1.7) и (1.11)
,
:
1) если – вещественная и четная, то – вещественная и четная.
Доказательство
Используем
,
.
Следовательно,
;
2) если – вещественная и нечетная, то – мнимая и нечетная;
3) если – мнимая и четная, то – мнимая и четная;
4) если – мнимая и нечетная, то – вещественная и нечетная.
Утверждения 2, 3, и 4 доказать самостоятельно.
Теорема Парсеваля
. (1.14)
Применительно к физике теорема выражает, в частности, закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.
Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал теорему в 1799 г.
Доказательство
Используем (1.1) и (1.2)
,
,
тогда
.
Получаем
= ,
где изменен порядок интегрирований.
Обобщенная теорема Парсеваля
. (1.15)
При и получаем (1.14).
Ортонормированность базиса и его фурье-образа
Если функции и ортонормированные
, (1.16)
То их фурье-образы также ортонормированные
. (1.17)
Доказательство
В (1.14)
полагаем и .
Интегральная теорема
Прямое и обратное преобразования Фурье восстанавливают непрерывную функцию
,
. (1.20)
Доказательство
Используем (1.1) и (1.2)
,
.
Подставляем (1.2) в (1.1)
,
где заменен порядок интегрирований и использованы свойства дельта-функции
,
.
Следовательно, для непрерывной функции операторами тождественного преобразования являются:
, . (1.20а)
Если функция в точке имеет разрыв
,
тогда оператор в точке усредняет функцию
.
Теорема о парах функций
Функция и ее фурье-образ называются «парой функций». Если
|
,
то выполняется
. (1.21)
Доказательство
Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с интегралом в (1.2)
.
, (1.1)
. (1.2)
Свертка функций
Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:
. (1.22)
Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде
с параметрами
, ;
, ;
, .
При замене использовано
.
Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.
Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов
f 1(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',
f 2(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.
Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:
1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;
2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';
3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.
Этим принципам удовлетворяет свертка
,
где
– функция Грина – реакция преобразователяна импульсный входящий сигнал;
– функция включения;
– аппаратная функция.
Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Гринапреобразователя.
Теорема о свертке
Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
. (1.24)
Доказательство
Используем (1.1) и (1.22)
.
Интегралы расцепляем заменой в первом интеграле аргумента в виде , . Учитываем
.
Получаем
.
Для обратного преобразования Фурье выполняется
. (1.25)
Доказательство
Аналогично предыдущему доказательству получаем
.
Под интегралом сделана замена в виде .
Теорема о произведении
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!