Методы математической физики

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Лектор–д.т.н., профессор

Краснопевцев Евгений Александрович

 

Основная тема курса

 

Ортонормированные базисы функций

Практическая значимость курса –

разложение функций по ортонормированному базису упрощает решение физических и технических задач,

результаты получают наглядный физический смысл.

 

Результаты применяются в дисциплинах:

Спец. главы физики,

Квантовая механика,

Физика конденсированного состояния,

и в других теоретических дисциплинах.

Разделы курса

 

1. Преобразование Фурье.

2. Сингулярные функции:

дельта-функция,

гребенчатая функция,

функция Хевисайда,

функция знака,

прямоугольная функция,

функция sinc,

треугольная функция.

3. Гамма- и бета-функции Эйлера.

4. Дифференциальные уравнения второго порядка.

5. Классические ортогональные полиномы:

Эрмита,

Лагерра,

Лежандра,

Чебышева.

6. Сферические функции.

7. Функции Бесселя.

8. Функция Грина.

9. Дифференциальные уравнения с частными производными.

 

Контрольные мероприятия

1. Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).

2. Коллоквиум в конце семестра.

3. Экзамен для групп РНТ1; дифф. зачет для групп РМС7, РЭН2, РП4.

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов j и q. Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x ® 0 и x ® ¥. Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

 

Число баллов	Оценка
международная	российская
90–100     80–89   70–79   60–69   50–59	97–100 93–96 90–92 87–89	A+ A A– B+	Отлично
84–86 80–83 77–79 74–76	B B– C+ C	Хорошо
70–73 66–69 63–65 60–62 50–59	C– D+ D D– E	Удовлетв.
25–49 0–24	25–49 0–24	FX F	Неуд.

 

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ С ЭКЗАМЕНОМ

 

Группы РНТ1

 

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1.     2.   3.   4.   5.	Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–3) + (0–3) + (0–3)= 0–9     0–10   4–7   4–7   4–7
5.	Коллоквиум	Всего не более 40
6.	Экзамен	Всего не более 60   0–40

Всего не более 100

 

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ С ЗАЧЕТОМ

 

Группы РЭН2, РМС7, РП4

 

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.   6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3   Коллоквиум	(0–5) + (0–5) + (0–5)= 0–15   0–15   5–14   5–14   5–14

Всего не более 100

 

Литература

1. Файлы лекций.

2. Учебное пособие для лекций и практических занятий:

Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. 53

Ортонормированные базисы функций. Изд. НГТУ, 2008. К 782

Дополнительная литература

 

3. Приведена в конце учебного пособия.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ

 

Базис – совокупность математических величин, используемых для упрощения решения задачи. В частности, базисом является система координат.

 

Ортогональные координаты применяются во всех разделах физики и техники, где используются вектора. В результате:

упрощается решение задачи,

результаты выражаются через проекции,

решение становится наглядным.

 

Декартовы координаты ввел Декарт в 1637 г.

 

 

Рене Декарт (1596–1650)

 

Где

– орты – единичные, взаимно перпендикулярные вектора;

– проекции вектора на орты;

– скалярное произведение;

– изучаемый вектор;

– составляющие вектора.

ВекторнОе пространствО

Векторное пространство – множество векторов, для которых определено скалярное произведение.

Размерность пространства – число независимых векторов, через сумму которых выражается произвольный вектор этого пространства.

Мерное пространство

 

Базис ортов

Произвольный трехмерный вектор разлагается по трем ортам, образующим базис:

,

 

, .

 

Базис

, ,

ортонормированность

.

 

Разложение вектора на составляющие

 

. (0.3)

Проекция вектора на орт

. (0.4)

 

Теорема Пифагора выражает квадрат модуля вектора через его проекции

 

.

 

Доказывается подстановкой (0.3) и использованием ортонормированности базиса (0.1).

От пространства векторов переходим к пространству функций.

 

Гильбертово пространство

С ДИСКРЕТНЫМ БАЗИСОМ

 

Гильбертово пространство – множество комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение. Ввел Гильберт в 1910 г.

 

 

Давид Гильберт (1862–1943)

Базис ортов

, ,

 

N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;

–комплексная, квадратично интегрируемая функция, определенная на интервале аргумента .

Скалярное произведение определяется в виде

, (0.5)

 

где – вещественная весовая функция; – комплексно сопряженная функция.

 

Комплексное сопряжение

 

вещественное число ;

 

мнимая единица , ;

 

 

формула Эйлера ,

 

, ,

 

,

 

.

 

Формулу получил Эйлер в 1740 г.

 

 

Леонард Эйлер (1707–1783)

 

Комплексное число

,

 

;

квадрат модуля числа

 

;

 

.

 

Представление комплексного числа

точкой на плоскости

 

Условие ортонормированности базиса

 

. (0.6)

 

Условие полноты базиса

 

, (0.9)

 

где – дельта-функция,

 

 

– фильтрующее свойство.

 

Теорема Парсеваля – является теоремой Пифагора в пространстве функций

, (0.10)

где

, .

 

Теорему получил Мари-Антуан Парсеваль (1755–1836) в 1799 г.

 

Доказательство

Подставляем (0.7)

в левую сторону (0.10)

 

.

 

Меняем порядок суммирований и интегрирования, считая все суммы конечными. Вычисляем интеграл, используя ортонормированность базиса:

 

.

 

Фильтрующее свойство символа Кронекера снимает одну сумму

 

,

получаем теорему Парсеваля

 

.

 

Другое доказательство использует (0.8) и (0.9).

Гильбертово пространство

С НЕПРЕРЫВНЫМ БАЗИСОМ

Базис ортов

,

 

где . Номер орта k пробегает непрерывные значения в интервале .

 

Условие ортонормированности базиса. Непрерывность k приводит к замене символа Кронекера в условии (0.6) на дельта-функцию

 

, (0.11)

где – дельта-функция.

 

Условие полноты базиса

 

. (0.14)

 

Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.

 

Теорема Парсеваля

. (0.15)

 

Доказать самостоятельнос помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

 

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский представил сложное движение планеты от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершающей неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу, в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам в III в до н.э.

 

 

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

 

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французским математиком Жаном Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г., и это называется преобразованием Фурье.

 

 

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

 

Результаты Фурье получим путем использования ортонормированного базиса гармонических функций.

 

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ; .

 

Орт является решением волнового уравнения Гельмгольца

 

,

и описывает плоскую волну

 

,

 

распространяющуюся вдоль оси x с волновым число k.

 

 

Герман Гельмгольц (1821–1894)

 

Базис с непрерывным спектром удовлетворяет:

условию ортонормированности

 

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

 

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функции выражает обратное преобразование:

, (1.1)

 

. (1.2)

Использовано:

– оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от k;

– оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от x;

– Фурье-образ или спектр функции ;

k и x – Фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

– ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

 

Преобразование Фурье технически реализует, например, колебательный контур входного каскада радиоприемника, или телевизора. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье, использующие оптические устройства.

 

Оптическое преобразование Фурье

 

Теоремы Фурье

 

Линейность преобразования

 

. (1.5)

 

Следует из линейности операции интегрирования в (1.1).

 

Масштабное преобразование аргумента функции

 

. (1.6)

Доказательство

В интеграле (1.1)

выполняем замену аргумента, результат сравниваем с (1.1):

 

.

 

Пример: Функция Гаусса

 

, .

 

При масштабном преобразовании с происходит сжатие по x в 2 раза (переход от сплошной линии к пунктирной), растяжение по k и уменьшение амплитуды в 2 раза.

 

Инверсия аргумента

 

Из (1.6)

при получаем

. (1.7)

 

Четности функции и ее фурье-образа совпадают:

если – четная функция , то и – четная функция;

если – нечетная функция , то и – нечетная функция.

Теорема о частотной полосе

 

, (1.8)

где дисперсии

; .

 

Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению частотной протяженности ее образа, и наоборот, как показано на рисунке.

 

 

Для функции Гаусса

,

 

,

выполняется

, ,

.

Смещение аргумента

 

Сдвиг аргумента функции приводит к сдвигу фазы фурье-образа

 

. (1.9)

 

Доказательство

Используем (1.1)

,

получаем

.

 

Фазовый сдвиг

 

Сдвиг фазы функции приводит к сдвигу аргумента фурье-образа

 

. (1.10)

 

Доказательство

Из (1.1)

.

 

Комплексное сопряжение

 

Комплексное сопряжение функции приводит к комплексному сопряжению фурье-образа и инверсии его аргумента

 

. (1.11)

 

Доказательство

В (1.1) подставляем

.

 

Выполняем комплексное сопряжение (1.1)

 

.

 

Сравнение результатов дает (1.11).

Следствия (1.7) и (1.11)

,

 

:

 

1) если – вещественная и четная, то – вещественная и четная.

Доказательство

Используем

,

 

.

Следовательно,

;

 

2) если – вещественная и нечетная, то – мнимая и нечетная;

3) если – мнимая и четная, то – мнимая и четная;

4) если – мнимая и нечетная, то – вещественная и нечетная.

 

Утверждения 2, 3, и 4 доказать самостоятельно.

Теорема Парсеваля

. (1.14)

Применительно к физике теорема выражает, в частности, закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал теорему в 1799 г.

 

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

,

тогда

.

Получаем

 

= ,

 

где изменен порядок интегрирований.

 

Интегральная теорема

 

Прямое и обратное преобразования Фурье восстанавливают непрерывную функцию

,

 

. (1.20)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

.

Подставляем (1.2) в (1.1)

 

,

 

где заменен порядок интегрирований и использованы свойства дельта-функции

,

.

 

Следовательно, для непрерывной функции операторами тождественного преобразования являются:

, . (1.20а)

 

Если функция в точке имеет разрыв

 

,

 

тогда оператор в точке усредняет функцию

 

.

Теорема о парах функций

 

Функция и ее фурье-образ называются «парой функций». Если

,

то выполняется

. (1.21)

 

Доказательство

Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с интегралом в (1.2)

 

.

 

 

, (1.1)

. (1.2)

Свертка функций

 

Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:

 

. (1.22)

 

Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде

 

с параметрами

, ;

 

, ;

 

, .

 

При замене использовано

.

Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.

Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов

 

 

 

f ₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f ₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

 

Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

 

Этим принципам удовлетворяет свертка

 

,

где

– функция Грина – реакция преобразователяна импульсный входящий сигнал;

– функция включения;

– аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Гринапреобразователя.

Теорема о свертке

 

Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов

. (1.24)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.22)

 

.

 

Интегралы расцепляем заменой в первом интеграле аргумента в виде , . Учитываем

 

.

Получаем

.

 

 

Для обратного преобразования Фурье выполняется

 

. (1.25)

 

Доказательство

 

Аналогично предыдущему доказательству получаем

 

.

 

Под интегралом сделана замена в виде .

Теорема о произведении

 

Теорема о дифференцировании

 

При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на

. (1.35)

Доказательство

Формулу (1.2)

,

дифференцируем n раз

.

Сравниваем результат с (1.2) – для функции получаем Фурье-образ .

Умножение функции на

 

Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа

,

. (1.37)

Доказательство

Дифференцируем (1.1)

,

получаем

.

 

Сравниваем результат с формулой (1.1), записанной для функции , и получаем .

Преобразование периодическОЙ функциИ

Функция с периодом L удовлетворяет

 

.

 

 

Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называется основным тоном, составляющие с называются обертонами.

 

Ортонормированность базисов

 

Дискретный базис функций , где , с периодом L ортонормирован, если

.

Частные случаи:

 

1. ,

 

,

где использовано:

;

 

, при ;

 

.

 

2. ,

 

, (1.43)

где сделана замена

,

 

и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.

 

3. ,

 

, (1.44)

где сделана замена

.

 

4. Доказать самостоятельно:

 

,

 

,

 

. (1.45)

 

 

5. ,

 

,

 

. (1.46)

Теорема о дифференцировании

 

Разложение (1.48)

,

дифференцируем m раз

.

 

Результат сравниваем с разложением (1.48) для функции , получаем , тогда

. (1.50)

 

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Лектор–д.т.н., профессор