Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-11 | 168 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть задана дифференцируемая функция 2-х переменных z=z(x,y). Дифференцируемость означает существование у нее частных производных. Эти производные в свою очередь являются функциями x, y; если они дифференцируемы, то у них тоже есть частные производные, это будут производные 2-ого порядка, т.е.
В свою очередь эти производные снова можно дифференцировать, получим производные 3-ого порядка и т.д.
Справедлива теорема Шварца:
Смешанные производные не зависят от порядка их дифференцирования, т.е.
Пример. Рассмотрим функцию И найдем обе смешанные производные.
Дифференциал 2-ого порядка определяется, как дифференциал от первого дифференциала, т.е.
Символически формула для определения дифференциалов высших порядков можно записать так
Опр. Если каждой точке поставлено в соответствие единственное число u=u(M), то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Пример поле температур.
Если в область D поместить систему координат, то скалярное поле будет задаваться функцией 3-х переменных.
Поле называется плоским, если область D занимает часть плоскости.
Поверхностью уровня скалярного поля называется поверхность, на которой скалярное поле принимает одно и то же значение: F(x,y,z)=C.
Для плоского поля линия уровня F(x,y)=C.
Градиентом с калярного поля называется вектор
Пусть скалярное поле задано двумя точками M и N, . Производная скалярного поля по направлению в точке M называется
Геометрический смысл производной по направлению и частных производных.
Пусть имеется плоское поле u=f(x,y). Выберем на поверхности некоторую точку M и некоторый вектор . Рассечем поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через точку M и вектор .
|
Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле: (12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор ортвектор вектора
Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле:
(12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор
ортвектор вектора
Пример.
Найти производную функции и в точке M по направлению вектора .
Если поле плоское, то вектор
(13)
Используя формулу для градиентов формулу (12) можно записать:
или иначе
Максимальное значение производной по направлению достигается, когда это направление совпадает с направлением градиента, т.е.
Градиентом с калярного поля называется вектор
Пусть имеется плоское поле u=f(x,y). Выберем на поверхности некоторую точку M и некоторый вектор . Рассечем поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через точку M и вектор .
Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле:
(12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор
ортвектор вектора
Пусть поверхность задана уравнениям f(x,y,z)=0. Выберем на этой поверхности некоторую точку M и проведем через эту точку различные вертикальные плоскости, в сечении получатся некоторые плоские кривые. Оказывается, что если градиент , то касательные к этим кривым расположены в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности F(x,y,z)=0 в точке M.
|
Выведем уравнение касательной к плоскости в точке
Нормаль к касательной плоскости совпадает с направлением градиента в этой плоскостит.
F(x,y,z)=C
Пусть поверхность задана явно z=z(x,y).
F(x,y,z)=z(x,y)-z
Экстремум функции 2-х переменных.
z=z(x,y) в точке M0 локальный max
1) z(M) определена в окрестности ; 2)
Теорема 1. Необходимое условие экстремума.
Если M0 является точкой экстремума функции т. extremum z=z(x,y), то частные производные в этой точке равны нулю.
Пусть точка M0 – точка максимума. Проведя сечения координатными плоскостями, мы получим плоские кривые.
А для плоских линий, т.е. графика функции одной переменной необходимым условием экстремума является равенство нулю производной.
Эти производные будут частными производными для функции 2-х переменных, т.е. теорема доказана.
Опр. Точка M0 называется стационарной точкой, если частные производные в этой точке равны нулю
Замечание.
Теорема 1 дает лишь необходимое условие экстремума, т.е. если функция дифференцируема и у нее есть экстремум, то частные производные равны нулю. Обратное вообще говоря не верно.
Замечания:
1) Функция z=z(x,y) может быть не дифференцируемой в точке M0, тем не менее экстремум там может быть.
2) Рассмотрим примеры 2-х функций:
Точка O не является точкой экстремума, O – точка минимакса.
Этот пример подчеркивает, что теорема (1) дает лишь необходимое условие экстремума.
Тем не менее в большинстве случаев определив с помощью теоремы 1 стационарные точки, догадаться о том будут ли они точками
экстремума можно исходя из геометрических или физических соображений.
Теорема 2. Достаточное условие экстремума функции 2-х переменных.
Пусть функция z=z(x,y) дважды непрерывно дифференцируема и P0 – стационарная точка, т.е.
Рассмотрим число
(1)
Если точка экстремума.
|
При этом если , то точка максимума.
Если точка минимакса.
Если , то неизвестно что это за точка.
Для доказательства воспользуемся формулой Тейлора:
Этот же вид формула Тейлора сохраняет для функции любого числа переменных, т.е. , но здесь ,
Если функция z(x,y) имеет в точке P0 экстремум, то приращение функции в окрестности этой точки сохраняет знак.
Пусть для удобства , но в точке P0 dz=0 знак определяется вторым дифференциалом, т.е.
Дальнейшие слагаемые имеют более высокий порядок малости по сравнению со вторым дифференциалом и потому знак влияния не оказывает.
Получим
В квадратных скобках стоит квадратный трехчлен по t, т.е. выражение вида
чтобы этот трехчлен держал знак нужно, чтобы его дискриминант был отрицательным, т.е
А это и есть условие (1) теоремы.
Если , то P0 –точка минимума.
Если , то P0 – точка максимума
Условный экстремум.
Рассмотрим следующую задачу:
Дано А квадратных сантиметров жести. Требуется сделать коробку в виде прямоугольного параллелепипеда, имеющего максимальный объем.
Найти экстремум функции
при выполнении условия F(x,y)=0 (2).
Задачу (1)-(2) можно попытаться решить формально, выразив из (2) уравнения y=y(x) и подставив его в (1):
.
Задача нахождения условного экстремума функции (1) при условии (2) свелась к задаче нахождения безусловного экстремума функции , однако этот путь далеко не всегда возможен, т.к. не всегда можно выразить y явно из соотношения (2), поэтому применяется другой общий прием, носящий название метод множителей Лагранжа
Ее безусловный экстремум и будет условным экстремумом функции (1) при условии (2).
Необходимым условием экстремума функции 3-х переменных является равенство нулю всех ее частных производных.
Докажем, что система (3) определяет стационарные точки для условного экстремума, для этого найдем полную производную функции и приравняем ее к нулю
Отсюда,
С другой стороны из соотношения (2) мы можем найти значение производной неявной функции Эти соотношения равны, отсюда получим
|
а это и есть соотношение (3).
Этот метод применим для функций любого числа переменных, разница лишь в том, что там возникает несколько множителей Лагранжа. Число множителей Лагранжа равно числу условий, налагаемых на функцию.
Пример.
Вставляем полученное значение вставляем в первое уравнение:
В силу симметричности системы числа a,b и c равны между собой.
этот параллелепипед является кубом.
Наименьшее и наибольшее значение функции в области (глобальный экстремум).
Пусть требуется найти экстремум некоторой функции 2-х переменных:
Z=f(x,y) в D 1) Ищем стационарные точки функции:
Пусть это будут точки
2) Выделяем те из них, которые находятся внутри области D и на ее границах.
Пусть это будут точки
3) Находим значение функции в этих точках
4) Находим условный экстремум функции z при условии, что точка лежит на одной из линий, составляющих границу области D.
5) Находим значения функции в угловых точках
z(A), z(B), z(C).
Наименьшее из этих значений и будет наименьшим значением функции в области, наибольшее – наибольшим.
Пример. Найти экстремум функции в области D, ограниченной линией
На линии OA: y=0,z=0.
На линии OB: x=0,z=0.
На линии AB:
т.е.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Пример.
Неопределенное интегрирование – это операция, обратная дифференцированию и как всякая обратная операция она и сложнее и не всегда исполнима.
Лемма о первообразной.
Пусть и первообразные функции f(x), т.е. и тогда
Тогда они отличаются между собой не более чем на постоянную.
Доказательство:
Рассмотрим функцию и применим к этой функции теорему Лагранжа на
Найдем чему равняется
Эта лемма позволяет сделать корректным следующее определение:
Опр. 2. Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных, т.е. справедлива формула (2)
Свойства неопределенных интегралов.
1)
Доказательство:
Продифференцируем формулу (2)
что и требовалось доказать.
2)
Доказательство:
3)
1 и 2 свойства выражают взаимную обратимость операции дифференцирования и интегрирования, 3 свойство выражает линейность операции интегрирования.
На практике для вычисления интегралов их сводят к одному или нескольким табличным, используя правила интегрирования.
Пример.
Произвольная постоянная «спрятана» в последнем не взятом интеграле.
Для проверки правильности интегрирования нужно продифференцировать ответ, должна получиться подынтегральная функция.
|
Свойство инвариантности формул интегрирования заключается в следующем: в качестве и в формулах интегрирования может стоять как независимая переменная, так и произвольная дифференцируемая функция u=u(x).
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!