Соотношение неопределённости гейзенберга

Количественное ограничение на точность измерений координат и скоростей микрообъектов было установлено Гейзенбергом => нобелевская премия в 1932 году.

Неопределённость значений координат и импульса: DxDp_x³‚; DyDp_y³‚; DzDp_z³‚;

Утверждение, что произведение неопределённостей значений двух переменных НЕ может быть по порядку величины меньше ‚ ¾ соотношение неопределённости.

Аналогичное соотношение справедливо и для других пар, называемых сопряжёнными: DEDt³‚;

Анализ соотношений неопределённости:

1) Чем меньше неопределённость одной переменной, тем больше неопределённость другой.

Чтобы определить координаты частицы, нужно осветить её светом с l. В результате взаимодействия с фотоном à отдача => импульс изменится на ~ импульс фотона: P=h/l;

Чем меньше l, тем более неопределённым станет импульс.

Т.о. процесс измерения в квантовой механике всегда оказывает воздействие на микрообъект.

2) Если одна переменная имеет точное значение, то неопределённость второй à ¥

Координаты частицы, движущейся с J=const (DP_x=mDJ_x=0) => Dx à ¥

Соотношение неопределённости можно вывести из дифракции электронов на одной щели.

<РИС>

До прохождения щели: P_x=const=0, DP_x=0, Dx à ¥;

В момент прохождения: Dx, DP_x=PsinQ;

Dxsinp=kl à условие образования максимумов

sinj=l/Dx, P=‚/l; DP_x=h/Dx; DP_xDx=h;

 

ПРИМЕНЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Можно получить результат, не решая уравнения:

1) Оценка энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора: E¹0; Если бы: E_k=mJ²/2=P²/2=0 и E_n=kx²/2 = 0 => координаты и скорость определены => противоречие соотношению неопределённости.

DP_xDx=‚, DP_x~P_x, Dx~x, px=‚ à P=‚/x;

E=E_k+E_n=‚²/2mx² + kx²/2; dE/dx=(-2)‚²/2mx³ + kx = 0;

x⁴=‚²/mk à x²=‚/sqrt(mk); E_min=‚×sqt(mk)/2h + k‚/2×sqrt(mk) = [w=sqrt(k/m)] = ‚w/2 + ‚w/2 = ‚w;

Более точный расчёт даёт: E_min = ‚w/2;

2) Соотношение неопределённости объясняет, почему электрон водорода не падает на ядро + позволяет определить размеры атома водорода и энергию его основного состояния.

E=P²/2m - kl²/r; DpDr=‚; Dp~p и lr~r => pr=‚ à p=‚/r;

E=‚²/2mr² - kl²/r; dE/dr=(-2)‚²/2mr³ + kl²/r² = 0;

r_min=‚²/kl²m ¾ первый боровский радиус; E_min=-k²l⁴m/2‚²;

 

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Способ описания квантовой системы должен учитывать её волновые свойства => Шрёдингер, 1926 à “состояние квантовой системы в данный момент времени м/б описано комплексной функцией координат”.

Y=Y(x, y, z) ¾ волновая функция. Сама она не имеет физического смысла, но такой смысл имеет квадрат её модуля, который интерпретируется статистически как плотность вероятности обнаружить частицу в точке с x, y, z.

|Y|²=YY*; dP=|Y²|dxdydz=|Y²|dV; |Y²|=dP/dV;

ò|Y²|dV=1 {Và¥} ¾условие нормировки.

В соответствии со своим физическим смыслом Y-функция д/б: непрерывной, конечной, однозначной, иметь непрерывные конечные производные первого порядка по координатам, удовлетворять условиям нормировки. Это ¾ “стандартные условия”, позволяющие получать сведения, не решая уравнений.

 

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Основная задача квантовой механики ¾ нахождение Y-функции и изучение связанных с ней свойств микрочастиц. Наличие у микрочастиц волновых свойств требует особого подхода к изучению их движения. 1926 ¾ Шрёдингер описал движение микрочастиц с помощью волнового уравнения.

Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

Волновое уравнение обобщено: DY-(1/J²)×(д²Y/дt²)=0 => на случай волны де Бройля.

Y=Y₀=e^{¾i(wt-(k, r))}= {w=E/‚, k = p /‚} = Y₀e^{¾(i / ‚)(Et - (p, r))};

ИТОГО: Y(r, t) = e ^{¾(i / ‚)Et} × Y(r);

k=w/J; DY+k²Y=0; Для микрочастиц: k=p/‚;

Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай движения частицы в силовом поле. В этом случае её полная энергия: E=p²/2m + U(r)=k²‚²/2m + u à (2m/‚²)(E-U)=k²;

ИТОГО: DY+(2m/‚²)(E-U)Y=0, U ¾ потенциальная энергия в силовом поле.

D=(д²/дx²) + (д²/дy²) + (д²/дz²);

-(‚²/2m)DY=^HY=EY;

[-(‚²/2m)D+U(r)]Y=EY ¾ уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

E₁, E₂,... E_n ¾ дискретный энергетический спектр

^HY=EY ¾ оператор Гамильтона

 

ВРЕМЕНН О Е УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА {к: 51-52}

В общем случае: ^H=(‚²/2m)D + U(r, t) (E_p уже не имеет смысла).

F =-ÑU; e^{¾(1 / ‚)} и i‚(д Y /дt)=E Y

 

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ: [(-‚²/2m)D + U(r, t)] Y =i‚(д Y /дt);

Решение уравнения Шрёдингера (Y-функция) зависит от вида U(r, t).

Для свободно движущейся частицы U(r, t)=0 => решением является ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ: Y (r, t)=Y₀×e^{¾(i / ‚)(Et-( r , r ))} ¾ т.е. чтобы задать состояние микрочастицы, нужно задать его во всём пространстве.

 

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ {к: 52-53}

(-(‚²/2m)D + U(r, t)) Y * = -it(дY*/дt) | × Y

(-(‚²/2m)D + U(r, t)) Y = -it(дY/дt) | × Y

i(Y *(д Y /дt) + Y(д Y */дt))=(‚/2m)(Y *D Y - Y D Y *); D=Ѳ;

- Y *×(д Y /дt)+ Y (д Y */дt)=-(‚/2mi) Ñ(Y *Ñ Y - Y Ñ Y *);

r=YY* ¾ плотность вероятности.

j =(‚/2mi)(Y *Ñ Y - Y Ñ Y *);

ИТОГО: дr/дt + (Ñ, j) = 0 ¾ закон изменения вероятности (в локальной форме).

 

17. Квантование энергии. Движение частиц в глубокой одномерной потенциальной яме.

5.1 Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно высокими и абсолютно непроницаемыми стенками.

Пусть частица движется вдоль O_x в потенциальном поле:

U_x={¥, x<0; 0, 0£x£l; ¥, x>l }

<РИС>

При x<0 => Y(x)=0, Y(0)=0, при x>l => Y(x)=0, Y(l)=0;

Для одномерного случая уравнение Шрёдингера превращается в обычное дифференциальное уравнение.

0<x<l: d²Y/dx² + (2m/‚²)EY=0;

k²=(2m/‚²)E ¾ k ¾ волновое число волны де Бройля.

Yⁿ + k²Y = 0; (x’’ + w₀²x=0); Y=Asin(kx+a); Y(0)=Asina=0 à a=0

Y(l)=Asinkl=0 à kl=±np;

sin ¾ функция знакопеременная, но мы ограничимся положительными значениями

n=1, 2, 3...

k=pn/l; k=2p/l => l=nl/2 ¾ на ширине потенциальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

k²=(2m/‚²)E; (np²/l²)=(2m/‚²)E à E=[(p²‚²)/(2ml²)]×n²;

Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений: E₁, E₂,... E_n ¾ собственные значения энергии частицы, n ¾ главное квантовое число.

Отметим, что квантованность энергии ¾ следствие математических требований, накладываемых на решение уравнения Шрёдингера.

<РИС>

Y=Asin(np/l)x; ò|Y|²dx=1 {0, l}; A²òsin²[(np/2)x]dx=1 {0, l };

A²<sin²[(pn/l)x]×l=1; A=sqrt(2/l); Y=sqrt(2/l)×sin[(pn/l)x];

Из графика видно, что вероятность обнаружения частицы в состоянии 2 (в середине ямы) равна нулю, а в обеих половинах частица бывает равновероятно.

DE=E_n+1 - E_n = [p²‚²/2ml](2n+1)»[p²‚²/ml²]n;

5.2 Энергетический спектр и волновые функции микрочастицы в ящике в непроницаемыми стенками: V(0<x<a, 0<y<b, 0<z<c);

Физические условия непроницаемости стенок ящика:

U(r) = {0, r Î V; ¥, r Ï V}

r Î V => DY+(2m/‚²)EY=0; E_n1n2n3 = [p²‚²/2m][n₁²/a² + n₂²/b² + n₃²/c²]

Y(r)=Y₁(x)×Y₂(y) × Y₂(z) = sqrt(8/abc) × sin[n₁p/a]x × sin[n₂p/b]y × sin[n₃p/c]z

Из выражений для собственных значений энергии и собственных функций => одной и той же энергии может соответствовать несколько собственных функций Y.

n₁=n₂=n₃ => 1Y; n₁=n₂¹n₃ => 3Y; n₁¹n₂¹n₃ => 6Y

Если собственное значение энергий, которое называется энергетическим уровнем, отвечает нескольким Y-функциям, то такой уровень ВЫРОЖДЕННЫЙ. Число Y ¾ кратность вырождения.

1. Из полученных соотношений следует, что энергия частицы в связанном состоянии принимает ряд дискретных значений (квантуется).

2. Полученные результаты согласуются с соотношением неопределённости. Неопределённости координат порядка l соответствует неопределённость импульса порядка ‚/l; Если предположить, что значение импульса по порядку величины совпадает с величиной неопределённости импульса (p~‚/l) => E=p²/2m = ‚²/2ml²; (E=p²‚²/2ml²);

Замечание: если потенциальная яма имеет конечную глубину.

Y’’-ƒ²Y=0; ƒ²=(2m/‚²)(U₀-E); Y=const × e^±ƒx: “+” à x > l, “-” à x<0