Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-10 | 332 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Формула Релея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа. Формула Планка для теплового излучения
Для получения явного вида F(w/T) необходимо обратиться к конкретной модели излучения.
С точки зрения классической теории АЧТ можно представить как совокупность осцилляторов, совокупная энергия которых ~ квадрату амплитуды колебаний и непрерывно меняется.
Равновесное излучение в полости можно представить как совокупность стоячих волн различных частот, количество которых в единице объёма:
dnw=[w2/(p2c3)]dw
Рэлей и Джинс попытались установить аналитический вид f(w,T), опираясь на dnw=[w2/(p2c3)]dw и исходя из теоремы равномерном распределении энергии по степеням свободы.
Они предположили, что на каждую стоячую волну в среднем приходится энергия <e>=kT (по 1/2 на электрическую и магнитную составляющие).
Т.о. U(w,T) в dw => U(w,T)dw=<e>[w2/(p2×c3)]dw=[w2/(p2×c3)]kTdw
Отсюда следует вид U(w,T):
U(w,T)= [w2/(p2×c3)]kT;
f(w,T)= [w2/(4p2×c2)]kT;
Вывод формулы Рэлея-Джинса безупречен с классической позиции, но он удовлетворяет экспериментальным данным только на малых частотах.
U(T)=òU(w,T) {0, ¥} à ¥
R*(T)=òf(w,T)dw à ¥; “Ультрафиолетовая катастрофа”
В 1900 году Планку удалось отыскать вид f(w,T), который удовлетворял опыту во всех диапазонах частот.
Была выдвинута гипотеза, что энергия испускается в виде отдельных порций, величина которых ~ hw=hn=e;
h=6.63×10-34 Дж×с; w=2pn; =h/2p=1.055×10-34 Дж×с
Размерность h совпадает с “размерностью действия” (энергия × время) => постоянная Планка называется квантом действия.
Из постулатов Планка следует, что если э/м излучение испускается порциями hw, то его энергия кратна этой величине.
en=nw, n=0, 1, 2...
Математически это означает дискретность => нужно применять суммирование, а не интегрирование.
|
<e>=enPn, en=nw
Pn ¾ вероятность того, что e колебания с w имеет значение en;
В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии подчиняется закону Больцмана:
Pn=(exp[-en/(kT)])/(Sexp[-en/(kT)] {n=0, ¥})
Среднее значение энергии колебаний частоты w равно:
<e>=(Snw×exp[-(nw)/(kT)])/(Sexp[-(nw)/(kT)]); {n=0, ¥}
x=w/kT; Допустим, что w (и x) изменяется непрерывно:
<e>=w×[Sne-nx/Se-nx] {n=0, ¥}=w×d/dx×(lnSe-nx);
Сумму под ln легко вычислить, т.к. это убывающая геометрическая прогрессия с первым членом = 1 и знаменателем = e-nx;
Se-nx {n=0, ¥} = 1/(1-e-x);
<e>=-w×d/dx×ln[1/(1-e-x)]=-w[(-e-x(1-e-x))/(1-e-x)2]=
=(w×e-x)/(e-x-1)=w/(e-x-1)={x=w/kT} =>
ИТОГО: <e>=(w)/(ew/kT -1);
Таким образом, средняя e, приходящаяся на степень свободы, не одинакова для разных частот стоячих волн.
à 0 => <e>=kT;
С ростом w средняя e убывает => интеграл светимости сходится.
U(w, T)dw=<e>×[w2/(p2c3)]dw=[(w2)/(p2c3)]×[1/(ew/kT-1)]dw;
ИТОГО: f(w, T)=[(w3)/(4p3c2)]×[1/(ew/kT-1)];
j(l, T)=[(2pc)/l2]ò(w, T);
ИТОГО: j(l, T)=[(4pc2)/l5]×[1/(e2pc/lkT-1)];
Из формулы Планка следует:
1) Закон Рэлея-Джинса (w<<kT):
ew/kT=1+(w)/(kT)+...
f(w, T)=[w2/(4p2c2)]×kT;
2) Закон излучения Вина (w>>kT):
f(w, T)=[(w3)/(4p2c2)]e-hw/kT = Aw3F(w/T);
3) Закон Стефана-Больцмана:
R*=ò{0, ¥} f(w, T)=[/(4p2c2)]×ò{0, ¥} [w3×[1/(ew/kT-1)]dw]=
= {x=w/kT, w=(xkT)/, dw=(kT/h)dx} =
= [/(4p2c2)]×[kT/]4×ò{0, ¥} [x3×[1/(ex-1)]dx] = [(p2k4)/(60c23)]×T4=
= sT4;
4) Закон смещения Вина:
dj(l, T)/dl à b; lmax × T = b; b ¾ постоянная Вина.
Таким образом формула Планка описывает все свойства равновесного теплового излучения.
ВОПРОС-3 {9-10, к: 18-21}: ЯВЛЕНИЕ ИСПУСКАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ МАТЕРИЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СВЕТА (ФОТОЭФФЕКТ)
1887 ¾ Герц, 1888 ¾ Столетов, 1898 ¾ Леонард Томсон
ЗАКОНЫ ФОТОЭФФЕКТА
1) При неизменном спектральном составе света сила тока насыщения пропорциональна падающему световому потоку: Iн ~ Ф
|
2) Начальная кинетическая энергия линейно растёт с увеличением частоты и не зависит от интенсивности: mJ2max/2=eUз;
3) Существует минимальная частота (wmin или lmax), характерная для каждого металла, начиная с которой фотоэффект не происходит.
wmin ¾ красная граница фотоэффекта
Установленные экспериментально зависимости не могли быть объяснены. Все особенности фотоэффекта объяснил в 1905м году Эйнштейн ¾ “свет поглощается тоже квантами”.
Используя гипотезу квантов, он вывел формулу: w=Aвых + Ekmax
Ekmax = mJ2max/2, J << c; Ek = E-E0, J ~ c
Ekmax = Ekmax (w); Ekmax = w - A; y=kx-b;
Мы рассматриваем однофотонный фотоэффект при малых световых потоках: квант поглощается одним электроном.
Мощные лазеры дают многофотонный фотоэффект.
В полупроводниках и диэлектриках имеет место внутренний фотоэффект.
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
1923 ¾ рассеивающее вещество в рентгеновском излучении содержит кроме исходного (с l) излучение и с большей l’,
причём Dl=l’-l = lc(1-cosQ) ¾ зависит только от угла Q между начальным пучком и направлением рассеивания и не зависит от l и типа вещества: lc = 0.0243 Ao = const;
Схема опыта:
<РИС>
Эффект Комптона объясняется как эффект упругого рассеивания фотонов на практически свободных внешних (валентных) электронах атомов рассеивания.
В этом процессе выполняются законы сохранения энергии и импульса.
P=mc=(E/c2)c = E/c = w/c = 2p/l=k; P = k;
Фотоны имеют нулевую массу покоя, как и все частицы,
движущиеся с C;
До столкновения | После столкновения |
Ef=w | E’f=hw’ |
E0=mc2 | E’=c×sqrt(p2+m2c2) |
Pf=k | P’f=k’ |
Pe=0 | Pe=??????? |
ЗСЭ: w+mc2=w’+c×sqrt(p2+m2c2); ЗСИ: k = k + Pe; w=kc;
p2=2(k2-k’2-2kk’)+2mc(k-k’); p2=2(k2-k’2-2kk’cosQ);
cm(k-k’)=kk’(1-cosQ) домножим на [(2p)/(mckk’)]; k=2p/l;
ИТОГО: l’-l=[(2p)/(mc)]×(1-cosQ);
lc=(2p)/(mc)=h/mc ¾ комптоновская длина волны для частицы
массой m (тут ¾ для e¾);
Полученная формула согласуется с экспериментом.
Замечание: фотон не может передать часть энергии электрону в поле ядра, т.к. это квант (неделимая порция энергии) => рассеивание следует рассматривать как цепочку событий.
1) Поглощение фотона электроном, слабо связанным с атомом.
2) Изменение состояния электрона (образование виртуального электрона).
3) Испускание этим электроном другого фотона под углом Q к начальной траектории.
Фотон не может передать всю свою энергию электрону, иначе нарушится ЭСИ и ЗСЭ (см. задачу 5.300)
|
6.Фотон. Его характеристики.
Для объяснения законов теплового излучения Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается квантами. Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн предположил поглощение квантами.
Он же предположил, что электромагнитное излучение распространяется квантами => оно ¾ совокупность фотонов, а классическое представление об электромагнитном поле оказывается верным лишь для предельного случая (число фотонов велико).
Подтверждающий эксперимент ¾ опыт Ботэ.
<РИС>
Слабое рентгеновское излучение падает на фольгу, которая становится источником вторичного излучения (флуоресценция), которое попадает на счётчик => отметка на ленте.
Если бы излучаемая энергия распределялась равномерно, то отметки на ленте были бы симметричны. Беспорядок отметок => дискретные частицы (фотоны).
Точная теория электромагнитного поля, как поля квантованного, ¾ называется квантовой электродинамикой, согласно которой движение фотонов не может быть описано без учёта волновых свойств.
Соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами можно выяснить по распределению интенсивности освещения экрана.
I ~ A2 (волновое представление)
Согласно корпускулярному представлению ¾ I ~ плотности потока фотона.
Количество фотонов, регистрируемое фотоумножителем, ¾ случайное в данной точке => вероятность обнаружения фотона в пределах dV определяется выражением: dP=cA2dV, c ¾ коэффициент пропорциональности.
12.Волна де броля…
1924 ¾ гипотеза Луи Де Бройля, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм присущ не только излучению, но и веществу.
Соотношение, связывающее корпускулярные характеристики с волновыми, были обобщены и перенесены на частицы.
Любая частица с E и P связана с волновым процессом, для которого: w=E/ и l=2p/p=2p/mJ ¾ формулы Де Бройля
Найдём lпылинки:
1) m=10-13 кг и J=10-4 м/с: l=6.63×10-7 м ¾ ничтожная малость этой величины объясняет, почему волновые свойства макрочастиц не проявляются.
2) lэлекторна = 0.7×10-10 м = 0.7 ангстрем ¾ длина волны мягкого рентгеновского излучения.
|
При дифракции электронных волн на кристаллах с d=1 ангстрем ¾ наблюдаются волновые свойства электронов.
ОПЫТ ДЭВИСОНА И ДЖЭММЕРА
1927 ¾ экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля.
Пучок электронов падает на кристалл под углом скольжения Q. Отражённые электроны улавливаются ловушкой, соединённой с гальванометром.
Ловушка установлена под углом 900 к потоку в одной плоскости. Измеряя силу тока при разных положениях, можно было судить об интенсивности излучения в различных направлениях.
В опыте показано: при определённом значении ускоряющего напряжения (U) max???????????? возникает при определённом угле Q (и наоборот).
Это явление получило объяснение на основе дифракции электронных волн, по аналогии с дифракцией рентгеновского излучения.
Рентгеновское излучение отражается от кристалла, если l и Q удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга: 2dsinQ=nl; n=1,2,3...;
d ¾ расстояние между узлами кристаллической решётки.
Если Q=const, то отражение происходит только при определённых
ln=(1/n)2dsinQ;
Менять l можно, изменяя J электрона, связанного с ускорением движения:
l=h/mJ=[Ek=mJ2/2]=h/sqrt(2mEk)=[Ek=eU]=h/sqrt(2meU) =>
Un=(h2n2)/(8d2mesin2Q) ¾ согласовывается с опытом.
1937 ¾ нобелевская премия за открытие волн материи.
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
Основная задача квантовой механики ¾ нахождение Y-функции и изучение связанных с ней свойств микрочастиц. Наличие у микрочастиц волновых свойств требует особого подхода к изучению их движения. 1926 ¾ Шрёдингер описал движение микрочастиц с помощью волнового уравнения.
Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется.
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Волновое уравнение обобщено: DY-(1/J2)×(д2Y/дt2)=0 => на случай волны де Бройля.
Y=Y0=e¾i(wt-(k, r))= {w=E/, k = p /} = Y0e¾(i / )(Et - (p, r));
ИТОГО: Y(r, t) = e ¾(i / )Et × Y(r);
k=w/J; DY+k2Y=0; Для микрочастиц: k=p/;
Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай движения частицы в силовом поле. В этом случае её полная энергия: E=p2/2m + U(r)=k22/2m + u à (2m/2)(E-U)=k2;
ИТОГО: DY+(2m/2)(E-U)Y=0, U ¾ потенциальная энергия в силовом поле.
D=(д2/дx2) + (д2/дy2) + (д2/дz2);
-(2/2m)DY=^HY=EY;
[-(2/2m)D+U(r)]Y=EY ¾ уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.
E1, E2,... En ¾ дискретный энергетический спектр
^HY=EY ¾ оператор Гамильтона
ВРЕМЕНН О Е УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА {к: 51-52}
В общем случае: ^H=(2/2m)D + U(r, t) (Ep уже не имеет смысла).
F =-ÑU; e¾(1 / ) и i(д Y /дt)=E Y
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ: [(-2/2m)D + U(r, t)] Y =i(д Y /дt);
Решение уравнения Шрёдингера (Y-функция) зависит от вида U(r, t).
Для свободно движущейся частицы U(r, t)=0 => решением является ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ: Y (r, t)=Y0×e¾(i / )(Et-( r , r )) ¾ т.е. чтобы задать состояние микрочастицы, нужно задать его во всём пространстве.
|
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ {к: 52-53}
(-(2/2m)D + U(r, t)) Y * = -it(дY*/дt) | × Y
(-(2/2m)D + U(r, t)) Y = -it(дY/дt) | × Y
i(Y *(д Y /дt) + Y(д Y */дt))=(/2m)(Y *D Y - Y D Y *); D=Ñ2;
- Y *×(д Y /дt)+ Y (д Y */дt)=-(/2mi) Ñ(Y *Ñ Y - Y Ñ Y *);
r=YY* ¾ плотность вероятности.
j =(/2mi)(Y *Ñ Y - Y Ñ Y *);
ИТОГО: дr/дt + (Ñ, j) = 0 ¾ закон изменения вероятности (в локальной форме).
17. Квантование энергии. Движение частиц в глубокой одномерной потенциальной яме.
5.1 Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно высокими и абсолютно непроницаемыми стенками.
Пусть частица движется вдоль Ox в потенциальном поле:
Ux={¥, x<0; 0, 0£x£l; ¥, x>l }
<РИС>
При x<0 => Y(x)=0, Y(0)=0, при x>l => Y(x)=0, Y(l)=0;
Для одномерного случая уравнение Шрёдингера превращается в обычное дифференциальное уравнение.
0<x<l: d2Y/dx2 + (2m/2)EY=0;
k2=(2m/2)E ¾ k ¾ волновое число волны де Бройля.
Yn + k2Y = 0; (x’’ + w02x=0); Y=Asin(kx+a); Y(0)=Asina=0 à a=0
Y(l)=Asinkl=0 à kl=±np;
sin ¾ функция знакопеременная, но мы ограничимся положительными значениями
n=1, 2, 3...
k=pn/l; k=2p/l => l=nl/2 ¾ на ширине потенциальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.
k2=(2m/2)E; (np2/l2)=(2m/2)E à E=[(p22)/(2ml2)]×n2;
Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений: E1, E2,... En ¾ собственные значения энергии частицы, n ¾ главное квантовое число.
Отметим, что квантованность энергии ¾ следствие математических требований, накладываемых на решение уравнения Шрёдингера.
<РИС>
Y=Asin(np/l)x; ò|Y|2dx=1 {0, l}; A2òsin2[(np/2)x]dx=1 {0, l };
A2<sin2[(pn/l)x]×l=1; A=sqrt(2/l); Y=sqrt(2/l)×sin[(pn/l)x];
Из графика видно, что вероятность обнаружения частицы в состоянии 2 (в середине ямы) равна нулю, а в обеих половинах частица бывает равновероятно.
DE=En+1 - En = [p22/2ml](2n+1)»[p22/ml2]n;
5.2 Энергетический спектр и волновые функции микрочастицы в ящике в непроницаемыми стенками: V(0<x<a, 0<y<b, 0<z<c);
Физические условия непроницаемости стенок ящика:
U(r) = {0, r Î V; ¥, r Ï V}
r Î V => DY+(2m/2)EY=0; En1n2n3 = [p22/2m][n12/a2 + n22/b2 + n32/c2]
Y(r)=Y1(x)×Y2(y) × Y2(z) = sqrt(8/abc) × sin[n1p/a]x × sin[n2p/b]y × sin[n3p/c]z
Из выражений для собственных значений энергии и собственных функций => одной и той же энергии может соответствовать несколько собственных функций Y.
n1=n2=n3 => 1Y; n1=n2¹n3 => 3Y; n1¹n2¹n3 => 6Y
Если собственное значение энергий, которое называется энергетическим уровнем, отвечает нескольким Y-функциям, то такой уровень ВЫРОЖДЕННЫЙ. Число Y ¾ кратность вырождения.
1. Из полученных соотношений следует, что энергия частицы в связанном состоянии принимает ряд дискретных значений (квантуется).
2. Полученные результаты согласуются с соотношением неопределённости. Неопределённости координат порядка l соответствует неопределённость импульса порядка /l; Если предположить, что значение импульса по порядку величины совпадает с величиной неопределённости импульса (p~/l) => E=p2/2m = 2/2ml2; (E=p22/2ml2);
Замечание: если потенциальная яма имеет конечную глубину.
Y’’-2Y=0; 2=(2m/2)(U0-E); Y=const × e±x: “+” à x > l, “-” à x<0
ЛАЗЕРЫ
Эффект вынужденного излучения ¾ физическая основа создания лазера.
В состоянии термодинамического равновесия Nm<Nn система будет ослаблять проходящее через неё излучение.
При Nm>Nn индуцированное излучение преобладает над поглощением => термодинамически неравновесное состояние с инверсной населённостью.
Процесс создания инверсной населённости ¾ накачка.
Способы накачки:
1. Оптическая ¾ с помощью ламп вспышки (рубиновые лазеры).
2. С помощью возбуждения в газовой среде электрического разряда.
Происходит усиление излучения, проходящего через инверсную область, которое снимает инверсию, переводя энергию излучения атомов в когерентное излучение.
Усиление волны ¾ “отрицательное поглощение”.
I=I0e¾l ¾ закон Бугера.
В случае усиления говорят, что коэффициент поглощения ¾ отрицательный.
Для создания генератора когерентных электромагнитных волн не достаточно одного усилителя. Для формирования высоких временной и пространственной когерентности необходимо поместить активную среду в оптический резонатор, представляющий собой два параллельных зеркала.
<РИС>
Расходимость излучения = 10-4¾10-5 рад.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ
Рентгеновские спектры практически не зависят от того, в состав каких химических элементов входит данный элемент => сила, удерживающая атомы в молекулах, вызваны взаимодействием внешних электронов. Рассмотрим, как химическая теория объясняет химические связи. Различаются два вида химических связей => два вида молекул:
1. Ионная (гетерополярная): NaCl;
2. Ковалентная (гомеополярная): H2;
Квантовомеханическое объяснение второй теории было дано Гейтлером и Лондоном в 1927 году.
ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ {к: 108-110}
[-(2/2M)D1 - (2/2M)D2 - (2/2M)D1 - (2/2M)D2 + U(ri, Ri)]×Y(ri, Ri)=E(ri, Ri)Y(ri, Ri);
u=(-c2/4pe0)[1/r1a + 1/r2a + 1/r1b + 1/r2b - 1/rab - 1/R];
Нужно искать приближённое решение. Его находят, исходя из деления частиц молекул на две подсистемы: быстро движущиеся электроны и медленно движущиеся ядра.
mЯ=2000me;
В нулевом приближении ядра считают неподвижными и находят закон движения электронов. Затем учитывают колебания ядер относительно равновесия и вращение вокруг центра масс.
E=E0+EJ+Er;
1. Ee(Ri) ¾ электроны в молекулах являются функциями радиус-векторов ядер, причём эта зависимость различна для электронов с парными и антипарными спинами. E0 ¾ сумма энергий отдельных атомов.
2. EJ ¾ колебательная (вибрационная) энергия.
EJ = (J+1/2)wJ; wJ ¾ зависит от электронной конфигурации.
3. Er ¾ вращательная (ротационная) энергия.
Er = Iw2/2 = (Iw)2/2I = LJ2/2I = [2J(J+1)]/(2I)
Изобразим энергетические уровни молекулы.
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
Зная схему энергетических уровней, можно объединить спектры излучения и поглощения молекулы, которые в отличие от атомных линейчатых спектров называются полосатыми.
Излучение фотона сопровождается: w=E’-E=E’e+(J’+1/2)w’J -
-(J+1/2)wJ + B’J’(J’+1)-BJ(J+1); B=h2/2I ¾ ротационная постоянная.
1. Вращательные спектры: DEr¹0, lJ=±1;
2. Колебательно-вращательные спектры: DEr¹0, DEJ¹0, DJ=±1;
3. Электорнно-колебательные спектры: DEl¹0, DEJ¹0;
4. Электронно-колебательно-вращательные: DEl¹0, DEJ¹0, DEr¹0;
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Комбинационное рассеяние света заключается в том, что при прохождении света через газы, жидкости, твёрдые тела кроме несмещённой линии с w0 содержатся смещённые линии, частоты которых представляют собой комбинацию w0 и частот колебательных и вращательных переходов рассеивающих молекул.
w=w0±wi;
“+” ¾ фиолетовые спутники, “-“ ¾ красные спутники.
wi ¾ не зависит от w0, Iфиолет. Растёт с ростом T;
ВОПРОС-24 {55-58, к: 112-117}: ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВЫХ СТАТИСТИК
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Основная задача статистики ¾ найти наиболее вероятное состояние.
Функция распределения ¾ выражает связь между состоянием системы и состоянием частиц.
Состояние системы задаётся с помощью термодинамических параметров.
U, T, m (химический потенциал) и т.д.
TdS=dU+pdV, N=const;
dU=TdS-pdV+mdN, N¹const;
m=(дU/дN)S, V ¾ изменение внутренней энергии системы.
Состояние частиц определяется координатами, импульсом или энергией, которая является функцией от координат и импульса.
Пусть в системе, характеризующейся параметрами T и m, находится dNT, m(E) частиц с энергией от E до E+dE;
dNT, m(E) можно представить в виде произведения числа состояний (dn(E) на dE) на вероятность заполнения этих состояний.
f(E)=<n(E)> ¾ среднее число частиц, находящихся в этом состоянии.
Введём функцию плотности состояний r(E):
dNT, m = (dN/dn)(dN/dE)dE = f(E)r(E)d(E);
òf(E)r(E)dE {0, Emax} = N ¾ условие, фиксирующее число частиц в системе (условие нормировки f(E));
Вид f(E) зависит от свойств частиц. Для проявления специфики микрочастиц необходимо их попадание в одно состояние (“встреча”).
N/n << 1 => свойства системы не зависят от свойств частиц (невырожденные системы, описываемые статистикой Максвелла-Больцмана).
N/n ~ 1 => свойства частиц влияют на свойства системы (врожденные системы, описываемые квантовыми статистиками).
По поведению в коллективе частицы делятся на две большие группы:
1. Фермионы: (S=1/2, 3/2, 5/2, электроны, протоны, нейтроны).
2. Частицы с целым спином: (S=0, 1, 2... (фотоны, фононы, мезоны).
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА {к: 114-115}
fF=1/(e(E-m)/(kT)+1), m ¾ химический потенциал.
В применении к вырожденному газу фермионов m называют уровнем Ферми и находят из условия нормировки.
FF(E)={1, E<m; 0, E>m}
Вблизи абсолютного нуля все уровни с E<m полностью заняты, а с E>m ¾ свободны.
Уровню Ферми соответствует max кинетическая энергия Eферми, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре.
EF, будучи кинетической энергией поступательного движения электронов, не связана с их тепловым движением, а имеет чисто квантовую природу и возникает из-за специфики электронов и фермионов согласно принципу Паули.
Связь между химическим потенциалом и EF для случая kT<<m выражается соотношением: m=EF[1-(p2/12)(kT/EF)2]
m слабо зависит от температуры. Вплоть до температуры плавления kT<<EF => m считают совпадающим с EF(0);
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА {к: 115
Описывает бозоны (S=0,1, 2)
fБ-Э=1/(e(E-m)/(kT)-1) => <n(E)> ¾ среднее число частиц с энергией E
=> m£0, т.к. при E<m среднее число частиц становится < 0;
Для систем с переменным числом частиц m=0 => fБ-Э=1/(eE/(kT)-1), E=w
Из вида f видно, что в системе может находиться неограниченное число одинаковых фотонов => на фотоны и бозоны не распространяется принцип Паули.
P~N; Вероятность появления бозона в состоянии, где уже есть N бозонов ~ N.
ПОНЯТИЕ О ФОНОНАХ {к: 116-117}
Атомы в узлах кристаллической решётки связаны между собой => их колебания не являются независимыми.
Тепловое возбуждение атомов кристалла может быть представлено как распространение волн упругих деформаций.
На основании корпускуларно-волнового дуализма каждой волне можно сопоставить движение квазичастиц ¾ фононов ¾ квантов энергии поля упругих деформаций.
Фонону можно приписать энергию e=(2pn)/(ln)=(w)/(ln)=e/J ¾ скорость распространения упругих волн в кристалле. | k |=2p/l;
Изучение тепловых колебаний атомов в кристаллической решётке можно заменить изучением движения фононов.
При низких температурах фононы можно считать невзаимодействующими и рассматривать как идеальный фононный газ.
Фононы в кристалле находятся в потенциальном ящике => дискретный энергетический спектр. Они заполняют энергетические состояния от 0 до Emax.
wmax=2pc/lmin; lmin=2d;
Т.к. число фононов нефиксировано, функция распределения:
fБ-Э=1/(eE/(kT)-1)
ВОПРОС-25 {58-59, к: 117-188}: ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЯ
Для определения полной энергии газо-квантовых частиц (фононы и т.д.) необходима функция плотности состояний (число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии).
r(E)=dn(E)/dE;
Для нахождения r(E) используется представление о фазовом пространстве ¾ многомерном пространстве, где оси координат ¾ координаты частиц и проекций импульсов.
Для системы из N частиц мерность пространства = 6N.
Для одной частицы величина элементарного объёма фазового пространства = dt=dxdydzdpxdpydpz;
Из принципа неопределённости => значение минимального фазового объёма, приходящегося на одно состояние = dtmin=h3 (не 3 !)
Знание dtmin позволяет определить общее число состояний квантовых частиц во всём объёме пространства (и элементарном объёме).
dn=dt/dtmin ;
Чтобы получить r(E) в энергетическом представлении, необходимо выразить dt как функцию энергии: интегрируют dt по всем значениям координат и импульсов, а затем используют соотношение между энергией и импульсом.
t=Vò{0, 2p}ò{0, p}ò{0, p}p2sinQdpdQdj = (4pp3V)/3;
n(p)=(4pp3V)/3h3; dn(p)=(4pp2V/h3)dP;
r(p)=(4pp2V)/h3 ¾ функция плотности, составленная в импульсном виде.
ВОПРОС-27 {59, к: 119}: r(E) ДЛЯ ФОНОНОВ
Чтобы перейти к r(E) в энергетической форме нужно воспользоваться соотношениями E <-> p для фононов.
p=e/J; dp=de/J; dn(e)=[(4pe2V)/(J3h3)]de;
r(e)=[(4pe2V)/(J3h3)]; × 3 (3 типа волн: 2 поперечных, 1 продольный)
r(e)=[(12pe2V)/(J3h3)];
U=òef(e)r(e)dE {0, Emax}; Emax = wmax = kQД;
ВОПРОС-26 {60, к: 119-120}: r(E) ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
См. вопросы 25 и 27.
Рассмотрим электрон в пустом ящике с непроницаемыми стенками.
P=sqrt(2mE); dp=[sqrt(2m)/2]E¾1/2;
n(E)=[(4p2mEsqrt(2m)E¾1/2)/(2h3)] dE;
r(E)=[4pV(2m)3/2E1/2/(2h3)]; × 2 (каждое состояние с E может быть заполнено двумя электронами)
r(E)=[(2m)3/2V/(2p23)]E1/2; Знание r(E) позволяет определить полное число электронов в системе.
N=òf(E)r(E)dE {0, ¥} ¾ условие нормировки
При невысоких температурах основная часть электронов заполняет уровни с E<EF => верхний предел интегрирования можно заменить на EF;
f(E)=1; N=òr(E)dE {0, EF} = [[(2m)3/2V]/(3p23)]E3/2F;
EF = (2/2m)(2p2)2/3(N/V)2/3, n ¾ концентрация.
N=6×1028 м¾3 для металлов à EF=9 ЭВ
Средняя энергия электрона выражается:
<E>=[òEf(E)r(E)dE {0, ¥}]/[òf(E)r(E)dE {0, ¥}] ={E<EF}=
=[òEr(E)dE {0, EF}]/[òr(E)dE {0, EF}];
ВОПРОС-28 {60-62, к: 120-123}: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ МЕТАЛЛОВ
CV = CVрешётки + CVэлектронного газа;
CV=дU/дT = (д/дT)[3NA×kT + (3/2)NAkT] = 3R+(3/2)R=(9/2)R;
ТЕПЛОЁМКОСТЬ ФОНОННОГО ГАЗА {к: 121}
Для нахождения CVрешётки твёрдых тел используют представление о фононном газе. В приближении фононного газа полная энергия фононов, распределённая по энергетическим уровням, аппроксимирует полную энергию кристалла.
CVрешёлтки = СVфононного газа = дEФ/дT; eФ=òf(e)r(e)de {0, emax}
Выражение для Emax можно получить из условия, что полное число фононных состояний в твёрдом теле £3N; emax à QД, т.к. emax=kQД,
T >> QД, eФ=eRT
T < QД, eФ=AT4
ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА {к: 121-123}
При T=0K свободные электроны металла занимают все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми. При повышении температуры электроны подвергаются возбуждению и переходят на более высокие уровни.
KT<<EF
Тепловому возбуждение подвергаются лишь электроны узкой полосы (~kT), распадающейся у уровня Ферми. Оценим их число. Считаем, что расстояние между уровнями одинаковое.
DE=EF/(N/2);
В полосе, где E=kT расположено:
kT/DE = kTN/2EF, kTN/EF ¾ электронов.
kT/DE ¾ количество уровней, лежащих ниже уровня Ферми в полосе kT.
Каждый из электронов получает энергию kT (при нагреве). Электроны более глубоких уровней свою энергию не меняют.
Увеличение энергии всего электронного газа:
E=kT×(kTN/EF); CV=дE/дT=2k2TN/EF; CV=2k×kNAT/EF=2RkT/EF;
CVклассич.=(3/2)R; CVквантов./CVклассич.=(4RkT)/(3REF)»kT/EF;
При обычных T: kT=0,01 ЭВ; EF»9 ЭВ
C=Cрешётки + Cэлектр. (пренебрежимо мало) = 3R
ВОПРОС-29 {62-63, к: 123-126}: ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ
Сравним классическую и квантовую теорию электропроводности. В классической теории электронный газ в кристаллах рассматривается как идеальный газ, подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана.
Расчёт тока, возникающего под действием электрического поля с напряжённостью e производится следующим образом:
F=ee; JН=a<t>; a=F/m, <t>=<l>/<J>;
После соударения: <JН>=JН/2=(ee<l>)/(2m<J>);
Подвижность ¾ средняя скорость направленного движения электронов, приобретаемая ими в поле с напряжённостью e=1 В/м
<РИС>
V=<JН>
Через S=1м2 перпендикулярную направлению тока за 1с пройдут все электроны, заключённые в параллелепипеде с ребром <JН>
Число электронов в параллелепипеде: nV=n<JН>
Плотность тока: i=en<JН>=enUe;
s=i/e=enU; s=(e2n<l>)/(2m<J>);
<J>=sqrt(8kT/pm); sклассич=1/sqrt(T) ¾ так кажется, согласно классической теории.
Но по эксперименту sэксперимент.=1/T
Т.о. расчёт, основанный на представлении электронов в виде идеального газа, подчиняющегося статистике Максвелла-Больцмана ¾ неверен.
Расчёт электропроводности металлов, основанный на квантовой статистике Дирака, был проведён Зиммерфельдом:
s=(e2n<l(EF)>)/(m<J(EF)>);
<l(EF)> ¾ средняя длина свободного пробега
<J(EF)> ¾ средняя скорость электронов, находящихся на уровне Ферми, которая в отличие от <Jклассической> остаётся почти const, т.к. уровень Ферми мало зависит от температуры.
Существенное различие между классической и квантовой теориями заключается в рассмотрении <l(EF)>.
Классическая теория (рассматривающая электроны как свободные частицы) видит причину сопротивления в столкновении электронов с узлами кристаллической решётки и <lклаасич>=d (расстояние между узлами решётки).
Квантовая теория рассматривает электроны как частицы с волновыми свойствами, а их движение ¾ как процесс распространения волны Де Бройля: <lквантовая>=(Ed)/(pnkT);
s~<l>~1/T ¾ что согласуется с экспериментальными данными.
<РИС>
ВОПРОС-30 {64-67, к: 126-131}: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Сверхпроводимость ¾ эффект скачкообразного падения сопротивления до нуля при T=Tk (критическая температура).
Сверхпроводимость открыта Киммерлинг-Оннесом в 1911 году, который наблюдал, что при Tk=4,2K электрическое сопротивление ртути скачкообразно падало до нуля.
<РИС>
Сейчас известно ~ 1200 сверхпроводников.
Максимальную Tk=22,3K имеет сплав Na3Ge (1973 год).
БКШ-ТЕОРИЯ {к: 127-129}
Квантовая теория сверхпроводников создана в 1957 году Бардиным, Купером, Шриффером.
Резкий переход в сверхпроводящее состояние указывает на то, что все электроны проводимости одновременно во всём объёме металла переходят в новое состояние => должна быть корреляция состояний отдельных электронов. Физической причиной такой корреляции может быть взаимодействие электронов, но кулоновские силы приводят к отталкиванию. В данном же случае имеет место притяжение. Качественно механизм сверхпроводимости описывается через электронно-фононное взаимодействие. Это означает следующее: электроны, перемещаясь в решётке, деформируют её своим полем, т.е. смещают ионы из положения равновесия. Обратный переход ионов в исходное состояние сопровождается излучением энергии ¾ рождением фонона. Этот фонон поглощается другими электронами. В результате обмена фононами возникает связанное состояние электронов ¾ куперовская пара. Минимальной энергией такая пара обладает, если импульсы взаимодействующих электронов равны по модули и противоположны по направлению, а спины ¾ антипараллельны.
<РИС>
Пара имеет спин = 0, т.е. она представляет собой бозе-частицу, которая не подчиняется принципу Паули. Они накапливаются в состоянии с минимальным значением энергии ¾ бозе-конденсация.
Куперовские пары, придя в согласованное движение, могут находиться в нём бесконечно долго à сверхпроводимость.
EmaxФ = wmax = kQД (QД ¾ T Дебая)
Участвовать в образовании куперовских пар могут лишь электроны, которые занимают энергетические уровни в слое kQД;
При этом, если суммарная энергия двух электронов, находящихся на уровне Ферми, в нормальном состоянии = 2EF, то в состоянии сверхпроводимости энергия куперовской пары меньше и равна:
E=2EF-D (D ¾ энергетическая щель)
Куперовские пары при T=0 располагаются на уровне ниже уровня Ферми, который отделён от ближайшего уровня, отвечающего нормальному состоянию, на D.
При T=Tk D=0 => сверхпроводимость исчезает.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ {к: 129}
Джоулевы потери в линиях электропередач, со
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!