Модулирующей частоты при использовании 12 битного АЦП

 

Результаты моделирования показывают:

1. Погрешность измерения глубины АМ 10-битным АЦП, при случайном белом шуме в 1 бит не превосходит 0.4%.

2. Погрешность измерения глубины АМ 12-битным АЦП, при случайном белом шуме в 1 бит не превосходит 0.1%.

3. Погрешность измерения девиации ЧМ 10-битным АЦП, при случайном белом шуме в 1 бит не превосходит 3%.

4. Погрешность измерения девиации ЧМ 12-битным АЦП, при случайном белом шуме в 1 бит не превосходит 0.7%.

Рассмотренный метод был апробирован для оценки параметров простых и сложных (комбинированных) АМ и ЧМ сигналов. Результаты оценки девиации ЧМ сигнала показали, что влиянием паразитной АМ (глубиной до 95%) можно пренебречь. Аналогичные результаты были получены и при оценке глубины АМ в присутствии паразитной ЧМ. В экспериментах проводилась одновременная оценка глубины АМ и девиации частоты с допустимой для большинства практических задач погрешностью. Преимущества предложенного метода оценки параметров модуляции на основе преобразований Фурье и Гильберта следующие:

1. Вычислительный метод позволяет оценивать параметры простых и сложных сигналов.

2. Использование методов цифровой обработки позволило значительно снизить требования к аналоговой части, которая представляет собой АЦП, вставляемый в свободный слот ПК и работающий в режиме стробирования. При этом компьютер обеспечивает всю обработку и представление данных, хотя стробирующий АЦП может иметь относительно невысокую частоту дискретизации.

3. Разработанный способ оценки глубины АМ и девиации ЧМ сигнала обеспечивает точностные характеристики достаточные для практического применения.

2.3. Оценка частоты сигнала

 

Методы оценки частоты с преобразованием сигнала из временной в частотную область рассмотрены в литературе [9], однако детальные алгоритмы обработки данных и их возможности исследованы недостаточно. В том числе нет аргументированных рекомендаций по применению для этих целей широко используемых в радиотехнике преобразований Фурье и Гильберта.

Ожидаемым преимуществом перехода в частотную область является возможность применения вычислительных методов для «очистки» неидеального сигнала от высших гармоник, шумов и паразитной амплитудной модуляции (ПАМ). Кроме того, при оценке параметров сигнала можно использовать всю базу полученных дискретных отсчетов, т.е. реализовать обработку данных без потерь, которые неизбежны для рассмотренного выше метода многоуровневого интерполирования.

Проведем математическое моделирование с оценкой предельных характеристик для метода, базирующегося на преобразованиях Фурье – Гильберта.

Рассмотрим алгоритм работы вычислителя по шагам:

1. Накладывают на полученный массив u [ i/f_д ] временное окно, например, окно Хемминга или Кайзера.

2. От полученного массива вычисляют прямое преобразования Фурье, получая комплексный спектры S [ if_д/N ]= FFT (u₁ [ i/f_д ]).

3. В комплексном спектре S [ if_д/N ] определяют номер M компоненты, амплитуда которой максимальна, считая ее первой гармоникой сигнала,

4. Обрезают (отфильтровывают) спектр S [ if_д/N ],приравняв все более высокочастотные и низкочастотные спектральные компоненты к нулю, например такие, для которых ent(1.5 M)£ i £ N– ent(1.5 M) и 0£ i £ – ent(0.5 M).

5. находят обратные преобразования Фурье от ограниченного спектра u_Ф [ i/f_д ]= RFT (S [ if_д/N ]).

6. находят преобразования Гильберта от массива u_Ф [ i/f_д ].

Преобразование Гильберта находится через прямое и обратное преобразование Фурье:

u_{Ф ^}[ i/f_д ]= H (u_Ф [ i/f_д ])= RFT (k × S_Ф [ if_д/N ]),

где S_Ф [ if_д/N ]= FFT (u_Ф [ i/f_д ]);

k=-j если i =0,1,2,3,… N /2;

k=j если i = N /2+1, N /2+2, N /2+3,… N -1.

7. Вычисляют производную от массивов u_Ф, u_{Ф ^}. Производную можно найти, используя прямое и обратное преобразование Фурье:

,

где ;

,

где .

Здесь k=jwi если i =0,1,2,3,… N /2;

k=-jw (N-i),если i = N /2+1, N /2+2, N /2+3,… N -1.

8. После нахождения производных закон изменения частоты f_СП будет описываться формулой:

.

9. Находят среднее значение мгновенной частоты, причем из-за краевых эффектов, которые возникают при попадании в окно преобразования нецелого количества периодов входного сигнала, около 25% от начала и конца массива целесообразно отбросить. Все остальные данные усредняются.

Рассмотренный алгоритм работы по методу Фурье-Гильберта может быть реализован с использованием схемы, приведенной на рис. 2.3.1.

 

Рис. 2.3.1. Схема оценки частоты сигнала по методу Фурье-Гильберта

 

Сигнал поступает на входное устройство, представляющее собой согласованный усилитель-аттенюатор с регулируемым коэффициентом передачи. Затем сигнал поступает на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП). В зависимости от уровня оцифрованного сигнала вычислитель задает требуемый коэффициент передачи входного устройства. Правильный выбор коэффициента передачи обеспечит более полное использование рабочего диапазона АЦП, что будет способствовать высокой точности оцифровки. В зависимости от значения частоты вычислитель задает частоту дискретизации f_д таким образом, чтобы сигналы на выходе АЦП находились в требуемом диапазоне частот. Массив оцифрованных данных u [ i/f_д ] поступают на вычислитель, который реализует метод работы по Фурье-Гильберту. Найденное значение частоты отображается на индикаторе.

Диапазон рабочих частот и особенности применения преобразования Фурье рассмотрены в параграфе 2.2. Если АЦП работает в режиме стробирования и измеряемая частота лежит в диапазоне «а», то . Если измеряемая частота лежит в диапазоне «б» (см. табл. 2.2.1), то .

Рассмотрим пример. Пусть b =15, тогда для f_д =250 кГц и N=4096 диапазон «а» будет от 920 до 124080 Гц. Результаты математического моделирования в виде совокупности графиков приведены на рис. 2.3.2 – 2.3.8. Моделирование показало, что наименьшую погрешность дают временные окна, сильно спадающие к нулю на краях, например, для окна Хемминга рекомендуется выбирать a =0.5001, а для окна Кайзера b_k =12. Именно для этого значения b_k построены все графики.

На рис. 2.3.2 – 2.3.4 приведены графики относительной погрешности оценки частоты сигнала f в зависимости от отношения f/f_д, лежащего в диапазоне значений 0.006… 0.47.На графиках виден ожидаемый рост погрешности в области низких значений f/f_д, соответствующих малому числу оцифрованных периодов сигнала: минимум 12 периодов для N= 2048, 24 периода для N= 4096 и 48 периодов для N= 8192.

В результате моделирования получено, что для 12-битного АЦП при 2-битном шуме, когда реальный динамический диапазон АЦП 10 бит, погрешности возрастают примерно на порядок. Дальнейшее уменьшение реальной разрядности до 6 бит (8-разрядный АЦП с шумами ±2 бита) увеличивает погрешности более чем на порядок.

 

Рис. 2.3.2. График относительной погрешности для N =2048

 

Графики, приведенные на рис. 2.3.5 – 2.3.6 в уменьшенном диапазоне отношения f/f_д от 0.006 до 0.24 для N =8192, учитывают ограниченную разрядность АЦП, а также совокупное действие нелинейных искажений (уровень второй гармоники 50%) и ПАМ (50%).

Рис. 2.3.3. График относительной погрешности для N =4096

 

Рис. 2.3.4. График относительной погрешности для N =8192

 

Рис. 2.3.5. График относительной погрешности для АЦП 12 бит

при уровне шумов ± 2 бита

 

Рис. 2.3.6. График относительной погрешности для АЦП 8 бит

при уровне шумов ± 2 бита

 

На рис. 2.3.7 – 2.3.8 приведены графики относительной погрешности в зависимости от начальной фазы для N =512 при небольшом числе периодов сигнала (N*f/f_д=3.5), укладывающихся в окне преобразования. При этом рассмотрены варианты алгоритмов без фильтрации (рис. 2.3.7) и с фильтрацией первой гармоники сигнала (рис. 2.3.8).

 

Рис. 2.3.7. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы для алгоритма без фильтрации первой гармоники при N =512

 

Рис. 2.3.8. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы для алгоритма с фильтрацией первой гармоники при N =512

 

Рис. 2.3.9. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы для алгоритма с фильтрацией первой гармоники при N =4096

 

Создается u7впечатление, что алгоритм обработки с фильтрацией хуже, так как относительная погрешность в рассматриваемой области значений f/f_д = 0.00682 на два порядка выше. При этом, как следует из графика, приведенного на рис. 2.3.9, увеличение объема выборки с 512 до 4096 не способствует уменьшению погрешности. Однако, это не так. Данные, приведенные на рис. 2.3.10 – 2.3.11, показывают, что как только число периодов сигнала в окне преобразования увеличилось до N*f/f_д=15.5, относительная погрешность для алгоритмов с фильтрацией и без нее существенно снизилась. Но как только в сигнале появились нелинейные искажения (см. рис. 2.3.12 – 2.3.13), например, вторая гармоника, погрешности для алгоритма без фильтрации резко возрастают даже в области значительного числа периодов сигнала в окне преобразования (N*f/f_д=15.5).

 

Рис. 2.3.10. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы при N =512, f/f_д =0.03024, без фильтрации первой гармоники

Рис. 2.3.11. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы при N =512, f/f_д =0.03024, с фильтрацией первой гармоники

 

Рис. 2.3.12. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы при N =512, f/f_д =0.03024, уровне второй гармоники 50%, без фильтрации первой гармоники

 

 

Рис. 2.3.13. Зависимость относительной погрешности от начальной фазы при N =512, f/f_д =0.03024, уровне второй гармоники 50%, с фильтрацией первой гармоники

 

Результаты моделирования показывают высокую эффективность метода Фурье-Гильберта в широкой области рабочих частот. При этом даже в условиях сильных нелинейных искажений, наличия шумов, ПАМ и ограниченной разрядности АЦП достижима высокая точность оценки частоты сигнала с погрешностью на уровне 10^-6 – 10^-7. Вместе с тем, моделирование показало, что при приближении к нижней границе рабочего диапазона частот погрешность оценки неизвестной частоты сигнала определяется числом периодов колебаний, попавшим во временной интервал сбора дискретизированных данных. При этом общий объем выборки (N =512, 1024 …. или 4096) уже не влияет на точность. Реальные значения погрешности оценки частоты для трех периодов колебаний составляет 3%. Снизить погрешность примерно на порядок может отказ от процедуры с «вырезания» первой гармоники. Однако, тогда метод будет работать только с гармоническими сигналами, т.е. сфера его применения резко сужается.

Сравнивая метод многоуровневого интерполирования, работающий во временной области и рассмотренный в параграфе 2.4, следует заметить, что в отличие от метода Фурье-Гильберта, он позволяет получить достаточно точно результат уже на 2-3 периодах сигнала.