Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-13 | 332 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ[a;b] существует интеграл
(4)
Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):
. (5)
Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).
Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке [a;b].
Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство
.
Следствие
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).
Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить связь между неопределенным и определенным интегралами:
,
где С – произвольная постоянная.
Вопрос 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной связи между неопределенным и определенным интегралами.
|
Т.4.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - любая первообразная для функции f(x) на [a;b], то справедлива формула
. (6)
Формула (6) называется формулой Ньютона – Лейбница.
Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (6) можно переписать в виде
.
Формула Ньютона – Лейбница дает удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти любую первообразную функцию F(x) для f(x) и взять разность F(b) ‒ F(a) на концах отрезка [a;b].
Пример
Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
Метод замены переменной
При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.
Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда, если:
1) функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке [a;b];
2) множеством значений функции x = j(t) является отрезок [a;b];
3) j(a) = a, j(b) = b,
то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Замечание
1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.
2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).
3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.
Пример. Вычислить
Решение
Интегрирование по частям
Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
.
Пример. Вычислить интеграл
Решение
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!