Адиабатический процесс. Работа идеального газа в изопроцессах и в адиабатическом процессе.

36. В параграфе 2.4 отмечалось, что важным классом термодинамических процессов являются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, то есть политропические процессы. К таким процессам, в частности, относятся адиабатический, изотермический, изобарический и изохорический процессы.

37. Для идеального газа нетрудно получить уравнение политропического процесса тем же способом, которым ранее было выведено уравнение Пуассона. Пусть молярная теплоёмкость идеального газа в политропическом процессе равна . Тогда в соответствии с первым началом термодинамики (1.5) имеем выражение:

,

(2.99)

38. из которого следует:

.

(2.100)

39. Подставляя это выражение в формулу (2.76) получим

(2.101)

40. или с учетом соотношения Майера (2.70)

.

(2.102)

41. Сравнение формул (2.100) и (2.102) при условии, что , позволяет записать уравнение

,

(2.103)

42. аналогичное уравнению (2.79). Здесь введен параметр

,

(2.104)

43. который называется показателем политропы.

44. Из этой формулы можно также получить зависимость молярной теплоемкости от показателя политропы :

.

(2.105)

45. Преобразование формулы (2.103) к виду:

(2.106)

46. и интегрирование полученного уравнения дает

.

(2.107)

47. Уравнение (2.107) называется уравнением политропического процесса или политропы – кривой, описываемой таким уравнением в переменных и .

48. Аналогично уравнениям адиабаты (2.86) и (2.87) уравнение политропы может быть переписано в других термодинамических координатах:

,

(2.108)

49.

.

(2.109)

50. При адиабатическом процессе , что соответствует нулевой теплоемкости. Подставив в формулу (2.104) и сравнив получившееся выражение с (2.80), имеем , и уравнение политропы (2.107) становится уравнением адиабаты: .

51. Если процесс изотермический, то , так как при этом . В этом случае показатель политропы в пределе равен единице, и уравнение политропы (2.107) преобразуется в уравнение Бойля-Мариотта (2.11): . Обратим внимание на то, что поскольку при выводе уравнения политропы мы исключали величину , то этот вывод не может считаться полностью корректным для изотермического процесса.

52. Для изобарического процесса при показатель политропы , и уравнение (2.107) принимает форму: .

53. При изохорическом процессе должно стать равным , что соответствует случаю, когда показатель . Очевидно, переход в формуле (2.107) к указанному пределу некорректен. Это связано с тем, что при выводе уравнения политропы предполагалось, что (см. переход к формуле (2.103)).

54. Если умножить уравнение (2.100) на величину и сложить его с уравнением (2.102), предварительно умноженным на величину , то получим уравнение политропы в дифференциальном виде

.

(2.110)

55. При это уравнение приобретает форме:

(2.111)

56. Отсюда имеем или . Из уравнения (2.110) также следует, что в процессе, при котором , давление постоянно: .

57. Для политропических процессов значение теплоёмкости и, соответственно, показателя политропы могут принимать любые величины. Отрицательные значения теплоёмкости, когда показатель политропы принимает значения от единицы до величины g (см. формулу (2.105)), соответствуют таким условиям, при которых внутренняя энергия термодинамической системы убывает при передаче ей положительного количества теплоты. Это может быть осуществлено при принудительном расширении газа.

58. В соответствии с формулой (2.100) при величины и имеют различные знаки, и с ростом объёма газа его температура, а, следовательно, и внутренняя энергия, уменьшаются. С этим, в частности, связано понижение температуры идеального газа при его адиабатическом расширении, так как в этом процессе . Наоборот, при с ростом объёма газа его температура растёт. В соответствии с первым началом термодинамики этот рост должен быть обеспечен подводом к системе дополнительного количества теплоты.

59. Рассуждая аналогичным образом, можно на основании формулы (2.102) установить связь между приращениями давления и температуры. При с ростом давления температура газа будет возрастать, а при - уменьшаться.

60. Работа газа в политропическом процессе может быть определена с помощью интеграла (1.13) при подстановке в него уравнения политропы (2.107), аналогично тому, как это сделано в формуле (2.97):

.

(2.112)

61. Интегрирование в выражении (2.112) дает формулу для определения работы в политропическом процессе

,

(2.113)

62. где: и - начальные давление и объём газа, - его конечный объём.

63. Из этой формулы, в частности, следует, что работа при расширении газа всегда остаётся положительной, независимо от того, какое значение принимает показатель политропы, больше или меньше единицы.

64. Нетрудно видеть, что для адиабатического процесса при выражение (2.113) переходит в формулу (2.95). Для изобарического процесса, при , выражение (2.113) дает

,

(2.114)

65. где учтено, что при этом процессе .

66. Формула (2.113) неприменима для описания изохорического процесса, так как при выводе уравнения политропы (2.103) исключался случай . Но из формулы (2.100) очевидно, что работа газа в изохорическом процессе равна нулю.

67. Другим процессом, не описывающимся соотношением (2.113), является изотермический процесс. Как было сказано выше, он является предельным случаем политропического процесса при . Работу в изотермическом процессе можно найти, если в формулу (2.112) в соответствии с законом Бойля-Мариотта подставить , а затем выполнить интегрирование. Тогда имеем

(2.115)

68. или

,

(2.116)

69. где учтено постоянство температуры в этом процессе: .

70. Поскольку внутренняя энергия идеального газа не изменяется в изотермическом процессе, количество теплоты, полученное газом, также может быть рассчитано по этой формуле, то есть в этом процессе . При изотермическом расширении идеального газа работа совершается только за счёт теплоты, подведённой из окружающей среды.

71. В заключение параграфа запишем все полученные формулы в единую таблицу 2.1.

Термодинамический процесс	Показательполитропы	Теплоемкость	Работа
Изотермический
Изобарический
Изохорический
Адиабатический

72. Задача 2.4. Какова молярная теплоёмкость одноатомного газа и показатель политропы для процесса, в котором работа, совершаемая газом, в два раза превосходит количество теплоты, передаваемое ему?

73. Решение: Так как по условию задачи , то в соответствии с первым началом термодинамики имеем:

74.

75. или

76. .

77. Тогда, с учетом одноатомности газа (число степеней свободы ), молярную теплоемкость можно определить по формуле:

78. ,

79. а показатель политропы соответственно будет равен:

80.

81. Задача 2.5. Какая работа совершается одним молем идеального газа в политропическом процессе с показателем политропы при изменении температуры газа на ?

82. Решение: Используя уравнение политропы (2.108): и уравнение Клапейрона-Менделеева для одного моля , перепишем (2.113) в виде:

83. .

84. Отсюда имеем:

85. .

86. Следовательно, работа, совершаемая одном молем идеального газа в процессе с постоянной теплоёмкостью, определяется только разностью температур конечного и начального состояний газа.

87. Таким образом, для идеального газа работа, а, следовательно, и количество теплоты, в политропических процессах определяются только конечным и начальным состояниями системы, так как путь перехода из одного состояния в другое определён теплоёмкостью газа (показателем политропы). Однако даже при рассмотрении только политропических процессов, работу и количество теплоты нельзя считать функцией состояния системы, так как переход из одного состояния в другое может быть осуществлен последовательностью различных политропических процессов.

88. Задача 2.6. Какое количество теплоты передано одноатомному газу в процессе, описанному в условии задачи 2.5?

89. Решение: В соответствии с формулой (2.105) имеем:

90. .

91. Тогда количество теплоты будет равно:

92. .

93. Отсюда, в частности, следует, что при равенстве показателя политропы показателю адиабаты для одноатомного газа: , количество теплоты .

94. Работа идеального газа в изопроцессах.

95. Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии для тепловых процессов) определяет количественное соотношение между изменением внутренней энергии системы дельта U, количеством теплоты Q, подведенным к ней, и суммарной работой внешних сил A, действующих на систему.

96. Первый закон термодинамики - Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, подведенного к системе извне, и работы внешних сил, действующих на нее:

97.

98. Первый закон термодинамики - количество теплоты, подведенное к системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами:

99.

100. Частные случаи первого закона термодинамики для изопроцессов

101. При изохорном процессе объем газа остается постоянным, поэтому газ не совершает работу. Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря теплообмену с окружающими телами:

102.

103. При изотермическом процессе количество теплоты, переданное газу от нагревателя, полностью расходуется на совершение работы:

104. Q=A'

105. При изобарном расширении газа подведенное к нему количество теплоты расходуется как на увеличение его внутренней энергии и на совершение работы газом:

106.

107. Адиабатный процесс - термодинамический процесс в теплоизолированной системе.

108.

109. Адиабатический процесс.

110. Адиабатический процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не получает и не отдаёт тепловой энергии.

111. Для адиабатического процесса первое начало термодинамики в силу отсутствия теплообмена системы со средой имеет вид: , - изменение внутренней энергии тела, A - работа, совершаемая системой

112. Политропический процесс.

113. Политропный процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость c газа остаётся неизменной. Предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс и адиабатный процесс. В случае идеального газа изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропическими.

114. Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

115. pVn = const,где величина называется показателем политропы.

Работа идеального газа при изопроцессах

Вычислим работу идеального газа при различныхизопроцессах в соответствии с её определением

А = . (5)

1. Изотермический процесс.

Подставив в (5) выражение р из уравнения pV= ν RT ₀, получаем:

.

2. Изохорный процесс. Так как здесь V =const, то А =0.

3. Изобарный процесс. Так как здесь р =const= р ₀, то .

4. Адиабатный процесс.

Так как здесь Q =0. то работа газа совершается только за счёт его внутренней энергии:

А = Q −Δ U =−Δ U =−ν C_V Δ T =ν C_V (Т ₁− Т ₂). (6)

Отсюда видно, что при адиабатном расширении, когда А = p Δ V >0, газ охлаждается, т.е. Δ Т <0.

Если в формулу (6) подставить Т ₂ из уравнения адиабаты T ₁ V ₁^γ−1= T ₂ V ₂^γ−1, то получим ещё одно выражение для работы газа при адиабатном процессе:

А =ν С_VТ ₁(1−(V ₁/ V ₂)^γ−1) (получить самостоятельно).

Изопроцессы. Адиабатный процесс. Политропный процесс

1. Изотермический процесс. Изменение внутренней энергии при изотермическом процессе не происходит. Все количество теплоты, переданное системе, согласно формуле (48), идет на совершение работы: ΔQ=A.

Рис. 12 Изотермический процесс (изотерма)

Полная работа A, совершаемая газом при изменении его объема от V₁ до V₂:

A= PdV= (m/M)·RT·dV/V=(mRT/M)·ln(V₂/V₁)=(mRT/M)·ln(P₁/P₂). (58)

2. Изобарный процесс - процесс, протекающий при постоянном давлении. Первое начало термодинамики для изобарного процесса:

Рис. 13 Изобарный процесс (изобара)

ΔQ=С_v·(m/M)·RΔT+PΔV=С_p(m/M)ΔT. (59)

3. Изохорный процесс. При изохорном процессе газ не совершает работы. Первое начало термодинамики для изохорного процесса: ΔQ=ΔU.

Рис. 14 Изохорный процесс (изохора)

Изменение внутренней энергии системы при изохорном процессе:

ΔU=mC_vΔT/M (60)

4. Адиабатический процесс - процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой (ΔQ=0). Все быстропротекающие процессы можно отнести к адиабатическим.

Уравнения состояний системы для адиабатического процесса:

PV^λ=const - уравнение Пуассона, (61)

TV^λ-1=const, T^λP^λ-1=const.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах (p,V) изображается более крутой гиперболой, чем изотерма (рис. 15). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры. Первое начало термодинамики для адиабатического процесса (внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы):

Рис. 15. Адиабатный процесс (адиабата)

A=-ΔU, или PΔV=-mC_vΔT/M. (62)

5. Политропический процесс – процесс, в котором теплоемкость остается постоянной:

PVⁿ=const, (63)

где n - показатель политропы.

n=(C-C_p)/(C-C_v)

Из уравнения политропы получаются уравнения рассмотренных выше процессов:

Изобарный процесс: n=0, P=const.
Изотермический процесс: n=1, PV=const.
Адиабатный процесс: n=λ, PV^λ=const.
Изохорный процесс: n=±∞, PVⁿ=const.

Адиабатный процесс (в некоторых источниках упоминается как адиабатический) - это термодинамический процесс, который происходит при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Есть несколько факторов, которые характеризуют этот класс. Например, адиабатный процесс происходит динамично и укладывается в короткий срок времени. Происходят процессы данного класса, как правило, мгновенно.