Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-13 | 223 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель занятия - научиться брать интегралы вида , где R- рациональная функция относительно .
Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.
Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.
Доказательство. Из подстановки следует, что . Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:
.
После замены их значениями получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример. Найти интеграл .
Решение. После замены их значениями, получим
, где , .
Пример. Найти самостоятельно интеграл .
Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.
Интегралы вида .
Здесь возможны следующие случаи.
1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:
.
Пример. Найти интеграл .
Так как и заменяем .
После упрощений получим ,
.
2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени и используем формулы .
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Пример. Решите самостоятельно .
3. Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели
|
приводит метод отщепления.
Пример. .
Решение. .
4. В некоторых случаях эффективно использование тождества
или даже .
Пример. Найти интеграл .
Решение.
,
,
.
Интегралы вида , , где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .
Пример.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,
,
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
, .
Подстановка рекомендуется для нахождения интеграла , а
также в тех случаях, когда в интеграле числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии: .
Пример. Найти интеграл .
Решение. ,
,
. Так как , то окончательно
получим .
Замечание. Для интегралов где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.
Решить самостоятельно
, .
Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке , однако, интеграл от нее (интегральный синус) не выражается в конечном виде через элементарные функции. То же самое относится к
интегралам (интегральный косинус), (интегральный
логарифм).
Замечание. Во многих случаях заданный интеграл может быть найден различными способами. Так, например, интеграл с помощью подстановки дает , где , . С другой стороны, если возьмем подстановку , то .
Поэтому .
Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как
.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!