Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 204 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель занятия – научиться пользоваться формулой и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.
Если заданный интеграл не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.
1. Интегралы, содержащие произведение многочлена на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида
Так как интегралы от по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.
,
Окончательно можно записать:
,
.
Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,
т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.
2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида
.
В интегралах и надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить
по-разному. Найдем, например, интеграл .
.
Повторяем этот процесс.
.
.
Здесь в правой части находится исходный интеграл .
. Решив это уравнение относительно , найдем , , .
Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой
. Для нахождения интегралов достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,
|
Так как , то , поэтому
,
.Отсюда следует, что
. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).
3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами:
Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем .
,
Полученный интеграл снова берем по частям.
Окончательно получаем ,
.
Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл относится к числу циклических. Действительно, полагая
получим
.
Полученный интеграл снова находим по частям
.
Итак, .
Отсюда , .
Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,
.
Интегрируя по частям трижды, находим, что
. После подстановки
.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!