Элементы векторного анализа.

Семинар №1.

Литература

1. Лялин К.С., Приходько Д.В. Электродинамика СВЧ. Ч.1. – М.: МИЭТ, 2009, стр. 9 – 18.

2. Лялин К.С., Антенно-фидерные устройства. Ч.1. – М.: МИЭТ, 2004, стр. 5 – 7.

3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. Сборник задач. – М. Высшая школа, 1981 г., глава 1.

4. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Учеб. пособие для вузов: В 2-х ч. Ч. 2: Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высшая школа, 1980. – 295 с.

Описание активных и интерактивных методов обучения.

Каждое практическое занятие строится по следующей схеме:

1. В начале каждого занятия производится контроль знаний и умений студентов, а также выполнения домашнего задания по предыдущему практическому занятию, в форме самостоятельной работы, варианты заданий в которой составлены из приведенных в данном пособии задач (10 мин).

2. С применением мультимедиа проектора и доски разбираются основные теоретические сведения, необходимые для решения задач по теме занятия (15-20 мин.)

3. Решение типовых задач осуществляется самими студентами – один человек разбирает задание у доски, остальные в диалоговом режиме методом мозгового штурма помогают с места. Основная задача преподавателя направлять решение задачи в нужном направлении. (15 – 20 минут на задачу).

 

 

Семинар № 2.

Уравнения Максвелла.

Примеры решения типовых задач.

2.1. В вакууме существует электромагнитное поле, гармонически изменяющееся во времени. В некоторой точке пространства вектор
Е = 130 соs(2π ⋅ 10¹⁰ t)⋅ 1 _х.

Определить плотность тока смещения в данной точке.

Решение. По определению ток смещения

.

Следует обратить внимание на то, что в пространстве ток смещения и напряженность электрического поля параллельны, однако ток опережает по фазе напряженность поля на 90°.

2.2. Показать, что из уравнений Максвелла для вакуума следуют известные волновые уравнения

,

. (2.26)

Решение. Выпишем систему из двух первых уравнений Максвелла, справедливых для вакуума в отсутствие сторонних источников:

(2.27)

и применим операцию rot ко второму уравнению системы (2.27):

Предполагая, что в интересующей нас области пространства нет зарядов (div Е = 0) и воспользовавшись первым уравнением (2.27), получим волновое уравнение (2.26) для вектора электрического поля. Уравнение относительно вектора магнитного поля находят аналогично.

2.3. Материальная среда характеризуется абсолютными проницаемостями: , .

Вывести дифференциальное уравнение второго порядка, которому должно удовлетворять векторное поле Н в данной неоднородной среде, если электромагнитный процесс гармонически изменяется во времени с частотой ω.

Решение. Рассмотрим два первых уравнения Максвелла относительно комплексных амплитуд:

,

. (2.28)

и применим операцию rot к первому уравнению (2.28):

Магнитная проницаемость среды неизменна в пространстве, поэтому
div Н = 0. Кроме того,

.

Вектор Е можно выразить через вектор Н из первого уравнения (2.28):

Отсюда получаем окончательный вид искомого уравнения

2.4. Показать, что уравнение непрерывности тока вытекает из первого и третьего уравнений Максвелла (2.1).

Решение. Здесь следует принять во внимание известное тождество векторного анализа и записать

,

а затем воспользоваться третьим уравнением Максвелла (2.1). Таким образом, приходим к уравнению непрерывности

.

2.5. Нестационарные задачи теории электромагнитного поля удобно решать операторным методом подобно тому, как это делается при изучении переходных процессов в линейных электрических цепях. Вводя изображения векторов поля:

,

.

Найти операторную форму уравнений Максвелла для вакуума в отсутствие сторонних источников.

Решение. Преобразуем по Лапласу обе части системы уравнений Максвелла (2.27). Векторные дифференциальные операции проводят по пространственным координатам, поэтому оператор rot может быть вынесен за знак интеграла. Если полю Е соответствует изображение ℜ, то изображением производной ∂ Е /∂ t будет выражение р ℜ - Е(r, 0), которое учитывает начальное состояние поля при t=0. Таким образом, получается система уравнений Максвелла относительно изображений:

,

.

2.6. Имеется плоская граница раздела двух сред, обладающих относительными диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ (рис. 2.1).

Силовые линии электрического поля в первой среде образуют угол ϑ₁ с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля во второй среде.

Рис. 2.1.

Решение: Воспользуемся граничными условиями

, ,

или , .

Деля эти уравнения друг на друга, получим

, или .

Отметим, что если ε₂ →∞, то → π/2 независимо от ориентации поля в первой среде.

2.7. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды векторов поля:

,

.

Найти мгновенные значения векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга.

Решение. Мгновенные значения связаны c комплексными амплитудами известными формулами

,

,

откуда ,

.

Для полей, гармонически изменяющихся во времени,

(Вт/м²).

§ 2.3. Задачи для самостоятельного решения.

2.8. Показать, что векторное поле Н, изменяющееся в пространстве и во времени по закону

,

не может быть полем магнитного вектора, удовлетворяющим уравнениям Максвелла.

2.9. Показать, что из четвертого уравнения Максвелла в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных координат, вытекает следующее уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

.

2.10. Некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все составляющие полей зависят лишь от координаты z.

Показать, что на основании уравнений Максвелла при этом будут отсутствовать продольные составляющие Е_z и Н_z.

2.11. Показать, что электромагнитное поле, гармонически изменяющееся от времени с частотой ω в области пространства, свободной от источников, удовлетворяет однородным уравнениям Гельмгольца

.

2.12. Доказать, что четвертое уравнение Максвелла div В = 0 можно рассматривать как следствие второго уравнения rot E = –∂ В /∂ t при некотором дополнительном условии. Каково это условие?

2.13. В материальной среде с параметрами ε=3,5 и σ=0,72 См/м создано электрическое поле, имеющее частоту 600 МГц и амплитуду 15 В/м.

Определить амплитудное значение и фазовый угол вектора плотности полного тока, существующего в каждой точке данной среды.

Ответ: J _Σ= 10,94 А/м2; ток опережает по фазе напряженность поля на угол 0,16 рад.

2.14. В толще однородного диэлектрика с известной относительной проницаемостью ε первоначально было создано равномерное электрическое поле Е, а затем прорезаны две узкие полости 1 и 2 (рис. 2.2), одна из которых ориентирована параллельно, а другая перпендикулярно полю. Полости заполнены воздухом.

Рис.2.2.

Какова величина напряженности электрического поля в обеих полостях?

Указание: воспользоваться граничными условиями для векторов электрического поля.

Ответ: если полость параллельна внешнему полю, то Е _внут = Е _внеш; в противном случае Е _внут = ε Е _внеш.

2.15. Исходя из результата предыдущей задачи объяснить, почему твердый диэлектрик, содержащий воздушные включения (пузырьки, каналы), будучи помещен в сильное электрическое поле, имеет меньшую электрическую прочность по сравнению с однородным диэлектриком.

2.16. В круглом цилиндрическом проводнике диаметром 2 мм существует постоянный ток величиной 7,5 А. Провод выполнен из меди.

Определить тангенциальную составляющую вектора напряженности электрического поля на поверхности провода.

Ответ: Е _τ = 0,042В/м.

2.17. Бесконечно тонкий диск радиусом r ₀, равномерно заряженный с плотностью σ_q, вращается вокруг оси с угловой скоростью Ω.

Определить вектор плотности поверхностного тока.

Ответ: η = ± σ_q Ω r 1 _j; знак зависит от направления вращения.

2.18. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат записывается таким образом:

.

В диэлектрике создано электрическое поле Е = 2,5 1 _x + 1.7 1 _y + 9,2 1 _z.

Определить вектор электрической индукции D. Каков угол в пространстве между векторами E и D?

Ответ: D = ε₀(16,25 1 _x + 11,05 1 _y + 61,18 1 _z,), Ð(DЕ) = 6,59⋅10^-3 рад.

2.19. В однородной проводящей среде с параметрами ε и σ в момент времени t = 0 создано начальное распределение плотности зарядов ρ₀ (х, у, z).

Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:

ρ (х, у, z, t) = ρ₀ехр [-σ/(εε₀)].

Оценить τ – характерное время релаксации этого процесса для типичного металла, у которого σ₁ = 10⁷ См/м, а также для полупроводника, имеющего σ² = 10^-3 См/м.

Указание: воспользоваться уравнением непрерывности.

Ответ: τ₁ ≈ 10^-18 с, τ₂ ≈ 10^-8 с.

2.20. Грозовая туча, имеющая площадь 5 км², располагается на высоте
2 км от поверхности Земли. Между тучей и Землей образуется постоянное электрическое поле с одинаковой во всех точках Е = 2⋅10⁵ В/м.

Оценить энергию поля.

Ответ: 1,77 · 10⁹ Дж..

2.21. По данным наблюдений, шаровая молния имеет диаметр порядка
20 см и содержит значительный запас энергии, зачастую превышающий энергию летящей винтовочной пули.

Может ли шаровая молния иметь только электрическую природу? Положить, что предельно допустимое значение напряженности электрического поля в воздухе Е = 30 кВ/см.

2.22. Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью 7,7г/см³ и имеет массу 2 кг. Амплитудное значение магнитной индукции 2,1Тл, относительная магнитная проницаемость стали µ = 200.

Найти максимальное значение энергии, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидальным током.

Ответ: 2,279 Дж.

2.23. * Конденсатор при t=0 начинает заряжаться от источника постоянной э. д. с. (рис. 2.3).

Рис.2.3.

Дать качественное описание процесса передачи энергии от источника в конденсатор. Как выглядят линии потока энергии в непосредственной близости от конденсатора?

2.24. Вектор напряженности электрического поля Е в декартовой системе координат имеет единственную составляющую Е _x, отличную от нуля.

Показать, что при этом вектор Пойнтинга не может иметь составляющей вдоль оси х.

2.25. В некоторой точке пространства вектор напряженности электрического поля Е =20 1 _у В/м, в то время как вектор Пойнтинга

П = 10 1 _х +30 1 _z Вт/м².

Определить вектор напряженности магнитного поля.

Ответ: Н = -1,5 1 _х + 0,5 1 _z А/м.

2.26. В фиксированной точке пространства известны мгновенные значения векторов поля

,

,

где Е ₀ и Н ₀ – постоянные векторы.

Показать, что мгновенное значение вектора Пойнтинга складывается из неизменного во времени среднего значения

и колеблющейся части

,

изменяющейся во времени с удвоенной частотой.

2.27. В диэлектрике с проницаемостью ε = 2,4 создано постоянное электрическое поле напряженностью Е = 200 кВ/м.

Определить электрический дипольный момент области диэлектрика объемом 6 см³.

Ответ: 1,485⋅10¹¹Кл·м.

2.28. * При феноменологическом описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель, которая уподобляет молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающим при своем движении вязкое сопротивление окружающей среды. При этом связь между вектором поляризованности Р и вектором напряженности электрического поля Е устанавливается дифференциальным уравнением

,

где а — константа; Т — время релаксации среды.

Вывести зависимость комплексной абсолютной диэлектрической проницаемости от частоты.

Ответ: .

2.29. Используя условия предыдущей задачи, вывести формулу, определяющую тангенс угла диэлектрических потерь.

Ответ: .

2.30. * Решить задачу 2.28 для случая, когда динамика процесса поляризации описывается уравнением

,

где ω₀ — собственная частота молекулярного диполя; b — константа. Такое уравнение возникает, если в качестве модели диполя принять осциллятор с трением.

Проанализировать графики частотных зависимостей действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости.

Ответ: .

2.31. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля

(углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц.

Найти мгновенное значение вектора Е в момент времени, равный 0,1мкс.

Ответ:

2.32. Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в некоторой точке пространства задаются выражениями

,

Определить комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение.

Ответ:

Литература

1. Лялин К.С., Приходько Д.В. Электродинамика СВЧ. Ч.1. – М.: МИЭТ, 2009., стр. 9 – 28.

2. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. Сборник задач. – М. Высшая школа, 1981 г., глава 2.

3. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. - М.: Высшая школа, 1990, стр. 8 – 22.

Семинар № 3

Примеры решения типовых задач.

3.1. Плоская электромагнитная волна с частотой 10⁹ Гц распространяется в среде с параметрами .

Определить фазовую скорость, длину волны и коэффициент ослабления.

Решение. Учтем, что и разложим выражение (4.3) в степенной ряд. Ограничиваясь тремя первыми членами, получим

.

Таким образом, для диэлектриков с малыми потерями коэффициент фазы и коэффициент ослабления приближенно равны:

,

.

Используя соотношение (4.4), найдем фазовую скорость волны

.

Полученный результат показывает, что наличие потерь в среде приводит к изменению величины фазовой скорости. Для поправка составляет 0,125%, так что практически можно положить

По известной величине фазовой скорости найдем длину волны:

.

Подстановка исходных данных в полученную ранее формулу дает:

.

3.2. Вычислить фазовую скорость, коэффициент ослабления и глубину проникновения поля для плоской электромагнитной волны c частотой 10МГц, распространяющейся в металле с параметрами σ =5·10⁷ См/м, µ = 1.

Решение. В реальных металлах плотность токов проводимости значительно больше плотности токов смещения. Поэтому выражение (3.3) можно приближенно представить в виде

.

Коэффициент фазы и коэффициент ослабления в рассматриваемой среде численно равны друг другу:

.

По известной величине β можно вычислить фазовую скорость:

.

Под глубиной проникновения поля в металл и понимают расстояние, на котором его амплитуда уменьшается в е раз. Очевидно, что

3.3. Плоская электромагнитная волна с частотой 10⁹ Гц распространяется в среде с параметрами ε = 2,25, tgδ_э = 0,01, µ = 1. Амплитуда электрического поля в плоскости z = 0 равна 100 В/м.

Определить среднюю плотность потока мощности в плоскости z = 1 м.

Решение. Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны определяется выражением

.

Таким образом, необходимо вычислить коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление. Действуя так же, как в задаче 4.1, можно найти α. Подстановка исходных данных дает α = 0,162 м^-1.

При определении характеристического сопротивления для tgδ_э<< 1 можно использовать приближенное выражение для квадратного корня, входящего в формулу (3.10). Тогда

.

Следовательно,

,

или после необходимых вычислений П_ср(z = 1) = 14,38 Вт/м².

3.4. Доказать, что в средах без потерь фазовый фронт и плоскость равных амплитуд неоднородных плоских волн образуют между собой угол 90°.

Решение. В средах без потерь коэффициент распространения γ – действительная величина. Поэтому, если то уравнение для фазового фронта имеет вид

,

а уравнением для плоскости равных амплитуд будет

,

Косинус угла между двумя плоскостями

.

С помощью выражения (4.11) можно найти, что

,

и, следовательно, угол ψ действительно равен 90°.

3.5. Вывести формулу для определения коэффициента эллиптичности (отношение большой оси эллипса к малой) плоской электромагнитной волны, для которой в плоскости z = 0 поля имеют вид

.

Найти ориентацию осей эллипса по отношению к осям системы координат.

Решение. Перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям и введем новые переменные ξ и η:

 

Разложим косинусы суммы аргументов и решим эти два уравнения относительно соsω t и sinω t:

Возводя эти уравнения в квадрат и исключив переменную t, получим

,

где

.

В системе координат (ξ, η) это есть уравнение эллипса. Путем поворота осей на угол α, удовлетворяющий условию

,

преобразуем уравнение к каноническому виду

.

Используя [3], найдем полуоси эллипса

,

..

Теперь можно вычислить коэффициент эллиптичности как отношение а к b. В результате несложных преобразований получим

.

Ориентация осей эллипса по отношению к оси х исходной системы координат определяется углом α, отсчитываемым против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора 1 _z.

3.6. Некоторые вещества (например, водный раствор сахара) имеют различную скорость распространения для волн с левой и правой круговой поляризацией. Это приводит к повороту плоскости поляризации плоской волны с линейной поляризацией в процессе ее распространения. Такое свойство веществ называют оптической активностью.

Считая заданными значения фазовых скоростей для левой υ _л и правой υ _п круговой поляризации, вывести формулу, определяющую угол поворота плоскости поляризации волны на участке пути длиной h для электромагнитной волны с заданной частотой ω.

Решение. Линейно поляризованную волну, имеющую в плоскости z = 0 вид

,

можно представить как сумму двух волн с круговой поляризацией:

.

Волна с правой круговой поляризацией при распространении в направлении оси z будет описываться выражением

,

а с левой – выражением

.

В любой плоскости z ≠0 сумма этих волн будет представлять собой волну с линейной поляризацией. Координатные составляющие этой волны равны:

Суммарный вектор Е образует некоторый угол j с осью х координатной системы (х, у, z), который зависит от z. Тангенс этого угла

.

Таким образом, угол поворота плоскости поляризации на отрезке пути длиной L определяется из формулы

.

Обычно различие скоростей распространения υ _л и υ _п мало. Поэтому приближенно

,

где υ – среднее значение скорости; δυ – относительная разность скоростей распространения; λ = υ / f – длина волны в среде.

§ 3.3. Задачи для самостоятельного решения

3.7. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 30 МГц.

Определить расстояние, на котором фаза волны изменится на 270° и 2520°.

Ответ: 7,5 м и 70 м соответственно.

3.8. Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями ε = µ = 10, если частота волны 10 МГц.

Ответ: 3 м, 3·10⁷ м/с.

3.9. Характеристическое сопротивление среды равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость ε = 1.

Определить относительную магнитную проницаемость среды.

Ответ: 16.

3.10. В среде с параметрами ε = 4, µ = 1, σ = 0 распространяется плоская электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля которой в плоскости z = 0,

.

Определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если волна распространяется в направлении возрастания координаты z.

Ответ: А/м.

3.11. Используя данные задачи 4.10, найти зависимость от времени векторов напряженности электрического и магнитного полей в плоскости z= 1 см для электромагнитной волны с частотой 10 ГГц.

Ответ: В/м,

мА/м.

3.12. Определить характеристическое сопротивление металла с удельной электрической проводимостью 6⋅10⁷ См/м и относительной магнитной проницаемостью µ = 1 на частотах 10 кГц и 1 МГц.

Ответ: 25,6·10^-6 (1 – j) Ом, 25,6·10^-5 (1 – j) Ом.

3.13. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны в металле, с параметрами σ = 6⋅10⁷ См/м, µ = 1 на частотах 10 кГц и 1 МГц, если в заданной точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля А/м.

Ответ: В/м, В/м.

3.14. Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40°.

Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды.

Ответ: ε = 16/9 = 1,78, п = 4/3 = 1,33.

3.15. Некоторый диэлектрик на частоте 10 ГГц обладает параметрами:
ε = 3,8, µ = 1, tgδ_э=10^-4.

Определить длину волны, коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление такой среды.

Ответ: 1,54 см, 2,04·10^–2м^–1, 193ехр (j 0,5·10^–4) Ом.

3.16. Керамика титанат бария (ВаТi O₃) на частоте 10 ГГц имеет параметры: ε = 144, µ = 1, tgδ_э = 0.6.

Определить длину волны, коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление данной среды.

Ответ: 0.24 см, 758м^–1, 29 ехр (j 0,28) Ом.

3.17. Во сколько раз уменьшится амплитуда плоской электромагнитной волны с частотой 2 МГц при распространение в среде с параметрами
σ=10^–3См/м, ε = 2, µ = 1 на пути в 1 м?

Ответ: в 1,083 раза.

3.18. Вывести формулу для определения уменьшения амплитуды поля плоской электромагнитной волны на пути, равном длине волны в среде с потерями. Во сколько раз уменьшится амплитуда поля на указанном расстоянии в среде с параметрами ε = 2,µ = 1, σ = 10^–3 См/м на частоте 10 МГц?

Ответ: в 1,327 раза.

3.19. Определить длину волны в меди на частоте 1 МГц. Используя полученный результат, пояснить, почему при определении индуктивности катушки со средним диаметром 1 см, выполненной проводом диаметром 0,1мм, поле можно считать стационарным, в то время как для расчета добротности такой катушки необходимо учитывать волновой характер электромагнитного поля.

Ответ: 0,4189 мм.

3.20. Определить толщину медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 10⁴ раза на частотах 50 Гц и 50 МГц.

Ответ: 9,271 см, 29,374 мкм.

3.21. Определить толщину экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 10⁴ раза на частоте 50 Гц, если он выполнен из материала с σ =5·10⁷ См/м, µ = 900. Сравнить полученный результат с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: 3,09 мм.

3.22. Комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость аммиака (NН3) при давлении 1,33·10² Па вблизи частоты f0 =23866 МГц описывается выражением

.

Определить коэффициент ослабления волны в такой среде на частотах 23866 и 23866 ± 27 МГц.

Ответ: 0,05 и 0,025 м^-1 соответственно.

3.23. Зависимость коэффициента преломления п от температуры принято описывать температурным коэффициентом

.

Полагаяα _n = 4·10^–5 град^–1 и п = 1,5, определить изменение фазы плоской электромагнитной волны, прошедшей путь в 1 м, при изменении температуры на1 ° С на частоте 5·10¹⁴ Гц. Каково изменение фазы при тех же условиях на частоте 10 ГГц? Предложить способ технического использования этого эффекта.

Ответ: 200π, 0,004π.

3.24. Некоторые вещества, например монокристалл ниобата лития (LiNb O₃), изменяют свои диэлектрические свойства под действием электрического поля (электрооптический эффект), что позволяет создать фазовый модулятор в оптическом диапазоне. Если плоская электромагнитная волна проходит в такой среде путь, существенно меньший длины волны модулирующего электрического поля, то с достаточной степенью точности показатель преломления среды может быть описан функцией , где F – частота модуляции.

Определить индекс модуляции т и девиацию частоты ∆ω колебания, прошедшего в электрооптическом кристалле путь в 10см, если п =1,5, δ n =10^–5, F = 1 кГц, f = 5·10¹⁴ Гц. Какова была бы длина модулятора, обеспечивающего при тех же параметрах среды прежний индекс модуляции колебания с частотой 10 ГГц?

Ответ: т = 5π, ∆ω = 9,87·10⁴ с^{-1, l} = 100 м.

3.25. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, в плоскости z = 0, .

Определить вид поляризации, если j = 60°.

Ответ: поляризация эллиптическая с левым вращением вектора Е; большая ось эллипса образует угол 45° с осью х; .

3.26. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, в плоскости z = 0, .

Определить вид поляризации и коэффициент эллиптичности.

Ответ: поляризация эллиптическая с правым вращением вектора Е; большая ось эллипса совпадает с осью х; k_эл =2.

3.27. Две плоские электромагнитные волны с левой и правой круговой поляризацией в плоскости z =0 имеют векторы напряженности электрического поля:

Определить вид поляризации суммарного поля, если разность фаз .

Ответ: поляризация линейная, вектор Е образует угол 45° с осью х.

3.28. Монокристалл кварца обладает естественной оптической активностью, т. е. вращает плоскость поляризации волны при ее распространении вдоль определенной кристаллографической оси. Измерения, проведенные на длине волны λ₀= 0,6328 мкм, показали, что на пути в 1 мм плоскость поляризации волны поворачивается на 17,32 угл. град.

Определить относительную разность скоростей распространения волн с левой и правой круговой поляризацией в такой среде, полагая показатель преломления равным 1,5 (в среднем для обеих поляризаций).

Ответ: 4,06·10^–5.

3.29. В некоторых веществах молекулы представляют собой структуры в виде нитей, которые выстраиваются вдоль параллельных линий при формировании внутренней структуры вещества. В результате скорость распространения плоских электромагнитных волн с линейной поляризацией зависит от ориентации вектора электрического поли по отношению к этим линиям. Примером такой среды может служить слюда, которая обладает показателями преломления для двух взаимно перпендикулярных направлений вектора Е, равными 1,56 и 1,59.

Определить толщину слюдяной пластины, преобразующей линейную поляризацию в круговую для волны с частотой 5·10¹⁴ Гц.

Отлет: 5 мкм.

3.30. Показатель преломления среды – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале от 1 до 2. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц в плоскости z = 0 имеет амплитуду напряженности электрического поля 5 В/м и нулевую начальную фазу.

Определить среднее значение и дисперсию модуля вектора напряженности электрического поля в плоскости z = 1 м.

Ответ: 0; 12,5 B²/м².

3.31. Однородная плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Вектор Пойнтинга волны лежит в плоскости х, и образует угол j с осью z.

Найти расстояние вдоль оси z, на котором фаза волны изменится на 360°, если частота колебаний равна 100 МГц, а угол j = 60°.

Ответ: 6м.

3.32. Две однородные плоские электромагнитные волны о линейной поляризацией распространяются в вакууме так, что вектор Пойнтинга каждой из них лежит в плоскости х, z и образует с осью z углы j и 180°–j.

Определить закон изменения вектора напряженности суммарного электрического поля, если в точке начала координат комплексные амплитуды волн В/м. Определить расстояние вдоль оси z между пучностями электрического поля, если частота колебаний равна 100 МГц, а угол j = 60°.

Ответ: В/м;

расстояние между пучностями равно 3 м.

3.33. В вакууме распространяется неоднородная плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц. Плоскость равных амплитуд параллельна плоскости z = 0. Фазовый фронт движется вдоль оси х со скоростью 10⁸ м/с.

Определить напряженность поля в плоскости z = 0,1 м, если в плоскости
z = 0 она равна 1 В/м, а при z = ∞ обращается в нуль.

Ответ: 0,169 В/м.

3.34. В металле с удельной электрической проводимостью σ=5⋅10⁷См/м распространяется неоднородная плоская волна. Плоскость равных амплитуд параллельна плоскости z = 0. Фаза вдоль оси х изменяется по закону .

Определить направление движения фазового фронта, если µ_а=µ₀, λ₀=3см.

Ответ: под углом 15,37 угл. сек. к оси z.

3.35. В среде с параметрами ε = 2.25, µ = 1, σ = 0 р