Модель двумерного движения материальной точки

1. Задача. Материальная точка массой m движется в силовом поле F_x = F_x(x,y), F_y = F_y(x,y), при этом на нее действует сила вязкого трения с проекциями F_тx = - r v_x, F_тy = - r v_y, направленная противоположно скорости. Необходимо, зная начальные условия x₀, y₀, v_0x, v_0y, построить траекторию движения точки.

2. Теория. Примерами подобного движения являются движение точки, в однородном силовом поле, в центральном силовом поле сил притяжения или отталкивания, в центральном поле сил упругости и т.д. При этом могут быть учтены силы вязкого трения.

Проанализируем основные ситуации.

1. Движение в однородном поле. Во всех точках пространства вектор силы имеет постоянные проекции на оси координат. При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии -- по более сложной кривой.

2. Движение в центрально - симметричном поле, действующем по закону обратных квадратов. На точку с координатами x, y действует сила F = GmM/r², r² = x² + y² Ее проекции на оси координат:

F_x = - Fcosα = - Fx/r,

F_y = - Fsinα = - Fy/r.

В поле притяжения в зависимости от начальных координат и скоростей точка движется по гиперболе, параболе или эллипсу. В поле отталкивания траекторией движения точки является гипербола.

3. Движение в магнитном поле. Движение заряженной частицы в магнитном поле будет двумерным, если начальная скорость частицы перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. При этом со стороны поля действует сила Лоренца F = qvB, лежащая в плоскости экрана и направленная перпендикулярно вектору скорости. Введем угол β, который образует вектор скорости с осью x. Проекции силы Лоренца на координатные оси:

F_x = - Fsinβ = Fv_y /v,

F_y = - Fcosβ = - Fv_x /v.

Заряженная частица описывает окружность. При наличии тормозящей силы радиус окружности уменьшается.

4. Движение частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть силовые линии электрического поля лежат в плоскости экрана и направлены вверх, а силовые линии магнитного поля направлены к нам перпендикулярно вектору напряженности электрического поля.

Если заряд частицы положительный, то на него со стороны электрического поля действует постоянная сила, направленная вверх. Чтобы учесть ее влияние необходимо к вертикальной проекции силы Лоренца прибавить постоянное слагаемое qE:

F_x = Fv_y /v, F_y = qE - Fv_x /v.

Если начальная скорость частицы равна нулю, то траекторией ее движения является циклоида.

3. Алгоритм. Пусть в момент времени t материальная точка имеет координаты x, y и проекции скорости v_x, v_y. Запишем второй закон Ньютона в проекциях:

F_x(x,y) -r v_x = ma_x, F_y(x,y) -r v_y = ma_y.

Отсюда следует, что проекции ускорения точки в момент времени t + Δ t равны:

a_x (t + Δ t) = (F_x (t) - r v_x (t))/m, a_y (t + Δ t) = (F_y (t) - r v_y (t))/m.

Определив координаты и проекции скорости точки в момент времени t + Δ t, можно повторить процедуру вычисления требуемое количество раз и построить траекторию движения точки.

Построим алгоритм модели.

1. Задают массу материальной точки m, коэффициент вязкости r, начальные координаты x₀, y₀ и проекции скорости v_0x, v_0y, силовое поле F_x = F_x (x,y,z), F_y = F_y (x,y,z), а также шаг по времени Δ t.

2. Начало цикла по t. Дают приращение по времени: переменной t присваивают значение t + Δ t.

3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в следующий момент времени:

a_x (t + Δ t) = (F_x (t) - r v_x (t))/m,

a_y (t + Δ t) = (F_y (t) - r v_y (t))/m,

v_x (t + Δt) = v_x (t) + a_x (t + Δt)Δ t,

v_y (t + Δ t) = v_y (t) + a_y (t + Δ t)Δ t,

x(t + Δ t) = x(t) + v_x (t + Δ t)Δ t,

y(t + Δ t) = y(t) + v_y (t + Δ t)Δ t.

4. Результаты вычислений x(t + Δ t), y(t + Δ t) выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.

5. Возвращение к операции 2. Если цикл по t закончился, -- выход из цикла.

 

4. Компьютерная реализация. Предлагаемая компьютерная программа позволяет изучить движение материальной точки в различных силовых полях с учетом действующей на точку силы трения.

program PROGRAMMA3;uses crt, graph;var v, B, q, F, Fx, Fy: real; r, x, y, vx,vy,ax,ay: real; Gd, Gm, i: integer;const M=500; mm=100; dt=0.005; rr=0.1; k=2;Begin Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi'); if GraphResult <> grOk then Halt(1); line(320,240,640,240); line(320,240,320,0); circle(320,240,5); x:=100; y:=120; vx:=1; vy:=-2;Repeat begin{--Заданние силового поля--}(* Fy:=3; Fx:=0; *)(* Fx:=-k*x; Fy:=-k*y; *)(* r:=sqrt(x*x+y*y); F:=M*mm/(r*r); Fx:=-F*x/r; Fy:=-F*y/r; *) B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy); Fx:=F*vy/v; Fy:=-F*vx/v;(* B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy); Fx:=F*vy/v; Fy:=-0.5-F*vx/v; *){--Расчет скоростей и ускорений--}ax:=(Fx-rr*vx)/mm; ay:=(Fy-rr*vy)/mm;vx:=vx+ax*dt; vy:=vy+ay*dt; x:=x+vx*dt; y:=y+vy*dt;circle(round(x)+320,240-round(y),2); setcolor(12);circle(round(x)+320,240-round(y),1); setcolor(15);end;until KeyPressed;CloseGraph;END.