Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q -ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q -ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q ^-(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

 

Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q -ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде x_q = (a_na_n-1 ... a₀ , a_-1 a_-2... a_-m)_q сводится к вычислению значения многочлена

x₁₀ = a_n qⁿ + a_n-1 q^n-1 +... + a₀ q⁰ + a_-1 q ^-1 + a_-2 q^-2 +... + a_-m q^-m

средствами десятичной арифметики.

Примеpы:

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2. 81 + 5. 80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1. 161 + 5. 160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3. 81 + 1. 80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1. 161 + 9. 160 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25
311,2₈ = 3^. 8² + 18¹ + 1^. 8⁰ + 2^. 8^-1 = 201,25
C9,4₁₆ = 12^. 16¹ + 9^. 16⁰ + 4^. 16^-1 = 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆



Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.



Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2^. 8² + 1^. 8¹ + 5^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8^. 16¹ + D^. 16⁰ + 8^. 16^-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 38¹ + 68⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1^. 8⁴ + 3^. 8³ + 3^. 8² + 5^. 8¹ + 1^. 8⁰ = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈:163₈

Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6^. 8¹ + 3^. 8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈: 16₈

Ответ: 35: 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;
2,4₈ = 2^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 2,5.

 

 

Домашнее задание.

Часть 1. Задания с решениями

Задача 1. Сколько бит информации несёт сообщение о том, что из колоды в 32 карты достали «даму пик»?

Дано: N = 32, i -?

Решение: 2ⁱ = 32; i = 5 бит.

 

Задача 2. Сколько бит информации получено из сообщения «Вася живет на пятом этаже», если в доме 16 этажей?

Дано: N = 16, i -?

Решение: N = 2ⁱ, 16 = 2ⁱ, i = 4 бита

 

Задача 3. Какое количество информации в сообщении из 10 символов, записанном буквами из 32-символьного алфавита?

Дано: K = 10 симв., N = 32, I₀ -?

Решение: I₀ = K*I, N = 2^I, 32 = 2^I, I = 5 бит, значит I₀ = 10*5 = 50 бит.

 

Задача 4. Первое письмо состоит из 50 символов 32-символьного алфавита, а второе – из 40 символов 64 – символьного алфавита. Сравните объемы информации, содержащиеся в двух письмах.

Дано: К₁ = 50 симв., К₂ = 40 симв., N₁ = 32, N₂ = 64, I₁ -? I₂ -?

Решение: I₀ = K*I, N = 2^I,

Определим информационную емкость одного символа в каждом из писем:

2^I = 32, I = 5 бит – для первого письма, 2^I = 64, I = 6 бит – для второго письма. Определим количество информации в каждом из писем: 50*5 = 250 бит – для первого письма, 40*6 = 240 бит – для второго письма. Найдем разность между информационными объемами двух писем. 250 - 240 = 10 бит. Значит, объем информации, содержащейся в первом письме на 10 бит больше, чем объем информации, содержащейся во втором письме.

 

Задача 5. Статья, созданная с помощью ПК, содержит 30 страниц, на каждой странице - 40 строк, в каждой строке 50 символов. Какой объём информации содержит статья?

Решение: На каждой странице 50 • 40 = 2000 символов, таким образом во всей статье 2000 • 30 = 60000 символов. Т.к. вес каждого символа компьютерного алфавита равен 8 бит, следовательно, информационный объём всей статьи I = 60000*8 = 480000 бит = 60000 байт.

 

Задача 6. Сколько информации содержит сообщение о выпадении грани с числом 3 на шестигранном игральном кубике?

Дано: N = 6, I -?

Решение: N = 2^I, 2^I = 6, 22 < 6 < 23. I = 2,5 бит.

 

Задача 7. Для хранения текста требуется 84000 бит. Сколько страниц займёт этот текст, если на странице размещается 30 строк по 70 символов в строке?

Решение: 1 байт=8 бит. 84000/8=10500 символов в тексте. На странице помещается 30×70=2100 символов. 10500/2100=5 страниц.

 

Задача 8. В корзине лежат шары и все разного цвета. Сообщение о том, что достали синий шар, несёт 5 бит информации. Сколько всего шаров было в корзине?
Решение: Если все шары разного цвета, значит, ни один шар не совпадает по цвету с другими. Следовательно, шары можно доставать с равной долей вероятности. В этом случае применяется формула Хартли. I_синий = 5 бит; 5 = log₂32; 2^I = N; 2⁵ = 32.

Задача 9. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если его объём составил 1/16 часть мегабайта?

Решение: 1 Мб=1024 Кб. Значит, объём сообщения 1024/16=64 Кб. Информационный вес символа I_симв.=log₂16= 4 бит. Объём сообщения в битах - 64×1024×8=524 288 бит. Количество символов в сообщении 524288/4=131 072.

 

Часть 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Определите приблизительно информационный объём:

• а) Первой страницы учебника;
• б) всей книги;

2. Сколько бит необходимо, чтобы закодировать оценки: "неудовлетворительно", "удовлетворительно", "хорошо" и "отлично"?

3. Сколько различных символов, закодированных байтами, содержится в сообщении: 1101001100011100110100110001110001010111?

4. Сколько байт памяти необходимо, чтобы закодировать изображение на экране компьютерного монитора, который может отображать 1280 точек по горизонтали и 1024 точек по вертикали при 256 цветах?

5. Решите уравнение: 8^x (бит) = 32 (Кбайт).

6. В какой системе счисления справедливо следующее:

20 + 25 = 100;

7. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 10110112;

б) 5178;

в) 1F16;

8. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111012 и 11101112;

б) 378 и 758;

в) A16 и F16;

9. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

10. Вычтите:

а) 1112 из 101002;

б) 158 из 208;

в) 1А16 из 3116;

11. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;

 

Решения прислать на адрес

[email protected]

В строке Тема указать: МО_1гр_Иванов_ДЗ_1

(Ваш Факультет, нижнее подчеркивание, номер Вашей группы, нижнее подчеркивание, Ваша Фамилия, нижнее подчеркивание, Домашнее Задание, нижнее подчеркивание, номер занятия)

Если тема указана не по правилам, то письмо автоматически отправляется в спам и не проверяется!!!