Движение точки в центральном поле. Законы Кеплера.

Примером центральных полей являются: поле заряженного шара или точечного электрического заряда, гравитационное поле шара или материальной точки. При этом во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, пересекающихся в одной точке, неподвижной по отношению к какой либо инерциальной системе отсчета. Рассмотрим движение точки в центральном поле:

Рис.10

На расстоянии R (рис.10) на него действует сила . При перемещении тела на расстояние dR cовершается работа Знак «-» появился из-за противоположного направления силы и перемещения. Если тело перемещать от R₁ до R₂, то

. (49)

Из этой формулы видно, что работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т.е. силы тяготения являются консервативными, а поле тяготения – потенциальным. Работа совершаемая консервативными силами равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком «-», т.е.

(50)

Потенциальную энергию при принимают за 0, тогда Величина

называется потенциалом поля тяготения в данной точке. (51) φ – скалярная величина. Потенциал тела массой М в произвольной точке равен:

(52) отсюда следует, что эквипотенциальная поверхность вокруг точки массой М (или шара) является шаровой или сферической. Напряженность поля Через работу силы можно показать, что или

(53) или g=gradφ, т.е g направлено в сторону убывания потенциала, т.е. к тяготеющей массе. Космические скорости (для Земли):

- в направлении вращения Земли против Солнца.

Законы Кеплера:

1. Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус – вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

 

Лекция 5. 3.4. (1 час) Движение твердого тела. Динамика вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Момент инерции твердых тел разной формы. Теорема Штейнера. Главные оси инерции. Гироскопический эффект.* Кинетическая энергия вращающегося тела. Плоское движение твердого тела.

При описании вращательного движения твердых тел используется понятие момента инерции. Момент инерции тела – это мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и при поступательном движении. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(54)

В случае равномерного распределения масс эта сумма сводится к интегралу Интегрирование производится по всему телу. Величина r в этом случае есть положение точки в координатах x, y, z. Момент инерции есть величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Рис.11

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные концентрические кольца бесконечно малой толщины dr c внутренним радиусом r и внешним (r+dr). Момент инерции каждого кольца . Объем кольца то и тогда момент инерции сплошного цилиндра будет: , здесь , тогда (55)

Примеры моментов инерции тел:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

(56)

В любом теле существует три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела. Вращение вокруг этих осей является наиболее устойчивым.

Рис.12

Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 или 2 (см.рис. 12).

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Интересен гироскоп, вращающийся на кардановом подвесе. Благодаря этому ось гироскопа может принять любое положение в пространстве. Если такой гироскоп в виде дискообразного массивного тела привести во вращение с помощью намотанной на диск веревочки, а затем поворачивать его подставку в пространстве, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве. Гироскопический эффект: если на ось подействовать парой сил в одной плоскости, то повернется ось в перпендикулярной плоскости. Если сила кратковременная, то и поворот оси кратковременный. Если одна точка оси закреплена (например, волчок вращается на полу) тот ось начинает вращаться в поле силы тяжести Земли – прецессировать. Это явление носит название Ларморовая прецессия.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела выражается формулой:

(57) где - момент инерции, аналогичный при поступательном движении массы тела:

При плоском движении тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии (1) поступательного движения и энергии вращения (2):

(58) здесь первое слагаемое – (1), второе слагаемое – (2).

 

Лекция 6. 4. (2 – 3 часа) Колебательное движение. Уравнение свободных колебаний модельных систем (груз на пружине, математический и физический маятники. Применение модели гармонического осциллятора к колебаниям молекул.* Сложение колебаний. Затухающие колебания, их характеристики. Вынужденные колебания, явление резонанса. Понятие о колебаниях систем со многими степенями свободы. Нормальные колебания. Спектр колебаний, понятие о разложении Фурье.*

Колебательное движение. Колебательными называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др.

Колебательные процессы различной природы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Свободными (или собственными) называются колебания, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса (или косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, часто встречающиеся в природе и технике близки к гармоническим; 2) различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания описываются уравнением типа:

(59) где S –величина, совершающая гармонические колебания,

А – амплитуда колебаний,

- круговая (циклическая) частота,

аргумент косинуса - фаза колебаний, рад.

φ – начальная фаза,

где Т – период колебаний, с, - частота колебаний,

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

(60) решением этого уравнения является уравнение (59).

Механические гармонические колебания:

(61)

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

(62)

Потенциальная энергия:

(63)

Полная энергия:

(64) Полная энергия в процессе колебаний остается постоянной.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением: Колебания гармонического осциллятора являются важным примером гармонических колебаний и служат точкой или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой механики. Примерами гармонического осциллятора являются: пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур, а также колебания атомов и молекул в твердых телах, жидкостях и газах.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упруго пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k – жесткость пружины, , или . Решением этого уравнения является: Частота таких колебаний определяется: период Формула справедлива для упругих колебаний, в которых выполняется закон Гука. Максимальная потенциальная энергия

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс.

Рис.13

Вращающий момент М можно записать в виде:

(65)

Дифференциальное уравнение будет:

 

Решением этого уравнения является:

(66) здесь (67) (68) где - приведенная длина. Точка - центр качаний. Если маятник подвесить за эту точку, то период колебаний не изменится. Точки О и обладают свойством взаимозаменяемости.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m,подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити. Момент инерции период

. (69)

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.