М Е Х А Н И Ч Е С К А Я Р А Б О Т А И Э Н Е Р Г И Я

 

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Й М А Т Е Р И А Л

Элементарной работой силы F на перемещении d s называют скалярное произведение F на d s:

dA = (F d s).

В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, то работа

.

Работа, отнесенная к единице времени, называется мощностью:

.

Приращение кинетической энергии системы материальных точек равно работе всех сил, действующих на систему:

Е_к2 – Е_к1 = А.

Если работа сил не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела, то такие силы называют консервативными. Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Консервативной силой является, например, сила тяжести. Все остальные силы называют неконсервативными. К ним относятся, прежде всего, диссипативные силы, например, сила трения. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы:

Е_п1 – Е_п2 = А.

В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это положение называется законом сохранения энергии в механике:

Е_к + Е_п = const.

Если в системе действуют диссипативные силы, то механическая энергия системы уменьшается, переходит, например, во внутреннюю энергию. В этом случае выполняется всеобщий закон сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.

Связь между силой и потенциальной энергией частицы в поле:

F = -grad E_n.

 

 

Примеры решения задач

1. Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (см. рис.4.1). В результате нити отклонились на угол θ. Считая m«M, найти: a) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

 

Дано:

M, m, m«M, l, θ

_____________

v-? η=Q/E_к-?

 

Решение:

Импульс пули m v. После того, как пуля застряла в теле, тем же импульсом будет обладать тело вместе с пулей (т.к. удар абсолютно неупругий и выполняется закон сохранения импульса). Т.е. в проекции на ось x: mv = (M+m)v₁ = Mv₁ (т.к. m«M). Отсюда найдем скорость тела после соударения с пулей: v₁ = mv/M. После удара кинетическая энергия тела с пулей будет: . Затем тело начнет подниматься и кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную (на тело после удара действует только сила тяжести, она является консервативной). Т.е. . Отсюда найдем скорость пули перед попаданием в тело: .

Во время столкновения в системе действовали диссипативные силы (силы трения), поэтому часть механической энергии перешла в тепловую. Запишем всеобщий закон сохранения энергии в момент удара пули о тело: , где Q – тепловая энергия. Подставив значение v₁, получим: . Тогда .

Ответ: ; .

 

2. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v = 3 м/c, прошел до остановки расстояние s = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лед.

Дано: v = 3 м/c s = 20,4 м _____________ k-?

Решение:

Работа силы трения при скольжении камня по льду равна (см. рис.4.2):

,

где F_тр = kmg, т.е.

.

Работа силы тяжести и силы реакции опоры равна нулю. С другой стороны, работа равна приращению кинетической энергии камня:

.

Т.к. Е_к2 = 0, то

.

Приравнивая полученные выражения для работы, имеем

.

Подставив численные значения, получим k = 0,02.

 

СПИСОК ЗАДАЧ

4.1. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k = 0,15.

Ответ: A = -kmgl/(1-k∙ctgα) = -0,05 Дж.

 

4.2.Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости xy из точки 1 с радиус-вектором r ₁ = i +2 j в точку 2 с радиус-вектором r ₂ = 2 i- 3 j. При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых F = 3 i +4 j. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь r₁, r₂ и F - в СИ.

Ответ: A = F (r ₂ - r ₁) = -17 Дж.

 

	4.3.Тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 4.3). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения k. Ответ:A = mg(h+kl).
Рис.4.3

 

4.4. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v_O. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Ответ: ‹Р› = 0; P = mg(gt - v_Osina)

4.5. Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения - k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения.

Ответ: s = , A = -

 

4.6. Брусок массы m = 1,0 кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k = 0,27. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость v₀ = 1,50 м/c. Найти среднюю мощность силы трения за все время движения бруска.

Ответ: <P> = -kmgv₀/2 = -2,0 Вт.

 

4.7. Цепочка массы m = 0,80 кг, длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

Ответ: A = -(1-η)ηmgl/2 = -1,3 Дж.

 

4.8. Определить среднюю полезную мощность при выстреле из гладкоствольного ружья, если известно, что пуля массы m вылетает из ствола со скоростью v₀, а длина канала ствола l (давление пороховых газов считать постоянным во все время нахождения снаряда в канале ствола).

Ответ: P = mv₀³/4l.

 

4.9. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь, перекинута замкнутая тяжелая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезъяна массы m и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую мощность должна для этого развить обезъяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развить, равна P_max?

Ответ: P = (mg)²t/M; t = MP_max/(mg)².

 

4.10. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону , где α – постоянная, s – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

Ответ: A = mα⁴t²/8.

 

	4.11. Небольшая шайба A соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 4.4). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно? Ответ: h = H/2; sмакс = H.
Рис.4.4

 

4.12. На нити длины L подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент когда она будет проходить горизонтальное положение?

Ответ: ; T = 3mg.

 

4.13. Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2(ay-1)m g, где а- положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле силы тяжести Земли на первой половине пути подъема.

Ответ: A = 3mg/4a; ΔE_n = mg/2a.

 

4.14. Найти приращение кинетической энергии системы из двух шариков с массами m₁ и m₂ при их абсолютно неупругом соударении. До соударения скорости шариков были v ₁ и v ₂.

Ответ: ΔE_к = -μ(v₁ - v₂)²/2, где μ = m₁m₂/(m₁+m₂).

 

4.15. В результате упругого лобового столкновения частицы массой m₁ с покоившейся частицей обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу второй частицы.

Ответ: m₂ = 3m₁.

 

4.16. На Землю с очень большого расстояния падает метеорит массой m = 1 т. Найти кинетическую энергию метеорита на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли. Считать, что начальная скорость метеорита вдали от Земли равна нулю.

Ответ: T ≈ mgR/(1+h/R), где R – радиус Земли.

 

4.17. Навстречу друг другу летят два шара с массами m₁ и m₂. Между шарами происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия одного шара в 20 раз больше кинетической энергии другого. При каких условиях шары после удара будут двигаться в сторону движения шара, обладавшего меньшей энергией?

Ответ: При условии, что m₁/m₂ > 20, где m₁ – масса шара, имевшего меньшую энергию.

 

4.18. Два протона с энергией Е = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко могут они сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними?

Ответ: r = e²/2E = 1,4∙10^{-13 см, где е – заряд протона.}

 

4.19. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону E_к = αs², где α – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от s.

Ответ:

 

4.20. Определить потенциальную энергию сжатой пружины как функцию ее деформации, считая, что сила деформации пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорциональности β.

Ответ: E_n = βx⁴/4, где x – деформация пружины.