Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение 4

Кинематика 5

Динамика материальной точки 13

Закон сохранения импульса 17

Механическая работа и энергия 20

Моменты. Динамика твердого тела 26

Колебания 33

Литература 42

ВВЕДЕНИЕ

 

Механика является первым разделом, который изучается в курсе общей физики. Но законы механики используются во всех других разделах физики. Поэтому от того, как будет понята механика, зависит успех дальнейшего понимания физики. Единого способа решения задач по физике не существует, но можно выделить некоторые общие правила, которыми следует руководствоваться.

1. Прежде всего, внимательно прочитайте задачу и хорошо вникните в ее условие. Установите, что приведены все данные, необходимые для решения задачи. Недостающие данные можно найти в справочниках.

2. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте рисунок или график, поясняющий ее сущность. Это облегчает как поиск решения, так и само решение.

3. Задачу следует сначала решить в общем виде (т.е. в буквенных обозначениях), чтобы искомая величина была выражении через данные задачи. Во-первых, это позволит установить, как искомая величина зависит от заданных величин. Во-вторых, решение в общем виде позволит проверить размерность полученной величины. Неверная размерность есть явный признак ошибочного решения. В-третьих, это дает возможность исследовать поведение решения в предельных частных случаях.

4. Получив численный ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может обнаружить ошибочность полученного решения.

Не следует отчаиваться, если некоторые задачи не решаются сразу. Достоверно установлено, что процесс научного творчества протекает по следующей схеме: сначала идет подготовительная стадия, в ходе которой исследователь ищет решение проблемы. Если решение не удается найти, наступает вторая стадия – стадия инкубации. Ученый занимается другими вопросами, однако в подсознании происходит скрытая работа мысли, которая часто приводит в конечном итоге к третьей стадии – внезапному озарению и получению искомого решения. Но стадия инкубации не возникает сама собой. Для того чтобы пустить в ход бессознательное мышление, необходима интенсивная работа в ходе подготовительной стадии. Решение задач - это тоже вид творчества и подчиняется тем же закономерностям. Из сказанного следует, что не следует откладывать решение задач на последний день, в этом случае наиболее сложные и интересные задачи могут остаться нерешенными.

Каждый студент должен решить 10 задач, чтобы получить зачет по механике: по 2 задачи на «Кинематику», «Работу и энергию», «Моменты» и «Колебания» и по 1 задаче на «Динамику» и «Закон сохранения импульса». Номер варианта студент определяет по последней цифре своего номера в списке группы. Например, если в списке группы у студента номер 13, значит, его вариант – 3. Задачи, соответствующие этому варианту определяются аналогично. Т.е. третьему варианту будут соответствовать задачи 1.3, 1.13, 2.3, 3.3, 4.3, 4.13, 5.3, 5.13, 6.3, 6.13. Всего предусмотрено 10 различных вариантов задач. Желаю успеха!

К И Н Е М А Т И К А

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Простейшим объектом, движение которого изучает классическая механика, является материальная точка. Материальной точкой называется макроскопическое тело, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемом движении и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца можно принять за материальную точку.

Положение точки в какой-либо произвольной системе отсчета можно характеризовать либо ее радиус-вектором r, либо координатами x, y, z, являющимися проекциями радиус-вектора на координатные оси. Полное описание движения сводится поэтому к нахождению координат как функций времени x(t), y(t), z(t), или к нахождению векторной функции r(t).

Пусть в момент времени t материальная точка находилась в положении М с радиус-вектором r(t). Спустя время Δt она переместилась в положение М₁ с радиус-вектором r₁ = r (t+Δt) (см. рис.1.1). Тогда путь Δs – это длина участка траектории, пройденного за Δt. А вектор Δ r = r - r₁ – перемещение за Δt.

 

 

Величина < v> = Δ r/ Δ t называется средней скоростью движения за время Δt. Направление средней скорости совпадает с направлением хорды ММ₁, т.е. с Δ r.

Мгновенной скоростью называется предел средней скорости при Δt→0, т.е. . Мгновенная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движения. Модуль скорости , т.к. при Δt→0 путь Δs равен перемещению Δ r. Тогда путь, пройденный телом . При прямолинейном движении .

При криволинейном движении скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть в момент времени t материальная точка имела скорость v, а спустя промежуток времени Δt ее скорость изменилась и стала v_1. (см. рис. 1.2).

 

Величина называется средним ускорением за время Δt. Мгновенным ускорением a называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной радиуса-вектора r по времени:

.

Разложим вектор Δ v = v₁ - v на две составляющие: |СД| = |Δ v_τ | - представляет изменение скорости по модулю за время Δt. Вторая составляющая Δ v_n показывает изменение скорости по направлению. Тогда величина называется тангенциальной составляющей ускорения. Направлена a_τ по касательной к траектории. Величина (где r-радиус кривизны траектории) называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена к центру кривизны траектории и отвечает за изменение скорости только по направлению. Полное ускорение a = a_τ + a_n, а по модулю .

Если a_τ=0, a_n = const – скорость по модулю не изменяется, а изменение по направлению , то радиус кривизны траектории не изменяется и следовательно тело движется по окружности.

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводят угловую скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Пусть точка за время Δt прошла путь Δs, этому пути соответствует угол Δφ (рис. 1.3).

 

Тогда угловая скорость . Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если ω = const, то вращение называется равномерным и можно ввести период и частоту вращения. Период вращения – это время одного полного оборота: . Частота вращения - число оборотов в единицу времени. Тогда ω = 2π ν и ω в этом случае называют угловой частотой вращения.

Первая производная угловой скорости или вторая производная угла по времени называется угловым ускорением: . Связь между линейными и угловыми величинами: .

 

Пример решения задачи.

1.За промежуток времени τ = 10 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость <v>; б) модуль среднего вектора скорости |< v >|; в) модуль среднего вектора полного ускорения |< w >|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

 

 

Дано: t = 10 с R = 1,6 м wτ = const ---------------------- <v>; |<v>|; |<w>|
	Рис.1.4

 

Решение:

Поместим начало координат в точке 1 (рис.1.4).Тогда за время τ точка переместилась из положения 1 в положение 2 и вектор перемещения будет r₂₁ , а пройденный путь, т.е. длина траектории, равен половине длины окружности. По определению средней скорости , где в нашем случае Δs = πR, Δt = τ. Тогда , а численное значение <v> = 0,5 м/c.

Средний вектор скорости по определению , а его модуль . В нашем случае , и тогда . Численное значение |< v >| = 0,32 м/c.

Средний вектор полного ускорения , где Δ v = v ₂- v ₁ – приращение вектора скорости за время Δt, а его модуль . Из рисунка видно, что вектора v ₂ и v ₁ антиколлинеарны и | v ₂- v ₁| = v₂+v₁. Из условия задачи известно, что w_τ – постоянно, а, следовательно, скорость по модулю линейно зависит от времени, т.е. v(t) = v₁+ w_τt. При такой зависимости средняя скорость может быть определена как , откуда . Подставляя это уравнение в формулу для определения модуля среднего вектора ускорения, получим: . Подставив численные значения, получим .

2.Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением j = А+Вt³ (А = 2 рад, В = 4 рад/с³). Определить угол j, при котором полное ускорение составит с радиусом диска угол α = 45⁰.

 

Дано: R = 10 см = 0,1 м j = А+Вt3 А = 2 рад В = 4 рад/с3 α = 450 __________________ j -?

 

Решение:

Модуль полного ускорения , где нормальная составляющая a_n направлена вдоль радиуса диска, а тангенциальная составляющая a_t направлена по касательной к диску. Из рисунка 1.5 видно, что

.

Когда угол α = 45⁰, a_n = a_t и tgα = 1.

Найдем a_n и a_t. a_n = w²R, где w - угловая скорость: . Тогда

.

a_t = εR, где ε – угловое ускорение: . Следовательно,

.

Приравнивая a_n и a_t, найдем момент времени, когда угол между полным ускорением и радиусом диска будет равен 45⁰:

.

Подставив полученное значение в формулу зависимости угла поворота диска от времени, получим

.

Подставив численные значения, получим j = 3,67 рад.

 

 

СПИСОК ЗАДАЧ.

 

1.1. Точка прошла половину пути со скоростью v₀. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v₁, а последний участок - со скоростью v₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Ответ: = 2v₀(v₁+ v₂)/(2v₀+ v₁+ v₂).

 

1.2. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂. Их радиус-векторы в начальный момент равны r ₁ и r ₂. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?

Ответ: (r ₁ - r₂)/½r₁ - r₂½ = (v₂ - v₁)/½v₂ - v₁½.

 

1.3. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же - все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v₀ = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v₁ = 2,5 км/ч?

Ответ: u = v₀/(1 - v²₀/v₁² )^-1/2 - 1 = 3,0 км/ч.

 

1.4. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

Ответ: θ = arcsin (1/n)+p/2 = 120^O.

 

1.5. Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком (рис. 1.6). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения а_x, координаты х и пройденного пути s.

 

 

рис.1.6 рис.1.7

 

Ответ: см.рис. 1, 7.

 

1.6. Точка движется в плоскости xy по закону , где А и w - положительные постоянные. Найти:

а) путь s, пройденный точкой за время t;

б) угол между скоростью и ускорением точки.

Ответ: a) s = Awt; б) p/2.

 

1.7. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х, Ее скорость меняется со временем по закону v = v_o (1-t/t), где v_o- вектор начальной скорости, модуль которого v₀ = 10,0 см/с, t = 5,0 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии

10,0 см от начала координат;

Ответ: а) x = v₀t (1-t/2t); б) 1,1, 9 и 11 с.

 

1.8. Радиус точки A относительно начала координат меняется со временем t по закону r = сt i -bt² j, где с и b - положительные постоянные, i и j - орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x); изобразить ее график; б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения а и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла a между векторами v и а; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.

Ответ: a) y = -x²b/с²; б) v = с i -2bt j, а = -2b j, v = , а = 2b;

в) tg a = с/2bt; г) á v ñ = с i -bt j, ½á v ñ½ = .

 

1.9. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Ответ: Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

 

1.10. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Ответ: L = 8h sin .

 

1.11. Точка движется по окружности со скоростью v = bt, где b = 0,50 м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.

Ответ: a = b = 0,8 м/с².

 

1.12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол j его поворота зависит от времени как j = bt², где b = 0,20 рад/с². Найти полное ускорение a точки A на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки A в этот момент v = 0,65 м/с.

Ответ: a = (v/t) м/с².

 

1.13. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = bt, где b = 2,0 10^-2 рад/c³. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α = 60 ^O с ее вектором скорости?

Ответ: t =

 

1.14. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а = 6,0 рад/c, b = 2,0 рад/с. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а) <w> = 2а/3 = 4 рад/с, <ε> = = 6 рад/c²; б) = 12 рад/c.

 

1.15. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола L = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

Ответ: w = 2pnv/l = 2,0×10³ рад/с.

 

1.16. Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t = 2 c после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 60⁰ с вектором ее линейной скорости.

Ответ: рад/c.

 

1.17. Найти линейную скорость v точек земной поверхности на географической широте φ, вызванную суточным вращением Земли вокруг своей оси.

Ответ: v = 1670cos φ км/c.

 

1.18. Якорь электромотора, вращавшегося с частотой N оборотов в секунду, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав n оборотов. Найти угловое ускорение якоря после выключения тока.

Ответ: ε = πN²/n.

 

1.19. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен 60 см.

Ответ: n ≈ 9 об/c.

 

1.20. Разматывая веревку и вращая без скольжения вол ворота, ведро опускается в колодец с ускорением 1 м/c². С каким угловым ускорением вращается вал ворота? Как зависит от времени угол поворота вала? Радиус вала ворота равен 25 см.

Ответ: ε = 4 рад/c²; φ = 2t² рад.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

.

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения точки:

.

Третий закон Ньютона:

F₁₂ = - F₂₁,

где F₁₂ и F₂₁ – силы, с которыми рассматриваемые материальные точки действуют друг на друга.

 

 

Пример решения задачи.

В системе массы тел равны m_0, m_1, m_2, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m₁. Исследовать возможные случаи.

 

Дано:

m₀, m_1, m₂

F_тр = 0

_______________________

а₁-? Исследовать решение.

X

N0

 

Рeшение

Т.к. движение всех тел, имеющихся в задаче, поступательное, то каждое тело можно представить как материальную точку, и все силы, действующие на тело, привести к одной точке. Все тела системы движутся с разными ускорениями и для нахождения ускорения тела m₁ необходимо записать уравнения движения для каждого. Напомним, что блок, если его масса пренебрежимо мала, изменяет только направление силы.

В проекции на ось X уравнения движения будут иметь вид:

m₀a₀=T₀

m₁a₁=m₁g – T₁

m₂a₂=m₂g – T₂.

У нас три уравнения, а шесть неизвестных (a₀, a₁, a₂, T₁, T₂, T₀). Необходимо еще три уравнения.

В соответствии с выше сказанным относительно блока T₁=T₂. Далее T₀=T₁+T₂. Последнее уравнение получим, учитывая “связи”, а именно, что нить между телами m ₁ и m₂ не изменяет длины. В соответствии с принятыми на рисунке обозначениями имеем: X₂ - X_б + X₁ - X_б = L, где L – длина нити, а X₂, X₁, X_б, – координаты второго, первого тел и блока соответственно. Дифференцируя дважды это уравнение во времени, получим: а₁ + а₂=2а_б. Но ускорение блока равно ускорению тела m₀, т.е. а₁ + а₂=2а₀.

Теперь мы имеем полную систему из шести уравнений с шестью неизвестными, откуда определим а₁.

.

Исследуем возможные случаи.

1. m₁»m₂

,

т.е. в этом случае ускорение тела m₁ независимо от массы тела m₀ равно g и направлено вниз.

2. m₂» m₁

.

В этом случае ускорение тела m₁ может принимать разные значения, в зависимости от m₀:

а) при m₀ < 4m₁ a₁>0, т.е. направлено вниз и при 4m₁»m₀ равно g.

б) при m₀ = 4m₁ ускорение a₁=0.

в) при m₀ > 4m₁ ускорение тела m₁ отрицательно, т.е. направлено вверх и при m₀ » 4m₁ равно g.

 

 

СПИСОК ЗАДАЧ.

2.1. В установке (рис. 2.2) массы тел равны m_o, и m₂ и m₃, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение, с которым опускается тело m_o, и натяжение нити связывающей тела m₂ и m₃ , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.

Рис.2.2 Рис.2.3

Ответ: а = g (m₀ - k(m₂ + m₃))/(m₀+ m₂ + m₃), T = m₃g(1 + k)m₀/(m₀ + m₂ + m₃)

 

2.2. На наклонную плоскость, составляющую угол a с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис.2.3). Массы брусков равны m₁ и m₂, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками - соответственно k₁ и k₂, причем k₁ > k₂. Найти: а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения; б) минимальное значение угла a, при котором начнется скольжение.

Ответ: a) F = (k₁- k₂)m₁m₂g cos /(m₁+ m₂); б) tg _мин = (k₁m₁+ k₂m₂)/(m₁+ m₂).

 

2.3. Небольшое тело А начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,10 м (рис.2.4). Коэффициент трения между телом и поверхностью клина k = 0,140. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?

 

Рис. 2.4 Рис.2.5

Ответ: tg2a = -1/k, a = 49⁰; t_мин = 1,0 c.

 

2.4. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt, где b - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол a с горизонтом (рис. 2.5). Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Ответ: a) v = mg²cosa/2bsin²a; б) s = m²g³cos /6b²sin³a

 

2.5. Частица массы m в момент времени t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F ₀sinwt, где F ₀, w - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t.

Ответ:

 

2.6. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

Ответ:

 

2.7. Найти ускорения стержня A и клина B в установке (рис.2.6), если отношение массы клина к массе стержня равно h и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.

 

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Ответ: a_A = g/ (1 + h ctg²a), a_B = g/(tg a + hctg a).

 

2.8. Небольшое тело A начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол θ (рис.2.6), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.

Ответ: θ = arccos (2/3)» 48⁰, v = .

 

2.9. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса Dp тела за первые t секунд движения; б) модуль приращения импульса Dp тела за все время движения.

Ответ: a) Dp = m g t; б) ½ Dp ½= -2m (v ₀ g)/g.

 

2.10. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону F = b t, где b - постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы.

Ответ: s = b(t – t₀)³/(6m), где t₀ = kmg/b - момент времени, с которого начнется движение. При t t₀ путь s = 0.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

p =m v.

Для системы материальных точек справедливо уравнение

,

где p= – импульс всей системы, F _внешн – равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Отсюда изменение импульса системы

.

Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (например, для замкнутой системы), то d p /dt=0 или p =const – закон сохранения импульса.

Центром масс системы называется воображаемая точка, радиус-вектор которой равен

где m=m₁+m₂+….. – общая масса всей системы.

Уравнение движения центра масс системы:

.

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему – теорема о движении центра масс.

 

Пример решения задачи.

Плот массы M с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1 ^/ со скоростью v ^/(t) и останавливается (рис.3.1). Пренебрегая сопротивлением воды, найти: а) перемещение плота 1 относительно берега; б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.

 

Дано: M, m, l’, v’(t) _____________ L -? Fч-?

Решение:

Человек и плот образуют замкнутую систему (сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю). В замкнутой системе и следовательно, импульс ее сохраняется, т.е. , т.к. плот с человеком сначала покоился. Здесь p_ч и p_n - импульс человека и плота соответственно.

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с берегом, и запишем импульс системы при движении человека по плоту: m v_ч ’+M v =0, где v_ч ’- скорость человека относительно берега. v_ч ’= v ’+ v, где v – скорость плота относительно берега, v ’- скорость человека относительно плота. Тогда . Зная скорость плота относительно берега, найдем его перемещение: .

Теперь найдем силу, с которой действовал человек на плот: .

 

 

CПИСОК ЗАДАЧ

3.1. Система состоит из двух шариков с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент t = 0 шарикам сообщили начальные скорости v₁ и v_{2 ,} после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус - вектора ее центра инерции относительно его начального положения.

Ответ: p = p ₀ + m g t, где p ₀ = m v ₁+ m₂ v ₂, m = m₁ + m₂; r ₀ = v ₀t + g t²/2,

где v ₀ = (m₁ v ₁+ m₂ v ₂)/(m₁+ m₂).

 

3.2. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек - в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек v₁ и v₂, если масса каждой тележки (без человека) M, а масса каждого человека m.

Ответ: v ₁ = -m v /(M - m), v ₂ = M v /(M - m).

 

3.3. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

Ответ: v _задн = v ₀ - u m/(M + m); v _пер = v ₀ + u mM/(M + m)².

 

3.4. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Ответ: p = 2m /3=3,5 кг∙м/с.

 

3.5. Ствол пушки направлен под углом θ = 45⁰ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в η = 50 раз меньше массы пушки, v₀ = 180 м/c. Найти скорость пушки u сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

Ответ: u = v₀cos θ/(1+η) = 25 м/c.

 

3.6. Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом p в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

Ответ: t = (p соs a - M )/Mg sin a.

 

3.7. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость v и модуль v, если масса у частицы 2 в h = 2,0 раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны v ₁ = 2 i + 3 j и v ₂ = 4 i - 5 j, где компоненты скорости даны в СИ.

Ответ: v = (v ₁+h v ₂)/(1+h); v = 4 м/с.

 

3.8. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки: а)одновременно; б) друг за другом.

Ответ: v ₁ = -2m u /(M + 2m); v ₂ = -m u (2M + 3m)/(M + m)(M + 2m).

 

3.9. На носу лодки длиной L стоит человек, держа на высоте h ядро массы m. Масса лодки вместе с человеком равна М. Человек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы попасть в корму лодки? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Ответ: v = L/(1 + m/M)(2h/g)^1/2.

 

3.10. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m₁ и m₂. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы.

Ответ: a_c = g(m₁- m₂)²/m₁+ m₂)².

 

Примеры решения задач

1. Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (см. рис.4.1). В результате нити отклонились на угол θ. Считая m«M, найти: a) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

 

Дано:

M, m, m«M, l, θ

_____________

v-? η=Q/E_к-?

 

Решение:

Импульс пули m v. После того, как пуля застряла в теле, тем же импульсом будет обладать тело вместе с пулей (т.к. удар абсолютно неупругий и выполняется закон сохранения импульса). Т.е. в проекции на ось x: mv = (M+m)v₁ = Mv₁ (т.к. m«M). Отсюда найдем скорость тела после соударения с пулей: v₁ = mv/M. После удара кинетическая энергия тела с пулей будет: . Затем тело начнет подниматься и кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную (на тело после удара действует только сила тяжести, она является консервативной). Т.е. . Отсюда найдем скорость пули перед попаданием в тело: .

Во время столкновения в системе действовали диссипативные силы (силы трения), поэтому часть механической энергии перешла в тепловую. Запишем всеобщий закон сохранения энергии в момент удара пули о тело: , где Q – тепловая энергия. Подставив значение v₁, получим: . Тогда .

Ответ: ; .

 

2. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v = 3 м/c, прошел до остановки расстояние s = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лед.

<

Дано: