Элементарный объем породного массива

Основным в механике сплошного деформируемого тела является предположение о том, что рассматриваемая среда лишена структуры и обладает сплошностью с непрерывным распределением вещества, так называемый континуум. Эта гипотеза позволяет считать напряжения и деформации непрерывными и дифференцируемыми функциями координат точек тела. Предполагается также, что любые достаточно малые, т.н. элементарные, объемы рассматриваемой среды обладают одинаковыми физико-механическими свойствами. Применительно к механике горных пород таким гипотетическим сплошным и однородным телом является породный массив, вмещающий горные выработки.

Однако реальный породный массив, как природная система, обладает высокой степенью неупорядоченности, в которой в зависимости от размеров изучаемой области можно выделить (рис. 2.1) четыре масштабных уровня неоднородности [40, 41]: 1. Микроскопический: среда рассматривается на уровне кристаллов, размер элементов неоднородностей составляет 10^-8 – 10^-5 м; 2. Субмакроскопический: среда рассматривается на уровне элементарного объема литологической разности, размер элементов неоднородностей составляет 10^-5 – 10^-2 м; 3. Макроскопический: среда рассматривается на структурном уровне, размеры элементов неоднородностей составляют 10^-2 – 10¹ м;

4. Мегаскопический: среда рассматривается как сложноструктурное образование, обладающее текстурой и находящиеся под действием гравитационных и тектонических сил, размер элементов неоднородностей составляет более 1,0 м.

Первые два уровня изучает физика горных пород, а два последующих – это предмет исследований механики горных пород.

На макроскопическом уровне горные породы обладают внутренней неоднородностью. Они содержат поликристаллы минералов разной крепости, микротрещины, поры, включения и другие дефекты, приводящие к местной концентрации напряжений. Однако, поскольку этих микродефектов очень много, то в силу статистических законов в одних и тех же условиях относительные перемещения точек реального деформируемого тела (В и В ₁) будут практически совпадать с перемещениями соответствующих точек (А и А ₁) однородной модели (рис. 2.2). При этом, чем меньше размеры микродефектов и чем их больше, тем меньше погрешность, связанная с применением методов механики сплошной среды.

а) б)

Рис. 2.2. Однородная (а) и неоднородная (б) модели породной среды

Из сказанного выше следует, что элементарный объем породного массива должен быть достаточно малым, чтобы выполнялась исходная предпосылка о сплошности среды, и, в то же время, достаточно большим, чтобы он обладал всеми усредненными свойствами изучаемого объекта на субмакроскопическом уровне.

Такой элементарный объем называют физически малым. Его можно представить в виде куба, имеющего соответствующее число граней и ребер. Грань такого кубика образует элементарную площадку, а ребро – элементарную длину.

Задача о возможной величине погрешности, получаемой вследствие замены реальной неоднородной среды однородной сплошной моделью, была поставлена и решена проф. Ф.С. Ясинским в 1887 г. [42]. В результате ее решения было установлено, что величина возможной ошибки зависит от характерных размеров исследуемой области L и размеров ℓ слагающих ее элементарных частиц (объемов). Согласно теории Ф.С. Ясинского, среду можно считать идеальной (сплошной и однородной), если имеет место неравенство

(2.1)

где a – некоторое, достаточно большое число, выбранное с таким расчетом, чтобы при принятой степени точности величина а^-1 была значительно меньше единицы и ею можно было бы пренебречь.

Позднее, применительно к металлам, были поставлены специальные опыты, которые показали, что проволока из особой стали с ясно выраженной зернистой структурой имеет по длине вполне постоянные свойства, если количество зерен в ее поперечном сечении становится больше 30.

Другими опытами с металлами было установлено, что при измерении деформаций тензорезисторами с малой базой показания их становятся стабильными, если в пределах базы находится более 10 зерен структуры.

К.В. Руппенейт и Ю.М. Либерман [9], решая специально поставленную для этой цели статистическую задачу, определили, что с вероятностью 0,98 грань элементарного объема песчаника должна иметь размер около 29 мм и содержать не менее 8 зерен.

В настоящее время нередко используют классификацию осадочных пород по крупности зерна, предложенную ИГН АН СССР (табл. 2.1) [9]. В этой же таблице приведен ориентировочный размер элементарной площадки.

Размер L исследуемой области в задачах механики горных пород, как правило, на порядок больше размеров выработок и равен 40-50 м. Величина а^-1 для выработок, заложенных даже в такой неоднородной породе, как конгломерат, в соответствии с табл. 2.1 равна 0,012, в аргиллите – 0,005, что значительно меньше единицы, как того и требует теория Ф. С. Ясинского.

Таблица 2.1.

Размер элементарной площадки применительно к осадочным породам

Таким образом, при изучении механических явлений, протекающих в породном массиве вокруг выработок, вполне обоснованно можно применять соотношения механики сплошного деформируемого тела, основанные на гипотезе непрерывной однородной среды.

Переход от сумакроскопического уровня неоднородностей породного массива к макро- и мегаскопическому выполняется на основе учета масштабного эффекта (см. § 1.6).