Задачи с подробным пешением.

Задача 1. Через центр О параллелограмма ABCD проведена прямая l, пересекающая стороны ВС и AD параллелограмма соответственно в точках M и N. Докажите, что (рис.12)

М

N

С

Д

А

В

О

Решение (используя свойство геометрических преобразований):

Точка О – центр симметрии параллелограмма ABCD. Тогда Z₀(B)=D, Z₀(M)=N, т.к. N , следовательно, BM=DN.

рис. 12

Задача 2. Докажите, что центральная симметричность цилиндра равносильна центральной симметричности его основания (цилиндр общего вида).

Х'

У'

А'

Z

O

Х

А

У'

Х'

У'

А'

Z

O

Х

А

У'

Рис. 13

а)

б)

Решение. Пусть Z - цилиндр, имеющий центр симметрии – точку О, а Q и Q′ - его основания. Пусть Q лежит в плоскости α, а Q′ - в плоскости α′. Проведем через О прямую, параллельную образующим цилиндра. Она пересечёт плоскость α в точке А, а плоскость α ′ в точке А ′. Точка О является серединой отрезка АА′ (так как О - центр симметрии цилиндра). Покажем, что А – центр симметрии основания Q, а точка А′ - основания Q ′ (рис.13).

 

М'

М

 

 

 

 

Возьмём любую точку х Q, и пусть У′ - симметричная ей точка (относительно О). ясно, что У′ Q′. Точка У′ является одной из концов образующей УУ ′ цилиндра Z. Так как ХО=У′О и ОА УУ′, то ХА=АУ. Поэтому точка У симметрична точке Х относительно точки А.

Итак, А - центр симметрии основания Q. Точно так же А ′ - центр основания Q ′.

Пусть теперь, наоборот, дано, что Z имеет основание, симметричное относительно некоторой точки А. Тогда строим образующую АА′ и берём точку О - середину этого отрезка. Возьмём затем любую точку М Z и проведём через неё образующую ХХ′. Точка У, симметричная точке Х относительно точки А, будет точкой основания Q. Идущая из У образующая УУ′ цилиндра Z пересечет прямую ОМ в точке М′ Z, симметричной точке М относительно точки О. Итак, О - центр симметрии цилиндра Z.

За­да­ча 3. Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет от­ре­зок АВ?

Ре­ше­ние. От­ре­зок имеет две оси сим­мет­рии. Пер­вая из них – это пря­мая, содер­жа­щая от­ре­зок (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе отно­си­тель­но этой пря­мой). Вто­рая – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку, то есть пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная от­рез­ку и про­хо­дя­щая через его се­ре­ди­ну.

Задача 4. Двое игроков поочередно выкладывают на стол, имеющий

форму прямоугольника, пятикопеечные монеты. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. При какой стратегии первого игрока он всегда может выиграть?

Решение. Стол имеет форму прямоугольника. Как известно, прямоугольник имеет один центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей. Каждая точка прямоугольника принадлежит ему вместе со своим образом при центральной симметрии с центром в точке пересечения диагоналей. Этот факт и можно положить в основу решения данной задачи. Стратегия игры первого игрока будет выигрышной, если он положит первый пятак в центр стола, а остальные будет класть симметрично пятакам второго игрока относительно центра стола.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Какое преобразование плоскости (пространства) называется центральной симметрией?

2. Имеет ли центральная симметрия инвариантные прямые; инвариантные плоскости?

3. Вывести формулы, задающие центральную симметрию с центром в

точке M₀ (x₀, y₀, z₀) относительно прямоугольной декартовой системы координат Охуz в пространстве.

4. В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при центральной симметрии? Обоснуйте свой ответ.

5. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа при

центральной симметрии? Ответ обосновать.

6. Что может служить образом середины отрезка при центральной симметрии?

7. Доказать, что при центральной симметрии сохраняется простое отношение трех точек.

8. В какую фигуру при центральной симметрии преобразуется отрезок;

луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.

9. Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе

при центральной симметрии?

10. Сколько инвариантных точек имеет центральная симметрия?

11. Доказать, что если произвольную точку М плоскости отразить

симметрично относительно вершин параллелограмма АВСD, а затем еще раз

отразить симметрично относительно этих же вершин, то точка М вернется на

прежнее место. [6]

12. В параллелограмме ABCD точка О является точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник, образованный точками

пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС, С ОD, DOА, есть параллелограмм. [10]

13. Окружность с центром в точке О пересечения медиан правильного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А₁ и А₂, С₁ и С₂, В₁ и В₂ таких, что АС₁=С₁С₂=С₂В=ВА₁=А₁А₂=А₂С=АВ₂=В₂В₁=В₁С. Доказать, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки А₁, В₁, С₁ не проходят через одну точку, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через точки А₂, В₂, С₂, тоже не проходят через одну точку.

14. Двое игроков поочередно выкладывают на стол, имеющий

форму прямоугольника, пятикопеечные монеты. Монету разрешается класть

только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. При какой стратегии первого игрока он всегда может выиграть?[8]

15. Докажите, что четырехугольник, образованный точками, симметричными какой-нибудь точке М относительно середин сторон параллелограмма ABCD, также является параллелограммом.

16. На плоскости даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Построить образы точек А и В при центральной симметрии с

центром в точке О.

17. Постройте угол, симметричный данному при центральной симметрии, с

центром в точке О, если:

а) О совпадает с вершиной угла;

б) принадлежит стороне угла;

в) лежит внутри угла;

г) является внешней точкой угла. [4]

18. Постройте образ квадрата при центральной симметрии с центром в середине одной из сторон этого квадрата.

19. Известно, что отрезок A`B` является образом отрезка АВ при центральной симметрии. Построить центр симметрии данных отрезков и образ точки М, не лежащей на прямых, содержащих данные отрезки.

20. На плоскости дан треугольник АВС и точка О вне его. Построить образ

треугольника АВС при центральной симметрии с центром в точке О. [5]

21. На плоскости дана окружность и точка О вне ее. Построить образ окружности при центральной симметрии с центром в точке О.

22. Найдите центр симметрии, переводящей точку М (1, 2, –4) в точку

M `(3, 4, –6).

23. Точка В (2, 6, –8) является образом точки А при центральной симметрии

с центром в точке О (1, 0, 1). Найдите координаты точки А.

24. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (4, 0, 5),

В (–1,4, –2), С (5, 3, 0). Найти координаты образа центра тяжести треугольника АВС при центральной симметрии с центром в точке М (0, 0, 2).

25. Даны вершины треугольника АВС: А (4, 1, –2), В (2, 0, 0), С (–2, 3, –5). Найти уравнение образа стороны АВ при центральной симметрии с центром в точке пересечения серединных перпендикуляров.

26. Доказать, что если два равных отрезка параллельны, то существует

точка О, относительно которой они симметричны.

27. Доказать, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного в окружность четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

28. Бивис и Батхед поочередно выкладывают на круглый стол пятаки.

Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто

не может сделать очередной ход. При какой стратегии игры первый игрок всегда может выиграть?

29. В треугольнике АВС проведены медианы АК и СЕ. Доказать, что если

САК = АСЕ = 30°, то треугольник АВС – равносторонний.

30. В треугольнике АВС проведены медианы АК и СЕ. Доказать, что если

ВАК = ВСЕ = 30°, то треугольник АВС – равносторонний.

31. Доказать, что если произвольную окружность отразить симметрично

относительно вершин треугольника АВС, а затем еще раз отразить симметрично относительно этих же вершин, то точка она останется на прежнем месте.

32. Доказать, что если произвольный треугольник отразить симметрично

относительно вершин правильного шестиугольника АВСDEF, а затем еще раз

отразить симметрично относительно этих же вершин, то он останется на прежнем месте.

33. Доказать, что если выпуклый многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то этот многоугольник имеет центр симметрии.

34. В выпуклом многоугольнике для каждой стороны имеется равная и

параллельная ей сторона. Доказать, что этот многоугольник имеет ось симметрии.

35. Две правильные треугольные пирамиды таковы, что одна из них получена из другой симметрией относительно середины высоты. Вычислить объем общей части этих пирамид, если сторона основания пирамиды равна a, а высота в два раза больше ее.