Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-27 | 606 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 30
Если (АВ, СD)= –1, то пара точек А, В гармонически разделяетпару точек С, D или, еще говорят, гармонически сопряжена с парой точек С, D.
(АВ, СD)= –1 (8.6)
Свойство гармонически разделенных пар:
(АВ, СD)=(ВА, СD)=(АВ, DС)=(СD, АВ)=–1.
Полный четырехвершинник
Определение 31
Фигура, состоящая из четырех точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой (общего положения), и шести прямых, соединяющих попарно эти точки, называется полным четырёхвершинником.
Вершины – A, B, C, D.
Стороны – АВ, ВС, АD, АС, CD, BD.
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными.
Стороны АВ и CD – противоположные, ВС и АD – противоположные, АС и ВD – противоположные.
Точки пересечения противоположных сторон
называются диагональными точками
четырёхвершинника.
Точки P,Q,R – диагональные.
Прямые PQ, PR, QR – диагонали.
Диагональные точки четырехвершинника не лежат на одной прямой.
Рассмотрим проективный .
Прямая АС имеет в репере уравнение:
или у =0.
Прямая ВD имеет уравнение х=z.
Тогда P (1:0:1) ,Q (0:1:1) ,R (1:0:1).
Теорема 8
На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку
Например,
На диагонали полного четырехвершинника диагональные точки Q и R гармонически разделяют две точки К и М, в которых эта диагональ пересекает стороны AD и ВС, проходящие через третью диагональную точку Р.
(QR, КМ) = –1.
Следствие 1.
Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.
|
Две вершины А и В, лежащие на стороне полного четырехвершинника АВ, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки Q и точки N, в которой эта сторона пересекает диагональ РR, проходящую через две другие диагональные точки
(АВ, QN) = –1
Следствие 2.
Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих
сторон.
Две противоположные стороны АВ и DC полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали QR и QP, проходящие через точку Q пересечения этих сторон.
Определение 32
Пару точек К и М произвольной прямой называют гармонически сопряжённой с парой точек Q и R той же прямой, если Q и R – диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки К и М – точки пересечения этой прямой QR с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника AD и ВС, проходящими через третью диагональную точку Р.
Построение четвертой гармонической
По трем точкам
Дано: точки P,Q,М Î l
Построить: точку Х / (PQ,MX)=–1.
Решение.
Строим полный четырехвершинник с диагональными точками P и Q.
Дано: | |
Строим прямую р Э Р (р≠l) | |
Отмечаем две вершины – точки А и В | |
Проводим прямые QA (сторона), QB (сторона), MA | |
Отмечаем точку С = QB Ç МА | |
Строим прямую РС | |
Отмечаем точку D = РС Ç АQ | |
Четырехвершинник ABCD | |
Проводим сторону BD Полный четырехвершинник ABCD | |
Отмечаем точку X=BD Ç PQ |
Здесь: точки Р и Q – диагональные точки, точка М – точка пересечения диагонали PQ со стороной, проходящей через третью диагональную точку R:
Примечания.
1. Понятие, двойственное полному четырехвершиннику, – полный четырехсторонник – фигура, состоящая из четырех прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку) и шести точек их пересечения.
|
2. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.
Теорема 9
Пусть даны ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q – пересечениями противоположных сторон AB, CD и A 1 B 1, C 1 D 1; AC, BD и A 1 C 1, B 1 D 1. Тогда, если стороны BC и B 1 C 1 четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то стороны AD и A 1 D 1 пересекаются в точке T этой же прямой.
Если пара точек P и Q гармонически сопряжена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S и T гармонически сопряжена с P и Q.
Пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной разделенности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии), т.e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P 1, Q 1 и S 1, T 1.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!