Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-11-27 | 1452 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок порядка n с k циклами.
Определение
Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:
где (x) n — символ Похгаммера (убывающий факториал):
Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.
Рекуррентное соотношение
Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:
s (n, n) = 1, для n ≥ 0,
s (n,0) = 0, для n > 0,
для 0 < k < n.
Доказательство.
Для n =1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n -1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки — различные и содержат k циклов, их количество (n -1)· s (n -1, k). Из любой перестановки (n -1)-го порядка, содержащей k -1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n -го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.
Пример
Первые ряды:
n\k | |||||||
−1 | |||||||
−3 | |||||||
−6 | −6 | ||||||
−50 | −10 | ||||||
−120 | −225 | −15 | |||||
В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым или , называется количество неупорядоченных разбиений n -элементного множества на k непустых подмножеств.
|
Рекуррентная формула
Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению:
, для n ≥ 0,
, для n > 0,
для
Явная формула
Пример
Начальные значения чисел Стирлинга второго рода приведены в таблице:
n\k | |||||||
Свойства
Биективным отображением называется отображение, обладающее признаками инъективности и сюръективности одновременно.
Биекция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 февраля 2012; проверки требуют 2 правки.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 февраля 2012; проверки требуют 2 правки.
Перейти к: навигация, поиск
Биективная функция.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).
|
Определение
Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:
Примеры
Свойства
Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
и
Применения
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицамиреляционной БД на основе первичных ключей.
Числа Каталана
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ЧислаКатала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.
Первые несколько чисел Каталана:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)
Содержание |
Определения
n -е число Каталана можно определить одним из следующих способов:
Например, для n =3 существует 5 таких последовательностей:
((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())
то есть .
Свойства
|
и для
Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w =(w 1) w 2, где w 1, w 2 — правильные скобочные последовательности.
Другими словами, число Каталана равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.
Чтобы не ограничиваться одной только ссылкой, напишу приведенный в "Конкретной математике" вывод формулы для чисел Каталана. Красивое и очень простое рассуждение.
Определение (одно из многих). Числом Каталана Cn называется количество последовательностей длины (2n+1) a0, a1,..., a2n, составленных из +1 и -1, таких что сумма чисел равна +1, а все частичные суммы
a0, a0+a1,..., a0+...+a2n
положительны.
Лемма Рени. Если x1, x2,..., xm - любая последовательность целых чисел, сумма которых равна +1, то ровно у одного из её циклических сдвигов
x1, x2,..., xm
x2,..., xm, x1
xm, x1,..., xm-1
частичные суммы все положительны.
Доказательство. Продолжим последовательность периодически до бесконечной последовательности: xm+k=xk, для всех k>0. Если для этой бесконечной последовательности нарисовать график частичных сумм sn=x1+...+xn, то он будет иметь "средний наклон" 1/m, поскольку sn+m=sn+1. Весь график может быть заключён между двумя прямыми наклона 1/m. Эти прямые касаются графика ровно один раз на каждом периоде из m точек, поскольку прямые с наклоном 1/m могут проходить через точки с целыми координатами только один раз на m единиц. Единственная нижняя точка касания-- это то единственное место в цикле, начиная с которого все частные суммы будут положительны.
Подсчёт последовательностей из +1 и -1 с общей суммой +1.
Всего есть C2n+1n последовательностей, содержащих n элементов -1 и (n+1) элементов +1. Построим все C2n+1n последовательностей и все (2n+1) их циклических сдвигов в виде таблицы из C2n+1n строк и (2n+1) столбцов. Очевидно, что каждая последовательность встречается в таблице (2n+1) раз, по одному разу в каждом столбце. По лемме Рени в каждой строке содержится ровно одна последовательность с положительными частичными суммами. Таким образом, всего в таблице искомые последовательности встречается C2n+1n раз. Каждая встречается (2n+1) раз. Следовательно
Cn = C2n+1n/(2n+1) = C2nn/(n+1).
|
28) Биномиальный коэффициент
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложениибинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается (иногда ) и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):
В комбинаторике биномиальный коэффициент интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n -элементном множестве.
Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.
Явные формулы
Значение биномиального коэффициента определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы для вычисления биномиальных коэффициентов:
для
для или
для
где обозначает факториал числа m.
Треугольник Паскаля
Тождество
позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:
Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).
Строки в треугольнике Паскаля в пределе стремятся к функции нормального распределения.
Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника и повернув квадрат на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц по модулю равен 1 при любом N. Если поставить уголом из 1 в верхний левый угол, то детерминант матрицы будет равен 1.
В матрице числа на диагонали i+j = const повторяют числа строк треугольника Паскаля. (i,j = 0...∞)
Матрицу где i, j = 0…p можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц. Первая нижнетреугольная, а вторая получается из первой путем транcпонирования. Элементы такой матрицы
где i,j = 0...p Далее обратная матрица к U
таким образом можно разложить обратную матрицу к в произведение двух строго диагональных матриц и дать явное выражение для обратных элементов. Первая верхнетреугольная, а вторая получается из первой путем транспонирования.
i,j,m,n = 0...p, если выражение в кваратных скобках ложно, то элемент суммы равен 0. Элементы обратной матрицы меняются при изменение её размера и в отличие от матрицы недостаточно приписать новую строку и столбец.
|
Свойства
Производящие функции
Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:
Для фиксированного значения k производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:
Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов является:
Делимость
Из теоремы Люка следует, что:
Тождества
Асимптотика и оценки
где
Алгоритмы вычисления
Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значения при . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном . Алгоритм требует памяти ( при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).
При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле с начальным значением . Для вычисления значения этот метод требует памяти и времени.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!