Проверка основного закона динамики

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

 

Цель работы: проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: установка лабораторная «Маятник Обербека», электронный блок ФМ 1/1, наборные грузы (разновесы).

 

Краткая теория

Маятник Обербека предназначен для изучения основного закона динамики вращательного движения твердого тела и экспериментального определения моментов инерции системы тел.

Маятник, используемый в данной работе, представляет собой маховик с двухступенчатым шкивом, осью вращения, подшипниковой системой и крестовиной из четырех металлических стержней. На стержнях закрепляются четыре цилиндра одинаковой массы на одинаковом расстоянии от оси вращения (маятник с подвешенным к нему на нити грузом условно изображен на рисунке 1).

Вращение такого маятника относительно оси , проходящей через центр тяжести, может быть описано основным законом динамики вращательного движения твердого тела с постоянным во времени моментом инерции:

 

, (1)

 

где - результирующий момент сил, вызывающих вращение тела, относительно оси , – момент инерции твердого тела, – проекция вектора углового ускорения на ось вращения .

Вращение маятника вызывается силой натяжения нити , приложенной к шкиву. Силы трения можно считать пренебрежимо малыми и не учитывать создаваемый ими тормозящий момент. Тогда результирующий момент сил равен моменту силы натяжения .

Момент силы относительно центра маятника (точка О) определяется выражением:

 

.

 

Вектор направлен от нас вдоль оси вращения (см. рис. 1).

Направим ось вдоль вектора . Тогда момент силы относительно этой оси совпадет с модулем момента силы относительно центра маятника:

 

, (2)

 

где - радиус шкива, на который наматывается нить.

Если к маятнику подвесить на нити груз массой и отпустить, то маятник начнет вращаться с угловым ускорением . При этом направление вектора углового ускорения маятника будет совпадать с направлением вектора .

Тогда

. (3)

 

Формула (3) позволяет по двум известным величинам определить третью.

Выведем формулы, дающие возможность экспериментально определить и .

По третьему закону Ньютона

,

где - сила натяжения нити, действующая на груз. Найдем эту силу, исходя из второго закона Ньютона, записанного для груза массы :

.

В проекциях на ось

.

Подстановка (учитывая равенство ) полученного выражения в (2) дает

, (4)

 

где – линейное ускорение груза.

При запуске установки груз начинает двигаться из состояния покоя. Если с начальным положением груза связать начало координат оси , то за время груз пройдет расстояние , равное

,

отсюда

_. (5)

Подставляя (5) в (4), получаем для момента силы выражение

 

. (6)

Если нет проскальзывания нити, то линейное ускорение груза является тангенциальным для точек на ободе шкива. В этом случае угловое ускорение маятника может быть выражено через линейное ускорение груза:

.

Тогда при учете (5)

. (7)

 

Проверка основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека состоит из двух частей.

 

 

I. Проверка прямой пропорциональности углового ускорения маятника результирующему моменту приложенных сил

 

Если при постоянном моменте инерции маятника изменить массу подвешиваемого к нему груза, то согласно формуле (6), изменится и вращательный момент, действующий на маятник.

В соответствии с основным законом динамики вращательного движения (3) изменение момента силы при приведет к изменению углового ускорения маятника:

, (8)

. (9)

 

Следовательно, меняя момент сил, можно проверить соотношение:

 

. (10)

 

Основной закон динамики вращательного движения (3) позволяет по известным значениям момента силы и углового ускорения определить момент инерции маятника. При этом для повышения точности в качестве момента инерции маятника целесообразно взять его среднее значение:

 

 

, (11)

 

где

, (12)

. (13)

 

II. Проверка обратной пропорциональности углового ускорения маятника

моменту его инерции

Если при постоянном моменте силы изменить момент инерции маятника, то в соответствии с формулой (3) изменится его угловое ускорение:

 

.

Следовательно, если взять в качестве величину , то должно выполняться соотношение

. (14)

Момент инерции маятника в работе можно изменить путем симметричного перемещения цилиндров вдоль стержней. Тогда

 

, (15)

 

где - момент инерции маятника в случае, когда расстояние от центра каждого цилиндра до оси вращения равно , - средний момент инерции маятника при первоначальном расстоянии между центрами цилиндров и осью маятника, - масса одного цилиндра.

Примечание: Изменение углового ускорения тел при изменении положения цилиндров на стержнях скажется на значении момента силы. Однако его изменение, как показывает расчет, не превышает погрешности измерения, поэтому можно считать, что момент силы остается постоянным.

 

Описание установки.

 

Установка представлена на рисунке 2.

 

 

Рис. 2

 

Установка включает: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний кронштейн 3, средний кронштейн 4, кронштейн 5 для установки фотодатчика, фотодатчик 6. Основание 1 снабжено тремя регулируемыми опорами 7 и зажимом 8 для фиксации стойки.

Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала. По стойке может перемещаться визир 19.

На верхнем кронштейне 3 размещается узел подшипников 9 с малоинерционным шкивом 10 для изменения направления движения капроновой нити 11, на которой подвешен груз 12.

На среднем кронштейне 4 размещены: узел подшипников 13, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 14, на котором имеется приспособление для закрепления капроновой нити 11, а с другой стороны находится крестовина, представляющая собой четыре металлических стержня 15, закрепленных в бобышке 16 под прямым углом друг к другу; электромагнитный тормоз 17.

На металлических стержнях 15 через каждые 10 мм нанесены риски.

Грузы 18 закреплены на металлических стержнях 15 и могут свободно перемещаться и фиксироваться на каждом стержне, что дает возможность ступенчатого изменения момента инерции крестовины.

Электромагнитный тормоз 17 предназначен для фиксации подвижной системы в начале эксперимента, выдачи электрического сигнала начала отчета времени и торможения подвижной системы после завершения отчета времени.

Кронштейн 5 имеет зажим для крепления на вертикальной стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика.

Установка работает от электронного блока ФМ 1/1.

Порядок выполнения работы

Ознакомиться с устройством лабораторной установки.

Внимание! Перед началом работы необходимо убедиться в том, что установка заземлена. При выполнении задания следует надежно закреплять все передвижные части установки при помощи винтов.

Во избежание выхода из строя установки подключение к ней блока питания следует производить строго в соответствии с последующим описанием!

 

 

I. Проверка основного закона динамики вращательного движения

твердого тела при

 

1. Убедиться, что электропитание установки отключено!

2. Установить цилиндры на стержнях крестовины на одинаковом расстоянии от оси крестовины до центра каждого цилиндра. Проверить, будет ли вращаться маятник при установленном значении Значение записать в табл. 1.

3. По заданию преподавателя выбрать один из радиусов двухступенчатого шкива, записать значение в табл. 1 и в дальнейшем не менять. Радиус меньшего шкива – = 20,0 мм, большего – = 35,0 мм. Прикрепить за узел нить к шкиву выбранного радиуса, перекинуть через верхний шкив и с другой стороны нити подвесить наборный груз. Массу груза набрать произвольно при помощи разновесов, ее значение занести в табл.1.

4. Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части шкалы вертикальной стойки так, чтобы плоскость кронштейна, окрашенная в красный цвет, совпала с одной из рисок шкалы, а наборный груз при движении вниз проходил по центру рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение груза берется отметка шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика и являющаяся как бы продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущийся груз.

5. Установить визир вертикальной стойки в верхней ее части так, чтобы его верх совпал с одной из рисок стойки. Определить расстояние между этой риской и нижним положением груза (оптической осью фотодатчика - см. пункт 4).). Значение пути , который будет проходить груз при движении, занести в табл.1 и в дальнейшем не изменять.

6. Аккуратно вращая маятник, установить груз таким образом, чтобы нижняя плоскость груза совпала с заданным положением визира вертикальной стойки. Зафиксировать груз в этом положении, для чего на задней панели электронного блока ФМ 1/1 нажать переключатель питания сети. При этом должен сработать фрикцион электромагнитного тормоза. При необходимости нажать кнопку «Сброс». На табло таймера блока питания может загореться значение 2 с, что не влияет на дальнейшие результаты.

7. Убрать визир в сторону от направления движения груза. Нажать кнопку «Пуск» блока. Произойдет растормаживание электромагнитного тормоза, груз начнет опускаться, и таймер блока зафиксирует время движения груза на пути .

8. Записать время движения груза в секундах в табл. 1 (таймер отсчитывает время в миллисекундах).

9. Внимание! Отключить питание электронного блока выключателем на задней панели.

10. Повторить пункты « 6» -« 9» еще два раза.

11. Вычислить среднее время падения груза для трех измерений.

12. По формулам (7), (6), (12) рассчитать для груза значения , , . Результаты занести в табл. 1.

13. Изменить массу груза на нити, записать ее в таблицу и выполнить действия, описанные в пунктах «6» – «11». По формулам (7), (6). (13) для этого груза массой рассчитать , , . Результаты занести в табл. 1.

14. Проверить справедливость соотношения (10), сделать вывод.

15. Вычислить среднее значение момента инерции маятника по формуле (11).

 

Таблица 1

 

r

m

R1

h

t

<t>

ε

M

Ед. изм.

м

кг

м

м

с

с

рад/c2

Н·м

кг·м2

кг·м2

 

II. Проверка основного закона динамики вращательного движения

твердого тела при M = const

1. Убедиться, что электропитание установки отключено!

2. Изменить положение цилиндров на стержнях крестовины, закрепив их на одинаковом расстоянии от оси крестовины до центра каждого цилиндра так, чтобы было возможно вращение маятника. Значение R ₂ записать в табл. 2.

3. Записать в табл. 2 массу одного цилиндра (масса указана на торце цилиндра).

4. Оставить на нити наборный груз массы m ₂ и, повторяя пункты «6»-«9» предыдущего задания, три раза провести измерения времени t движения груза массы m ₂ на пути при том же значении радиуса двухступенчатого шкива. Найти среднее значение времени < t >. Результаты записать в табл. 2.

5. Из табл. 1 перенести в табл. 2 значения , , .

6. По формулам (7) и (15) вычислить и момент инерции маятника . Результаты занести в табл. 2.

7. Проверить справедливость соотношения (14), сделать вывод.

Таблица 2

m2

h

ε2

t

<t>

ε3

Ед. изм.

кг

м

рад/с2

кг·м2

с

c

рад/с2

кг·м2

 

Контрольные вопросы

1. Вращательное движение абсолютно твердого тела.

2. Линейные и угловые перемещения, скорости, ускорения; связь между ними.

3. Понятие момента силы относительно точки и относительно оси вращения. Вывод расчетной формулы для момента силы в данной работе.

4. Определение момента инерции точки, тела. Расчет момента инерции маятника в данной работе.

5. Основной закон динамики вращательного движения.

6. Устройство и принцип действия маятника Обербека.

7. Методика проверки основного закона динамики вращательного движения в данной работе.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 21-4