Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Кинематика

Поступательное движение

1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси Х:

x = f(t),

где f(t) - некоторая функция времени.

2. Средняя скорость

.

3. Средняя путевая скорость

,

где DS - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt.

Пусть DS в отличие от разности координат (Dх=х₂-х₁) не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. DS³0. Поэтому .

4. Мгновенная скорость .

5. Среднее ускорение .

6. Мгновенное ускорение .

 

Вращательное движение

7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

8. Угловая средняя скорость .

9. Угловая мгновенная скорость .

10. Угловое среднее ускорение .

11. Угловое мгновенное ускорение .

12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности

.

где V - линейная скорость;

13. Полное ускорение

или

14. Угол между полным ускорением а и нормальным а _n

 

Динамика

Поступательное движение

15. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью V: P=mV.

16. Второй закон Ньютона: Fdt=dp,

где F - сила действующая на тело.

17. Силы рассматриваемые в механике:

а) сила упругости F=-kx,

где k- коэффициент упругости;

х - абсолютная деформация;

б) сила тяжести P=G=mg;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная,

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r - расстояние между телами.

18. Сила трения (скольжения) ,

где f - коэффициент трения;

N - сила нормального давления;

19. Закон сохранения импульса

,

где V₁ и V₂ - начальные скорости двух тел;

U₁ и U₂ - скорости соответствующих тел после взаимодействия.

20. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

или .

21. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k - жесткость пружины;

х - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r - расстояние между ними;

в) тела, находящиеся в однородном поле силы тяжести

,

где g - ускорение свободного падения;

h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива, если h<<R, где R - радиус Земли).

22. Закон сохранения механической энергии:

Е = Т+П= const.

23. Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А=DТ=Т₂-Т₁.

 

Вращательное движение

24. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси Z

,

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси Z;

J_z - момент инерции относительно оси Z.

25. Момент инерции материальной точки и некоторых тел массой m относительно оси Z, проходящей через центр масс:

а) материальной точки J_i=m_i×r_i², где m_i - масса материальной точки; r_i - расстояние от точки до оси вращения;

б) стержня длиной l относительно оси, проходящей через середину стержня

;

в) стержня длиной l относительно оси, проходящей через конец стержня:

;

г) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)

,

где R - радиус обруча (цилиндра);

д) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

;

ж) шара радиусом R относительно оси, проходящей через центр шара

.

26. Момент импульса вращающегося тела, относительно оси Z

где J_z - момент инерции системы тел относительно оси Z;

w - угловая скорость вращения вокруг оси Z.

28. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z

или .

 

Колебательное движение и волны

29. Кинематическое уравнение гармонических колебаний

X = Acos(wt+j),

где Х - смещение;

А - амплитуда колебаний;

w - круговая частота;

j - начальная фаза.

30. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

.

31. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

.

32. Полная энергия колеблющейся материальной точки

.

 

Механика жидкостей и газов

Для стационарного течения несжимаемой жидкости справедливо уравнение неразрывности струи:

где v - скорость жидкости, S - площадь поперечного сечения трубки тока.

Объем жидкости, протекающей за единицу времени через любое сечение трубки тока (расход):

.

Скорость истечения идеальной жидкости через малое отверстие в широком сосуде:

,

где h - глубина отверстия относительно уровня жидкости в широком сосуде.

Уравнение Бернулли:

,

где r - плотность жидкости, p - статическое давление жидкости, v - скорость течения жидкости, h - высота сечения трубки тока над некоторым уровнем.

При переходе объема V жидкости из пространства, где давление р ₁, в пространство с давлением р ₂, внешним давлением совершается работа

.

При ламинарном течении жидкости помещенное в поток тело испытывает лобовое сопротивление

где r - коэффициент, зависящий от формы и размера тела, h - вязкость, v - скорость потока.

При движении шара в вязкой среде сила сопротивления (формула Стокса)

где R -радиус шара.

Объем V жидкости, протекающей через трубу длиной l и радиусом R при ламинарном движении за время
t, определяется по формуле Пуазейля:

где D р - разность давлений на концах трубки.

В случае турбулентного потока при не очень больших скоростях лобовое сопротивление

,

где С_х - коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и числа Рейнольдса, S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к скорости потока, r - плотность среды.

Число Рейнольдса:

где l - величина, характеризующая линейные размеры обтекаемого тела.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

Кинематика

1. Что изучает механика как один из разделов физики? Каково содержание: а) ньютоновской; б) релятивистской; в) квантовой механики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точки (частицы); б) системы материальных точек; в) абсолютно твердого тела.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия "однородность и изотропность пространства", "однородность времени"?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиусом-вектором r?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=x(t), y=y(t), z=z(t) эквивалентно заданию его в векторной форме r = r (t), где x,y,z - декартовы координаты материальной точки, r - ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения D r; б) скорости v; в) ускорения а. В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону

где v₀ и g - известные постоянные; k - орт координатной оси z. Найдите скорость v частицы и ее ускорение а, а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы а=Аi, где А - известная постоянная; i - орт координатной оси х. В момент времени t=0 x = x ₀ и v_x=x₀, где х ₀ и v₀ - известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату х как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным а_t и нормальным а_n ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости v и полного ускорения а движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение:

а) угла поворота dj твердого тела; б) угловой скорости w; в) углового ускорения b относительно неподвижной оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью? б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих ускорений?

 

Динамика материальной точки

1. В чем заключается основная задача ньютоновской механики; динамики?

2. Как в динамике определяются сила F и масса m? Каковы характерные свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

3. Как строятся системы единиц в механике? Какова роль формул размерностей?

4. Что называется импульсом р материальной точки?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Какие утверждения содержат эти законы? Какова их взаимосвязь? Дайте определение понятий "инерция" и "инертность".

6. Какие системы отсчета называются инерциальными и неинерциальными? С какой степенью точности является инерциальной система отсчета: а) связанная с Солнцем и звездами (гелиоцентрическая); б) жестко связанная с Землей (лабораторная)?

7. Получите из общей формулировки второго закона Ньютона основное уравнение динамики материальной точки .

8. Спроектировав уравнение динамики на оси x, y и z декартовой системы координат, получите три эквивалентных ему дифференциальных уравнения.

9. Каково содержание закона независимости действия сил? Сформулируйте принцип суперпозиции сил. Объясните задачу о лебеде, раке и щуке.

10. Введите понятие импульса силы. Объясните, почему пуля, вылетев из ружья, пробивает отверстие в стекле, не разбивая его, а надавливанием стержня на стекло этого сделать нельзя.

11. Назовите четыре типа фундаментальных взаимодействий. Какие силы рассматриваются в рамках ньютоновской механики?

12. Каковы границы применимости законов ньютоновской механики?

 

Законы сохранения

1. Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обусловлены законы сохранения?

2. Какие силы называются: внешними; внутренними? Какие системы материальных точек называются: замкнутыми; незамкнутыми? Может ли система вести себя как замкнутая в одном определенном направлении?

3. Покажите, что для системы материальных точек d p /dt= F, где - импульс системы; - результирующая всех внешних сил. Что называется центром масс системы материальных точек и каковы его свойства?

4. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек, указав на его связь с однородностью пространства. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса, сохранения проекции импульса.

5. Запишите уравнение динамики тела с переменной массой (уравнение Мещерского) поясните смысл входящих в него величин.

6. Дайте определение: а) механической работы А; б) мощности N. Каковы свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

7. Какие силы называются: консервативными; неконсервативными? Какие поля являются: потенциальными; непотенциальными?

8. Получите выражение для кинетической энергии движущейся материальной точки. Выведите формулу для потенциальной энергии: а) тела, поднятого над землей; б) упругодеформированной пружины.

9. Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энергии и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью времени.

10. Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры абсолютно упругого и неупругого ударов.

11. Какими законами сохранения определяется соотношение между начальным и конечным состоянием тел, участвующих в соударении? В какие виды энергии может переходить кинетическая энергия соударяющихся тел? Позволяют ли законы сохранения определить, что происходит в процессе соударения?

12. Используя законы динамики и закон сохранения энергии, получите уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

 

Динамика твердого тела

1. Исходя из основного закона динамики в форме d p /dt= F, получите уравнение моментов для материальной точки d L /dt= М. Дайте определение момента силы М и момента импульса L относительно: а) точки; б) оси вращения. Каковы свойства этих физических величин?

2. Покажите, что для системы материальных точек d L /dt= M, где L= -момент импульса системы,

М = M _i - результирующий момент внешних сил.

3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы материальных точек, указав на его связь с изотропностью пространства. Приведите примеры сохранения момента импульса.

4. Что называется центром масс абсолютно твердого тела? Запишите закон движения центра масс абсолютно твердого тела.

5. Получите уравнение моментов для материальной точки, движущейся по окружности, относительно оси вращения: Ib_z=M_z. Чему равен момент инерции I материальной точки относительно оси вращения?

6. Запишите уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Чему равен момент инерции I твердого тела относительно оси вращения? Является ли эта величина аддитивной?

7. Какие оси вращения твердого тела называются: свободными; главными? Каковы особенности вращения твердых тел вокруг свободных осей вращения?

8. Как вычисляются моменты инерции твердых тел относительно заданных осей вращения? Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.

9. Дайте определение плоского движения твердого тела. Какими уравнениями описывается такое движение?

10. Запишите выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Чему равна кинетическая энергия твердого тела при плоском движении?

11. Как определить работу внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?

12. Каковы специфические свойства гироскопов? Приведите примеры использования гироскопов. Какое движение гироскопа называется прецессией?

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Кинематика

Поступательное движение

1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси Х:

x = f(t),

где f(t) - некоторая функция времени.

2. Средняя скорость

.

3. Средняя путевая скорость

,

где DS - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt.

Пусть DS в отличие от разности координат (Dх=х₂-х₁) не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. DS³0. Поэтому .

4. Мгновенная скорость .

5. Среднее ускорение .

6. Мгновенное ускорение .

 

Вращательное движение

7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

8. Угловая средняя скорость .

9. Угловая мгновенная скорость .

10. Угловое среднее ускорение .

11. Угловое мгновенное ускорение .

12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности

.

где V - линейная скорость;

13. Полное ускорение

или

14. Угол между полным ускорением а и нормальным а _n

 

Динамика

Поступательное движение

15. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью V: P=mV.

16. Второй закон Ньютона: Fdt=dp,

где F - сила действующая на тело.

17. Силы рассматриваемые в механике:

а) сила упругости F=-kx,

где k- коэффициент упругости;

х - абсолютная деформация;

б) сила тяжести P=G=mg;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная,

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r - расстояние между телами.

18. Сила трения (скольжения) ,

где f - коэффициент трения;

N - сила нормального давления;

19. Закон сохранения импульса

,

где V₁ и V₂ - начальные скорости двух тел;

U₁ и U₂ - скорости соответствующих тел после взаимодействия.

20. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

или .

21. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k - жесткость пружины;

х - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r - расстояние между ними;

в) тела, находящиеся в однородном поле силы тяжести

,

где g - ускорение свободного падения;

h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива, если h<<R, где R - радиус Земли).

22. Закон сохранения механической энергии:

Е = Т+П= const.

23. Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А=DТ=Т₂-Т₁.

 

Вращательное движение

24. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси Z

,

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси Z;

J_z - момент инерции относительно оси Z.

25. Момент инерции материальной точки и некоторых тел массой m относительно оси Z, проходящей через центр масс:

а) материальной точки J_i=m_i×r_i², где m_i - масса материальной точки; r_i - расстояние от точки до оси вращения;

б) стержня длиной l относительно оси, проходящей через середину стержня

;

в) стержня длиной l относительно оси, проходящей через конец стержня:

;

г) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)

,

где R - радиус обруча (цилиндра);

д) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

;

ж) шара радиусом R относительно оси, проходящей через центр шара

.

26. Момент импульса вращающегося тела, относительно оси Z

где J_z - момент инерции системы тел относительно оси Z;

w - угловая скорость вращения вокруг оси Z.

28. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z

или .

 

Колебательное движение и волны

29. Кинематическое уравнение гармонических колебаний

X = Acos(wt+j),

где Х - смещение;

А - амплитуда колебаний;

w - круговая частота;

j - начальная фаза.

30. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

.

31. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

.

32. Полная энергия колеблющейся материальной точки

.

 

Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

В системе отсчета, движущейся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно и прямолинейно с ускорением а, на тело действует сила инерции F_ин = -m a.

В системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью w относительно какой-либо инерциальной системы, действует центробежная сила инерции

F_цб = mw²R

и сила Кориолиса

,

где R - радиус-вектор, проведенный от оси вращения к центру масс тела, v' - скорость тела относительно вращающейся неинерциальной системы.