Взаимное расположение прямых линий.

Прямые в пространстве могут:

1. быть параллельными;

2. пересекаться;

3. скрещиваться.

Две прямые a и b || в простр-ве, если

они пересекаются в бесконечно

удалённой т-ке (в несобственной).

На черт. одноимённые пр-ии параллельных

прямых так же параллельны.

 

 

с и d пересекаются в простр-ве (с ∩ d)

на черт.: с₁ ∩ d₁ _ К₁

с₂ ∩ d₂ _ К₂

К – пр-ия т-ки пересечения с и d

К₁ К₂ ^ Х₁₂

 

Прямые пересекаются, если их одноимённые проекции также пересекаются, а проекции т-ки пересечения лежат на одной линии связи.

ℓ и m – скрещивающиеся прямые, т.к.

ℓ ₂ ∩ m₂ _ т1₂ ≡ 2₂,

а 1₁ и 2₁ – отдельные пр-ии.

Прямые скрещиваются, если они не

пересекаются и не ||-ны между собой,

а т-ки пересечения их одноимённых

проекций не лежат на одной линии связи.

Определение видимости геометрических элементов.

Положение скрещивающихся прямых положено в основу метода конкурирующих точек, который используется для определения видимости поверхностей:

1) Видимость на горизонт. пр-ии определяется по фронтальной: видима та т-ка, которая расположена выше (больше высота).

2) Видимость на фронт. пр-ии определяется по горизонт: видима та т-ка, которая расположена дальше от оси Х (больше глубина).

Теорема о прямом угле.

Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости пр-ий, а другая сторона не перпендикулярна к ней, то на эту плоскость пр-ий прямой угол проецируется в НВ.

 

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то проекции их в общем случае образуют угол, не равный 90⁰.

Для того, чтобы прямой угол проецировался в НВ, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была ||-на, а другая не ^-на пл-ти пр-ий.

Действительно, пусть сторона АВ прямого угла АВС ||-на пл-ти П₁. требуется доказать, что проекция его: угол А₁В₁С₁ = 90⁰.

Прямая АВ ^-на пл-ти ∑, т.к. АВ ^-на двум прямым этой пл-ти ВС и ВВ₁, проходящим через т-ку В.

Прямая АВ и её пр-ия А₁В₁ – две ||-ые прямые, а потому А₁В₁ также ^-на пл-ти ∑. Следовательно, А₁В₁ ^-на В₁С₁.

 

На основании изложенного, можно утверждать, что углы, показанные на рис 2 и 3, являются проекциями прямых углов. На рис. 2 сторона a ||-на пл-ти П₁, а на рис.3 – сторона с ||-на пл-ти П₂.

 

Лекция 3

Плоскость

Пл-ть - частный случай поверхности на чертеже и задаётся определителем:

∑ (Г, А), где ∑ - обозначение пл-ти (поверхности);

 

Г, А - совокупность условий, задающих закон

образования плоскости.

Пл-ти могут быть заданы следующими определителями:

 

1. Тремя т-ми, не лежащими на одной прямой. (тремя несовпадающими т-ми).

∑ (А,В,С)

 

 

2. Прямой и т-кой, не лежащей на ней.

∑ (ℓ, А)

 

3. Двумя пересекающимися прямыми.

∑ (a ∩ b)

 

 

4. Двумя параллельными прямыми.

∑ (a || b)

 

5. Плоской фигурой.

∑ (D АВС)

 

6. Следами.

∑ (∑_П1, ∑_П2 )

 

Следы плоскости.

Следами пл-ти называются линии пересечения её с пл-ми проекций.

 

 

∑ - пл-ть общего положения

∑_П1 – горизонтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с горизонт. пл-тью пр-ий.

∑_П2 – фронтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с фронт. пл-тью пр-ий.

∑₁₂ – т-ка схода следов.

 

В зависимости от того как расположена заданная пл-ть относительно пл-тей пр-ий, различают:

I. Пл-ти общего положения – пл-ть ни параллельная, ни перпендикулярная ни одной из пл-тей пр-ий. Все чертежи таких плоскостей были рассмотрены выше в классификации определителей.

II. Пл-ти частного положения:

1. Пл-ти уровня – это пл-ти, || -ые одной из пл-тей пр-ий, и ^-ые двум остальным пл-тям пр-ий (дважды проецирующие).

а) Пл-ть горизонтального уровня - || П₁

б) Пл-ть фронтального уровня - || П₂

в) Пл-ть профильного уровня -|| П₃

Свойство пл-тей уровня: