Точка на прямой. Следы прямой

На рисунке 25 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном отношении.

Рисунок 25 – Деление отрезка прямой линии в некотором заданном отношении

Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С’ проведена вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2+5) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D’7 и параллельно ему через точку 2 прямую, получает точку К’, причем С’K’:K’D’=2:5. Затем находим точку K”. Точка К делит отрезок CDв отношении 2:5.

Рисунок 26 – Следы прямой

Точкипересеченияпрямойсплоскостямипроекций называются следами прямой. В точкахследов прямая переходит из одного октанта в другой.Различаютгоризонтальный,фронтальныйипрофильный следы прямойиихсоответствующиепроекции.Нарисунке 26 показаны пространственныечертежипрямыхобщегоичастногоположения и образованиеихследов.Прямые,параллельныеплоскостям проекций, имеюттолькодваследа,апрямые,перпендикулярные плоскостям проекций – один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

Изпространственныхчертежейследуетметодикапостроения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 27).

Рисунок 27 – Построение следов прямой

 

Взаимное положение прямых

(параллельные, пресекающиеся, скрещивающиеся).

Конкурирующие точки

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися (рисунок 28).

Рисунок 28 – Расположение прямых в пространстве (три случая)

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рисунок 29).

 

Рисунок 29 – Пересекающиеся прямые

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рисунке 30 изображены прямые общего положения а и b, их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны.

Рисунок 30 – Параллельные прямые

Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи.

Рисунок 31 – Скрещивающиеся прямые

Эти точки не являются общими для прямых (рисунок 31). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым.

Конкурирующие точки

Конкурирующие точки используются для определения видимости геометрических фигур на плоскости проекций. Где видимые объекты отображают сплошной основной линией, не видимые – тонкой пунктирной линией.

Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном перпендикуляр к плоскости проекций.

На рисунке 32а приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П₁ [А₁ = В₁]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими.

Если проекции точек A и В совпадают на плоскости П₂ (рисунок 32б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости П₃[А₃ = B₃] (рисунок 32в), они называются профильно конкурирующими.

Рисунок 32 – Определение конкурирующих точек

По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих – та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих – та, у которой больше широта.

На эпюре (рисунок 33) горизонтальные проекции конкурирующих точек 1₁ и 2₁ совпадают, но точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 – прямой СD.

Рисунок 33 – Определение конкурирующих точек

Изчертежавидно,чторасстоянияотплоскостиП₁доточек1и2 различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой CD, расположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой АВ. Следовательно, прямая CD проходит под прямой АВ.

Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых АВ и CD. Горизонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая АВ проходит перед CD.

Тема 1.3 Проекции плоскости, положение плоскости относительно
плоскостей проекций, характерные линии плоскости

 

1.3.1 Задание плоскости на чертеже различными способами.
Следы плоскости. Характерные прямые плоскости
– линии уровня и линии наибольшего наклона плоскости

Задание плоскости на чертеже различными способами

Что такое плоскость? Из геометрии известно, что плоскость представляет собой бесконечную поверхность, которая на всем своем протяжении имеет одинаковое направление. Примером получения плоскости в пространстве может служить параллельное перемещение одной прямой по второй неподвижной прямой. Простейшими плоскостями считаются плоские геометрические фигуры (треугольник, круг и т.п.)

Плоскость на чертеже может быть задана (рисунок 34):

– проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рисунок 34, 1);

– проекциями отрезка прямой и точкой, не лежащей на прямой (рисунок 34, 2);

– проекциями двух пересекающихся отрезков прямых (рисунок 34, 3);

– проекциями двух отрезков параллельных прямых (рисунок 34, 4);

– проекциями плоской фигуры (треугольника) (рисунок 34, 5);

– следами (рисунок 34, 6).

Рисунок 34 – Способы задания плоскости на чертеже

Соединяя проекции точек на первых четырех рисунках, можно перейти к изображению в виде треугольника или других плоских фигур.

 

Следы плоскости

Плоскость Ʃ (рисунок 35,а) образует с плоскостями проекций П₂ и П₁ трехгранный угол, вершина которого находится в пересечении следов. Две грани этого угла совпадают с плоскостями проекций и находятся между осью х и следами плоскости (Ʃ₁ и Ʃ₂), а третий угол – между следами Ʃ₁ и Ʃ₂, – всегда меньше суммы двух других углов. Это значит, что на чертеже угол, заключенный между следами Ʃ₁ и Ʃ₂(рисунок 35, б), всегда больше угла, заключенного между этими следами в пространстве (рисунок 35, а).

Рисунок 35 – Определение следа прямой

На рисунке 35 показаны горизонтальный Ʃ₁и фронтальный Ʃ₂ следы. Точка пересечения следов, расположенная на оси х, называется точкой схода следов (Ʃ_х). Так как след плоскости является прямой, лежащей в плоскости проекций, то горизонтальная проекция фронтального следа Ʃ₂ будет находиться на оси х. Здесь же будет находиться и фронтальная проекция Ʃ₁ горизонтального следа плоскости Ʃ. Обычно эти проекции следов не используются при решении задач и поэтому их можно не изображать и не обозначать.

Целесообразно следы плоскости обозначить на чертежах по наименованию самих плоскостей проекций (П₁, П₂) или по обозначению их индексов, например, Ʃ_п1 и Ʃ_п2, или же Ʃ₁ и Ʃ₂ (рисунок 35). Такое обозначение более удобно при решении задач. Следует иметь в виду, что со следами плоскости совпадают (сливаются) их проекции. Так, с горизонтальным следом плоскости П₁ совпадает горизонтальная проекция этого следа, а с фронтальным следом плоскости П₂ совпадает фронтальная проекция этого следа.

 

Характерные прямые плоскости – линии уровня
и линии наибольшего наклона плоскости

К главным линиям (характерным прямым) плоскости относятся линии уровня и линии наибольшего наклона (рисунок 36).

Рисунок 36 – Классификация главных линий плоскости

Горизонталью h (h₁ и h₂) плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 37). Так как горизонталь плоскости параллельна горизонтальной плоскости проекций П₁, то фронтальная ее проекция будет параллельна оси Х. Для построения проекций горизонтали проводим через точку А₂ прямую, параллельную оси Х. Это будет фронтальная проекция горизонтали (h₂). Горизонтальную проекцию горизонтали (h₁) находим по линии связи.

Рисунок 37 – Горизонталь плоскости

Фронталью плоскости f (f₁ и f₂) называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали на чертеже параллельна оси Х, а фронтальную проекцию фронтали находим при помощи линии связи (рисунок 38).

 

Рисунок 38 – Фронталь плоскости

Профильной прямой р (р₁, р₂, р₃) называется прямая линия, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рисунок 39).

Рисунок 39 – Профильная прямая

В этом случае фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой р (р₁ и р₂) параллельны П₃, а профильная проекция р₃равняется натуральной величиной.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (ЛНН) называютсялинии,проведенныевплоскостииопределяющие наибольший угол между плоскостью и плоскостью проекций, т.е. величину образованного двугранного угла. Различают линию наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций H (горизонтальная плоскость) – ЛНН(Н), к плоскости проекций V (фронтальная плоскость) – ЛНН(V) и кплоскости проекций W (профильная плоскость) – ЛНН(W).Рассмотримподробнее первые две линии.

ЛиниянаибольшегонаклонаплоскостикплоскостипроекцийH проводитсяперпендикулярнокгоризонтальномуследуплоскостиилик горизонталиплоскости.Линиянаибольшегонаклонаплоскостик плоскостипроекцийVпроводитсяперпендикулярнокфронтальному следу плоскости или к фронтали (рисунок 40).

Рисунок 40 – Построение проекций линий наибольшего наклона

ПринципметодикипостроенияпроекцийЛННосновываетсяна теореме прямого угла: если один из катетов прямого углапараллеленкакой-либоплоскости,тонаэтуплоскостьпрямойугол проецируется в натуральную величину.

 

1.3.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
(плоскости общего и частного положения).
Точка и прямая в плоскости (построение их недостающих проекций)

Положение плоскости относительно плоскостей проекций
(плоскости общего и частного положений)

Плоскость в пространстве может занимать относительно плоскостей проекций П₁, П₂, П₃ следующие положения:

– наклонно ко всем плоскостям проекций – плоскость общего положения (рисунок 41);

Рисунок 41 – Плоскость общего положения

– перпендикулярно к одной из плоскостей проекций – проецирующая плоскость;

– перпендикулярно одновременно к двум плоскостям проекций, т.е. параллельно третьей плоскости проекций – плоскость уровня.

Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая, профильно-проецирующая.

Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскостисовпадают с горизонтальным следом (рисунок 42).

Рисунок 42 – Горизонтально проецирующая плоскость

Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости является прямая линия, совпадающая с фронтальным следом следом (рисунок 43).

Рисунок 43 – Фронтально проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций, задается профильным следом плоскости (рисунок 44).

Рисунок 44 – Профильно-проецирующая плоскость

Плоскости уровня: горизонтальная плоскость – параллельная П₁, фронтальная – параллельная П₂ и профильная – параллельная П₃. Эти плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций.

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Горизонтальная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 45), изображена проекциями А₁В₁С₁, А₂В₂С₂ и А₃В₃С₃. При этом фронтальная и профильная проекции изображаются отрезками прямых линий, а горизонтальная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П₁.

Рисунок 45 – Горизонтальная плоскость уровня

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

Фронтальная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 46), изображена проекциями А₁В₁С₁, А₂В₂С₂ и А₃В₃С₃. При этом горизонтальная и профильная проекции изображаются отрезками прямых линий, а фронтальная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П_2.

Рисунок 46 – Фронтальная плоскость уровня

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

Профильная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 47), изображена проекциями А₁В₁С₁, А₂В₂С₂ и А₃В₃С₃. При этом горизонтальная и фронтальная проекции изображаются отрезками прямых линий, а профильная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П_3.

Рисунок 47 – Профильная плоскость уровня