Применение пакета Mathcad в решении прикладных задач

Примеры решения практических задач электродинамики и

Распространения радиоволн

Электромагнитные поля определяются [1] путём задания в каждой точке пространства четырёх векторов:

(х,y,z,t) – вектор напряженности электрического поля .

(x,y,z,t) – вектор электрического смещения .

(x,y,z,t) – вектор индукции магнитного поля .

(x,y,z,t) – вектор напряженности магнитного поля .

Эти векторы не являются независимыми. Попарно векторы , а также , связаны друг с другом с помощью материальных уравнений. Наиболее простой вид материальные уравнения имеют для однородных изотропных сред, относительные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей которых имеют постоянные значения для любой точки наблюдения электромагнитного поля:

; (2.1)

Вектора , , , в общем случае зависят как от координат точки наблюдения так и от времени и могут быть найдены из системы уравнений Максвелла, решениями которой они являются:

1) ;

2) ;

3) ; (2.2)

 

4) ;

 

 

В этих уравнениях: - коэффициент удельной электропроводности среды, в которой рассматривается электромагнитное поле, - напряженность электрического поля сторонних источников, - объемная плотность сторонних электрических зарядов; - плотность токов проводимости.

В дальнейшем будем называть сторонними токами, такие токи, которые вызываются электрическими полями сторонних источников, причём, их плотность может быть вычислена по формуле: .

Отметим, что для полей независящих от времени

 

.

В этом случае система (2.2) распадается на две независимые системы: а) систему уравнений электростатики, определяющую постоянные во времени поля , и б) систему уравнений магнитостатики, определяющую постоянные во времени поля , .

Для электромагнитных полей, зависящих от времени из системы уравнений Максвелла (2.2) следует взаимосвязь изменения их электрических и магнитных полей. Наиболее просто в этом убедиться, если рассматривать зависящее от времени электромагнитное поле в среде, в которой нет сторонних зарядов, сторонних токов, плотность которых может быть вычислена по формуле , и отсутствует проводимость ().

Таким условиям соответствует электромагнитное поле в вакууме, в котором отсутствуют источники сторонних токов и зарядов. Очень близкими свойствами обладает сухой воздух, проводимостью которого в обычных условиях можно пренебречь.

В этом случае первые два уравнения системы (2.2) связывают между собой изменение в пространстве и времени электрического и магнитного полей. Отсюда следует основное свойство зависящих от времени электромагнитных полей, состоящее в согласованности изменения электрического и магнитного поля.

Так, при изменении во времени электрического поля возникает изменяющееся в пространстве переменное магнитное поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве электрического поля. И, наоборот, при изменении во времени магнитного поля возникает изменяющееся в пространстве переменное электрическое поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве магнитного поля.

Физическая причина такой взаимосвязи является следствием закона электромагнитной индукции и наличием тока смещения, связывающих между собой электрическое и магнитное поля. Причём, взаимосвязь электрических и магнитных полей имеет место даже в отсутствии сторонних токов и зарядов, являющихся источниками электромагнитного поля.

Процесс согласованного изменения электрического и магнитного полей в пространстве и времени, при распространении электромагнитного возмущения из одной точки пространства в другую, получил название электромагнитной волны.

Источниками электромагнитных волн, как это следует из системы уравнений Максвелла (2.2.), являются меняющиеся во времени сторонние токи и заряды.

Существование электромагнитных волн впервые было предсказано английским физиком М.Ф. Фарадеем в 1832г. В 1865г. английский физик Дж. К. Максвелл теоретически показал, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света. Подтверждение открытых свойств электромагнитных волн и обширные их экспериментальные исследования было сделано немецким физиком Г. Герцем (1887-1888).

В ходе экспериментальных исследований свойств электромагнитных волн Г. Герц обнаружил, что законы распространения электромагнитных волн и света одинаковы. В частности, у них одинаковый характер преломления и отражения от диэлектрических и металлических тел.

В большинстве случаев электродинамические задачи решаются, как и в радиотехнике, в спектральной области и решение ищется для гармонических процессов. Предполагается, что ЭМП имеет монохроматический характер, т.е. частота колебаний векторов ЭМП постоянна. В этом случае используется метод комплексных амплитуд (МКА). При этом имеется в виду

 

. (2.3)

 

Величина называется комплексной амплитудой функции . Символ Re обозначает выделение действительной части комплексного числа .

Аналогично можно записать в комплексной форме и векторную величину

 

. (2.4)

 

Для дальнейшего анализа важны следующие свойства комплексных представлений гармонических процессов.

1) Дифференцирование по времени t равносильно умножению на :

 

. (2.5)

 

2) Интегрирование по t равносильно делению на :

 

. (2.6)

 

3) Справедливо следующее соотношение:

 

, (2.7)

, знак означает усреднение по t в интервале .

Рассмотрим некоторые примеры решения некоторых задач электродинамики.

 

Пример 1. Векторы электромагнитного поля. Уравнение состояния. Тензорные соотношения в электродинамике. Групповая скорость. Сопротивление излучение.

Рассмотрим основные понятия электродинамики, которые помогут в решении наших задач.

вектор напряженности электрического поля, [В/м];

вектор напряженности магнитного поля, [А/м];

вектор электрической индукции, [Кл/м];

вектор магнитной индукции, [Тл];

Для изотропных сред уравнение состояния

Для анизотропных сред уравнение состояния носят тензорный характер

 

Используя пакет Mathcad, для нахождения вектора электрической индукции D в анизотропной среде определим

диэлектрическая проницаемость вакуума, [Ф/м].

- относительная диэлектрическая проницаемость.

вектор напряженности электрического поля, [В/м].

 

По формуле определяем вектор электрической индукции

Получаем

.

 

Пример 2. Групповая скорость.

,

где вектор Пойтинга. Его величина есть плотность потока мощности электромагнитного поля.

плотность энергии.

Физический смысл : скорость распространения энергии (скорость передачи информации).

Для нахождения групповой скорости в пакете Mathcad определим:

вектор напряженности электрического поля, [В/м].

[Гн/м]; [В/м] - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума.

- относительную магнитную проницаемость.

вектор напряженности магнитного поля, [А/м].

диапазон значений относительной диэлектрической проницаемости.

плотность энергии.

вектор Пойтинга.

искомая групповая скорость, ниже представлен полученный результат в виде графика зависимости (рис.11).

Пример 3. Сопротивление излучения.

 

Сопротивление излучения эквивалентно некоторому реальному активному сопротивлению, при подключении которого к линии передачи вместо антенны в нем рассеивается в виде тепла такая же мощность, которая излучается антенной в пространство. Значение сопротивления излучения необходимо при согласовании антенны с линией передачи.

 

[м/c]

Рисунок 11 – График зависимости групповой скорости от относительной диэлектрической проницаемости

 

 

Для нахождения сопротивления излучения в пакете Mathcad определим

длину волны;

диапазон её изменения.

Сопротивление излучения равно

Результаты расчета представим в виде графика (рис.12).

[Ом]

	Рисунок 12 – График зависимости сопротивления излучения от величины

 

 

Пример 4. Элементарный электрический излучатель.

На рис. 13 показан элементарный электрический вибратор – диполь Герца в виде короткого проводника, по которому течет ток . Диполь расположен вдоль оси Z прямоугольной системы координат XYZ. Амплитуда тока и его начальная фаза во всех точках диполя одинаковы, так как длина диполя . На рисунке показана точка наблюдения Р в дальней зоне, заданная сферическими координатами . – проекция точки Р на плоскость ХY.

 

 

Рисунок 13 - Диполь Герца

 

В электродинамике получено выражение, определяющее комплексную амплитуду вектора Е поля диполя в дальней зоне:

 

, (2.8)

 

где r – расстояние от диполя до точки Р в дальней зоне;

– волновое число свободного пространства;

– диаграмма направленности диполя в плоскости Е;

– диаграмма направленности диполя в плоскости Н.

Поляризация поля в дальней зоне линейная. Плоскостью Е является плоскость , плоскостью Н – плоскость XY, т.е. .Из выражения (9.1) следует, что в дальней зоне поле диполя Герца представляет собой сферическую волну, на что указывает множитель .

Представим диаграмму направленности в полярной системе координат. Поле диполя Герца рассчитаем в дальней зоне.

Использую пакет Mathcad, определим поле такого вибратора в точке наблюдения, расстояние до которого составляет 100 метров.

расстояние до вибратора [м].

значение величины, обратной длине волны.

амплитуда тока в проводнике.

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума соответственно равны [В/м], [Гн/м].

Выражения, определяющие поле вибратора в однородной изотропной среде

.

При [В/м]; [А/м].

Рассмотрим полученные графики зависимостей и от (рис.14).

[А/м]

[В/м]

	Рисунок 14 – Графики зависимостей и

 

 

Рассмотрим ДН в плоскости вектора E. (рис.15)

 

Плотность потока мощности диполя Герца выражается в виде

[Вт].

 

Плотность потока энергии диполя Герца выражается в виде

 

При , [Вт/м²].

На рис. 16 представлены зависимости и в декартовой и полярной системе координат.

[Вт/м2]

[Вт]

[Вт/м2]

[Вт]

Рисунок 16 – Графики зависимостей и в декартовой и полярной системе координат

 

 

3. Скорость передачи информации определим в виде соотношения

 

.

[м/с].

 

4. Сопротивление излучения представим для

; [Ом].

Примеры практических задач расчета

Волноведущих систем СВЧ

Для минимизации потерь в устройствах СВЧ используются направляющие системы или волноводы (ВВ) [1-2]. Волны в ВВ занимают конечное поперечное сечение, они неоднородны в этом сечении и не рассеиваются в окружающее пространство. Назначение ВВ: линии связи; связь элементов СВЧ устройств; электродинамические системы в электронных приборах СВЧ; ускорители; системы СВЧ обработки в машиностроении, деревообработке, пищевой промышленности, сельском хозяйстве.

Рассмотрим некоторые типы ВВ. Вообще говоря, ВВ можно разделить на «открытые», в которых замкнутый внешний экран отсутствует, а поле концентрируется вблизи направляющих структур, и «закрытые», в которых в той или иной форме присутствует экран, ограничивающий поперечное распределение поля. Конечно, это разграничение достаточно условно: в «открытых» ВВ может быть поставлен экран, в «закрытых» - экран в определенных диапазонах может быть «прозрачным».

Начнем с систем, условно относимых к «открытым».

На рис.17 изображена двухпроводная линия.

При ввиду противофазности токов в проводах линии излучение в окружающее пространство весьма мало. На рис. 18 показана симметричная полосковая линия: 1 – токонесущая полоска, 2 – экран.

Несимметричная полосковая линия или микрополосковая изображена на рис.19. Здесь 1 – токонесущая полоска, 2 – диэлектрическая подложка, 3 – экран. Все поперечные размеры весьма малы по сравнению с длиной волны, излучение во внешнее пространство практически отсутствует. Указанные структуры нашли очень широкое распространение в микромощной технике.

Нетрудно увидеть развитие структуры микрополосок: экранированная микрополосковая линия (рис.20), щелевая линия (рис.21), копланарная линия (рис.22), полосково – щелевая экранированная линия (рис.23), двущелевая линия (рис.24). В коротковолновом диапазоне (вплоть до светового) используются диэлектрические волноводы (рис.25), на рабочих частотах которого на границе диэлектрика с воздухом имеет место полное внутреннее отражение волн.

К открытым относятся и лучевые ВВ: зеркальный ВВ (рис. 26), линзовая линия (рис.27).

 

 

 

На рис.28 показана экранированная двухпроводная линия – «закрытая» система. Естественное ее развитие – коаксиальная линия (рис.29), весьма широко распространенная. Дальнейшее развитие ВВ большой мощности – полые ВВ.

На рис.30 изображен ВВ элептического сечения, на рис.31 – прямоугольного.

 

 

Рассмотрим примеры расчета прямоугольного волновода, коаксиальных линий передач, полосковых линий.

 

Пример 5. Расчет прямоугольного волновода 19 x 9,5мм

 

Задаем размеры волновода

[м], [м].

Определим критическую длину волны – максимальную длину волны, которая может распространяться в волноводе.

; [м].

Определим критическую частоту

, где - скорость света; [Гц].

Для расчета основных характеристик волновода зададим , .

Задаем диапазон изменения частоты .

Определим основные характеристики волновода

Фазовая скорость в прямоугольном волноводе .

В результате расчета в Mathcad получаем зависимость фазовой скорости от частоты (рис.32).

[Гц]

[м/c]

	Рисунок 32 – График зависимости фазовой скорости от частоты

 

 

Групповая скорость в прямоугольном волноводе .

В результате расчета в Mathcad получаем зависимость групповой скорости от частоты (рис.33).

		[Гц]
	[Ом]
		[Гц]

 

[м/c]

Рисунок 33 – График зависимости групповой скорости от частоты

 

 

Волновое сопротивление в прямоугольном волноводе

 

В результате расчета в Mathcad получаем зависимость волнового сопротивления от частоты (рис.34).

 

Рисунок 34 – График зависимости волнового сопротивления от частоты

 

Поверхностное сопротивление, определяющее потери в прямоугольном волноводе равно:

, [Ом].

В результате расчета в Mathcad получаем зависимость сопротивления от частоты (рис.35).

[Гц]

[Ом]

[Гц]

	Рисунок 35 – График зависимости сопротивления затухания от частоты

 

Коэффициент затухания в прямоугольном волноводе для волны H₁₀, определяется выражением

.

В результате расчета в Mathcad получаем зависимость коэффициента затухания от частоты (рис.36).

Рисунок 36 – График зависимости коэффициента затухания от частоты

 

Пример 6. Коаксиальные линии передач.

Определим волновое сопротивление линии. Зададимся размерами внешнего и внутреннего радиуса

Для внешнего радиуса мм;

Для внутреннего радиуса мм.

Тогда волновое сопротивление можно определить следующим образом

. .

Пример 7. Расчет волнового сопротивления в полосковых линиях.

Зададим необходимые параметры полосковой линии.

Ширина полоски мм;

Толщина диэлектрика мм;

Относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика .

Тогда волновое сопротивление для несимметричной полосковой линии можно определить так , [Ом].

Волновое сопротивление для симметричной полосковой линии можно определить так , [Ом].

Примеры практических расчетов

Объемных резонаторов СВЧ

Объемным резонатором (ОР) называется объем V, заключенный между отражающими, обычно металлическими стенками S.

ОР по типу можно разделить на; а) открытые и закрытые б) отражательные и бегущей волны.

Закрытым называется ОР, стенки которого образуют замкнутую поверхность. Открытым называется ОР с незамкнутыми стенками, образующими систему отражающих зеркал.

В отражательных ОР накопление электромагнитной энергии происходит за счет установления стоячего поля как следствия переотражений от стенок резонатора. ОР бегущей волны представляет собой замкнутый на себя волновод, причем длина этой замкнутой системы на резонансной частоте . Здесь N - целое число; - длина волны в волноводе на резонансной частоте для некоторого распространяющегося типа волн.

На рис. 37 изображены резонаторы, образованные отрезками регулярных волноводов различных форм поперечных сечений с короткозамкнутыми торцевыми крышками

Рассмотрим примеры расчета прямоугольных и круглых резонаторов.

 

Пример 8. Расчет прямоугольного резонатора.

Резонансная длина волны для прямоугольного резонатора может быть рассчитана по следующей формуле

,

где линейные размеры резонатора;

целые числа (нулевой индекс соответствует той оси, вдоль которой поле однородно).

 

 

Рассчитаем длину резонатора для типа колебаний , используя следующие размеры и резонансную длину волны резонатора:

[м], [м], [м], , ; .

Определяем длину резонатора

; [м].

Пример 9. Расчет круглого резонатора.

Резонансная длина волны для круглого резонатора может быть рассчитана по следующей формуле

,

где корень функции Бесселя;

радиус резонатора;

длина резонатора.

Рассчитаем длину резонатора для типа колебаний , используя следующие размеры и резонансную длину волны резонатора:

[м], [м], , ; ;

Определяем длину резонатора

; [м].

 

 

Примеры расчета телевизионных антенн

Приемные телевизионные антенны преобразуют энергию электромагнитных волн в ВЧ-энергию, поступающую по фидеру (обычно это коаксиальный кабель) к телевизионному приемнику. От антенны в значительной степени зависит качество принимаемого сигнала, поэтому необходимо знать основные параметры антенн и особенности их конструкций. По месту установки антенны могут быть:

- комнатные, предназначенные для установки внутри помещения;

- встроенные, установленные внутри телевизора;

- наружные, предназначенные для установки вне помещений. В зависимости от диапазонных свойств антенны бывают:

- одноканальные, предназначенные для приема одного телевизионного канала;

- многоканальные, предназначенные для приема нескольких телевизионных каналов;

- диапазонные, предназначенные для приема одного, либо нескольких телевизионных диапазонов.

Широкий выбор всевозможных конструкций телевизионных антенн представлен на рынках СНГ как отечественными, так и зарубежными производителями. В предоставляемой документации зачастую содержится больше рекламы, чем объективной информации, по которой можно было бы определить их качественные показатели. Ниже рассмотрены параметры и конструктивные особенности ТВ антенн.

Параметры ТВ антенн. Антенна — устройство, которое излучает подведенную к нему высокочастотную энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство (передающая антенна) или принимает высокочастотную энергию свободных колебаний (приемная антенна) и превращает ее в энергию электромагнитных колебаний, поступающую по фидеру на вход приемного устройства.

Передающая и приемная антенны обладают свойством взаимности, т. е. одна и та же антенна может излучать или принимать электромагнитные волны, причем в обоих режимах она имеет одинаковые свойства (параметры).

К передающим антеннам предъявляют дополнительные требования, связанные с большими подводимыми мощностями ВЧ энергии, поэтому конструктивно приемные антенны проще передающих.

Свойства взаимности широко используются для определения характеристик антенн, т. к. некоторые параметры проще определять в режиме передачи, чем в режиме приема. Каждая антенна имеет целый ряд определенных характеристик, необходимых для оценки ее качества.

К основным параметрам приемных телевизионных антенн относятся следующие:

Рабочий диапазон частот (полоса пропускания) - это интервал частот, в котором выдержаны все основные параметры приемной телевизионной антенны: КСВ, коэффициент усиления, коэффициент защитного действия и др. За полосу пропускания принимается спектр частот (определяется принимаемыми телевизионными каналами), на границах которого мощность принятого сигнала уменьшается не более чем в два раза.

Диаграмма направленности приемной антенны характеризует зависимость ЭДС, наведенной в антенне электромагнитным полем, от ориентации ее в пространстве. Строится она в полярной (сферической) (рис. 38) или в прямоугольной системах (рис. 39) координат в двух характерных плоскостях (горизонтальной и вертикальной).

Рисунок 38 - Диаграмма направленности антенны в полярной

системе координат

 

При повороте антенны в ту или другую сторону от нулевого направления на диаграмме откладываются величины, соответствующие отношению Е/Е max. Если возвести в квадрат относительные значения ЭДС, соответствующие различным направлениям прихода сигнала, то можно построить диаграмму направленности по мощности.

Лепесток, соответствующий максимальному сигналу или нулевому направлению, называют основным или главным, остальные — боковыми или задними (в зависимости от расположения по отношению к главному лепестку).

 

Рисунок 39 - Диаграмма направленности антенны в

прямоугольной системе координат

Для удобства сравнения диаграмм направленности разных антенн их обычно нормируют, для чего максимальную величину ЭДС принимают за единицу.

Основным параметром диаграммы направленности является угол раствора (ширина) главного лепестка, в пределах которого ЭДС, наведенная в антенне электромагнитным полем, спадает до уровня 0, 707, или мощность, спадающая до уровня 0, 5 от максимальной. По ширине главного лепестка судят о направленных свойствах антенны. Чем эта ширина меньше, тем больше направленность антенны.

Форма диаграммы направленности зависит от типа и конструкции антенны. Диаграмма направленности полуволнового вибратора в горизонтальной плоскости, напоминает восьмерку, а в вертикальной — круг. Антенна «волновой канал» в своей диаграмме направленности имеет ярко выраженный главный лепесток, а с увеличением числа директоров в антенне главный и боковые лепестки сужаются, при этом улучшаются направленные свойства антенны.

Коэффициент направленного действия (КНД) характеризует направленные свойства антенн и представляет собой число, показывающее, во сколько раз мощность сигнала, принятая антенной, больше мощности, которую примет эталонная антенна (полуволновой вибратор). КНД (D) зависит от ширины диаграммы направленности антенны в горизонтальной и вертикальной плоскости. Приближенная формула имеет вид:

,

где k — коэффициент, равный 1°;

Н — ширина диаграммы направленности в горизонтальной плоскости, град.;

V— ширина диаграммы направленности в вертикальной плоскости, град.

На практике часто требуется оценить КНД по отношению не к ненаправленной, а к дипольной антенне. В этом случае значение КНД, вычисленное по указанной формуле, должно