Решение игр в смешанных стратегиях — КиберПедия 

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Решение игр в смешанных стратегиях

2017-11-16 544
Решение игр в смешанных стратегиях 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Пусть платежная матрица А размерности (mxn) не имеет решения в чистых стратегиях, т.е. и седловая точка отсутствует.

Поиск решения игры в этом случае сводится к случайному применению чистых стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной.

Смешанная стратегия игрока А задается m-мерным вектором вероятностей (частот) , с которыми игрок применяет свои чистые стратегии

При этом .

Аналогично, смешанная стратегия игрока В это набор вероятностей (частот) определяемый n -мерным вектором

и .

Если мы окажемся в ситуации применения стратегий игроками в сочетании (Ai,Bj), то она будет реализована с вероятностью pi.qj, а выигрыш составит величину aij. Тогда средний выигрыш игрока А можно рассчитать как математическое ожидание:

,

где p и q вектора вероятностей стратегий игроков А и В.

Стратегии p*=(p1*,p2*,…,pm*) и q*=(q1*,q2*,…,qm*) называются оптимальными смешанными стратегиями игроков, если выполнены следующие соотношения

(1.1)

Величина называется ценой игры, а рассчитанные значения решением матричной игры в смешанных стратегиях.

Необходимое и достаточное условие существования оптимального решения матричной игры в смешанных стратегиях определяется теоремой Д. Неймана. Методы решения матричных задач в смешанных стратегиях основываются на следующей теореме.

Теорема. Оптимальная смешанная стратегия p* игрока А смешивается только из тех чистых стратегий Ai, (pi* 0), для которых выполнено равенство

(1.2)

В оптимальной смешанной стратегии q* игрока В смешиваются только те стратегии Вjдля которых выполнены равенства

(1.3)

Кроме того справедливы равенства

(1.4)

 

Аналитическое решение матричной игры 2х2.

Рассмотрим матричную игру размерности (2´2) с платежной матрицей

.

Положим, что решение этой матричной игры в чистых стратегиях найти не удалось, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

,

Оптимальные стратегии p1 и p2 определим из решения системы уравнений(1.3):

или получим

Откуда имеем:

(1.5)

 

Оптимальные стратегии q1 и q2 определим из решения системы уравнений(1.2):

Аналогично, решая данную систему уравнений, получим:

(1.6)

Задача

Найти оптимальную смешанную стратегию руководителя коммерческого предприятия и гарантированный средний выигрыш при выборе из двух новых технологий продажи товаров А1 и А2, если известны выигрыши каждого вида новых технологий продажи по сравнению со старыми технологиями В1 и В2, которые представлены в виде матрицы:

 
0,3 0,8
0,7 0,4

 

Решение

  αi
0,3 0,8 0,3
0,7 0,4 0,4
βj 0,7 0,8  

 

Имеем, , . Так как α < β игра не имеет решения в чистых стратегиях и седловой точки нет.

Решение в смешанных стратегиях для игрока А (новые технологии) находим по формулам (1.5)

, ν=0,55

Выводы для А:

Коммерческое предприятие получит гарантированный средний выигрыш 0,55 усл. ед., если будет использовать новую технологию продажи с вероятностью 37,5%, а новую технологию с вероятностью 62,5%

Решение в смешанных стратегиях для игрока В (старые технологии) находим по формулам (1.6)

, ν=0,55

Выводы для В:

Коммерческое предприятие не получит проигрыш больше чем 0,55 усл. ед., если будет использовать старую технологию продажи В1 с вероятностью 50%, а старую технологию В2 с вероятностью 50%.


Поделиться с друзьями:

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьше­ния длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.008 с.