Изучение качения цилиндра по цилиндру

где А – центр кривизны большого цилиндра;

О₁ – центр малого цилиндра радиуса r;

О – точка соприкосновения внутренней поверхности большого цилиндра и внешней поверхности малого, АВ = АО₁ и точка В соответствует самому нижнему положению точки О₁ (положению устойчивого равновесия) при движении малого цилиндра;

- угол отклонения (малый) малого цилиндра от положения устойчивого равновесия.

а б

Рис.7.1. Схема качения цилиндра по цилиндру:

а - основные геометрические характеристики качения; б - проекция точки О₁ на вертикальную ось

Движение малого цилиндра радиуса r можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси О с угловой скоростью ω, – скорость центра масс (центра симметрии) малого цилиндра (массой m) в условиях отсутствия проскальзывания. Тогда

= ωr. (7.1)

С другой стороны, центр масс малого цилиндра движется вокруг точки А с линейной скоростью

(7.2)

Угол 𝜑 изменяется во времени и поэтому 𝜑 '(t) – мгновенная угловая скорость. Приравняем (7.1) и (7.2) и в результате получим

Определим частоту малых колебаний при качении малого цилиндра по внутренней поверхности большого. Для этого воспользуемся энергетическим подходом. Внешний (большой) цилиндр неподвижен.

Кинетическая энергия движения малого цилиндра состоит из кинетической энергии вращательного и поступательного движений (случай плоскопараллельного движения)

(7.3)

где J – момент инерции малого цилиндра;

m – масса малого цилиндра;

a - расстояние от мгновенной оси вращения до параллельной оси, проходящей через центр масс качающегося тела.

Потенциальная энергия связана с подъёмом центра масс малого цилиндра при его движении (см. рис. 7.1 б)

(7.4)

Здесь использована приближённая формула

справедливая при малых колебаниях.

Будем считать, что при движении потерь энергии нет, следовательно, полная механическая энергия движущегося внутреннего цилиндра сохраняется. Закон сохранения энергии

где Т – кинетическая энергия движения;

П – потенциальная энергия;

С – запас механической энергии малого цилиндра.

Используя формулы (7.3) и (7.4), получаем

(7.5)

Дифференцируем это выражение по времени t:

Угловая скорость 𝜑’(t) не всегда обращается в нуль, поэтому в данном дифференциальном уравнении её можно сократить. Получаем

(7.6)

Это уравнение малых (гармонических) колебаний. Отсюда собственная циклическая частота колебаний

(7.7)

Период колебаний

Описание оборудования

Общий вид установки для изучения качения цилиндра по цилиндру представлен на рис. 7.2. В работе используются сплошные и полые цилиндры разных размеров и масс, секундомер, штангенциркуль, линейка, треугольник, две фиксирующие призмы, аналитические весы, лист писчей или миллиметровой бумаги формата А4.

Рис. 7.2. Общий вид установки для изучения качения цилиндра по цилиндру

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицы для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Вывести формулу для периода колебаний сплошного малого цилиндра из формулы (7.8), учитывая, что момент инерции цилиндра относительно продольной оси

2. Вывести формулу для периода колебаний полого малого цилиндра из формулы (7.8), учитывая, что момент инерции полого цилиндра относительно продольной оси (см. рис. 7.3 а)

3. Результаты внести в табл. 7.1.

4. Измерить штангенциркулем радиусы малых цилиндров, на аналитических весах определить массы цилиндров.

5. Результаты внести в табл. 7.1.

6. Определить радиус кривизны внутренней поверхности большого цилиндра. Для этого приложить цилиндр к листу бумаги и обвести его внутренний контур карандашом. Выбрать две произвольные хорды (см. рис. 7.3 б), разделить их пополам и восстановить срединные перпендикуляры. Точка пересечения перпендикуляров даст центр кривизны цилиндра (точка О). Радиус кривизны определить измерением. Проделать три измерения с различными хордами и взять среднюю величину радиуса R.