Статистическая обработка прямых измерений

Пусть при определении некоторой искомой величины N было проведено n независимых опытов и получен ряд значений N_1, N₂, …, N_n. Совокупность из n значений искомой величины называется статистической выборкой, представляющей собой часть теоретически бесконечной генеральной совокупности значений величины N. Обычно при испытаниях объём выборки колеблется от 3 до 15…20 измерений.

Так как случайные ошибки измерений обычно подчиняются нормальному закону распределения, то наиболее вероятными значениями измеряемой величины будет среднее арифметическое из полученных значений измерений

(3.1)

 

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение серии из n измерений определяются по формулам

(3.2)

где - отклонение отдельных наблюдений от их среднего арифметического.

Как , так и указывают на разброс, рассеяние результатов измерений; чем они выше, тем больше разброс измерений от их среднего значения.

Характеристикой для сравнения однотипных величин служит относительная величина среднего квадратического отклонения – коэффициент вариации

(3.3)

Среднее арифметическое также является случайной величиной, распределённой по нормальному закону, которая совпадает с истинным значением измеряемой величины только при бесконечно большом количестве измерений. Поэтому необходимо указывать доверительный интервал средней арифметической для заданного уровня значимости или доверительной вероятности. Величина доверительного интервала определяется средним арифметическим значением , средним квадратическим отклонением и критерием Стьюдента (псевдоним английского химика и математика В.С. Госсета) t, который зависит от уровня выбранной доверительной вероятности и числастепеней свободы

где - истинное значение исследуемой величины;

- величина доверительного интервала, определяемая по формуле

(3.4)

Таким образом, достоверное среднее значение измеряемой величины будет определяться доверительным интервалом

 

(3.5)

Значения t табулированы для различных уровней вероятности и числа степеней свободы k = n – 1. В практике механических и физических испытаний, когда объём выборок не превышает 20, обычно уровни доверительной вероятности принимают равными 0,8; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99 (табл. 3.1).

При однократном измерении или многократно повторяющихся одинаковых показаниях прибора, величина абсолютной погрешности результата измерения оценивается приведенной относительной ошибкой прибора, которая определяется классом его точности или наименьшим делением шкалы.

Класс точности прибора указывает допустимую для него величину приведенной относительной погрешности

где - абсолютная ошибка, равная разности между показаниями рабочего и образцового приборов;

- предел измерения шкалы рабочего прибора.

Если класс точности прибора (по паспорту или тарировке) известен, например, К = 1,5; предел измерения шкалы = 150 , то абсолютная погрешность прибора будет

.

 

Когда класс точности прибора не известен, за величину его абсолютной погрешности принимают половину цены наименьшего деления шкалы.

Рекомендуется обработку измерений проводить в следующей последовательности:

1) определить среднее арифметическое;

2) вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения;

3) определить доверительный интервал для среднего арифметического при доверительной вероятности 0,90…0,99.

 

 

Таблица 3.1

 

Значения критерия Стьюдента t в функции доверительной вероятности и числа степеней свободы k = n – 1

К	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
	1,386	1,886	2,92	4,303	6,965	9,925
	1,25	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
	1,19	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
	1,134	1,44	1,943	2,447	3,143	3,707
	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3.499
	1,108	1,397	1,86	2,306	2,896	3,355
	1,1	1,383	1,833	2,262	2,821	3,25
	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
	1,079	1,35	1,771	2,16	2,65	3,012
	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
	1,071	1,337	1,746	2,12	2,583	2,921
	1,069	1,333	1,74	2,11	2,567	2,898

 

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебному пособию О.Н. Касандровой и В.В. Лебедева «Обработка результатов наблюдений», М., 1970.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить таблицы для записи вычислений и расчётные формулы.

4. Ответить на контрольные вопросы.

 

Порядок выполнения работы

Перенести в табл. 3.2, 3.3, 3.4 значения измерений линейных размеров из табл. 2.2 (лабораторная работа № 2).