Двоичное кодирование информации.

Система счислений- совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Система счисления делится на позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы счисления- римская, к позиционным системам счисления относится двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение- 5 единиц, 5 десятков, 5 сотен. Поэтому справедливы равенства (подстрочные индексы применим для указания, в какой системе счисления записано число).

555,5₁₀=5*10²+5*10¹+5*10⁰+5*10^-1,

11,01₂=1*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2

рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Сначала отметим, что 1₂+1₂=10₂. Почему? Во-первых, вспомним, как в привычной десятичной системе счисления появилась запись 10. К количеству, обозначенному старшей цифрой десятичного алфавита 9, прибавим 1. Получится количество, для обозначения которого одной цифрой в алфавите цифр уже не осталось. Приходится для полученного количества использовать комбинацию двух цифр алфавита, то есть представлять данное количество наименьшим из двухразрядных чисел: 9₁₀+1₁₀=10₁₀ . Аналогичная ситуация складывается в случае двоичной системы счисления. Здесь количество, обозначенное старшей цифрой 12 двоичного алфавита, увеличивается на единицу. Чтобы полученное количество представить в одной системе счисления, также приходится использовать два разряда. Для наименьшего из двухразрядных чисел здесь тот же единственный вариант 102, во-вторых, важно понять, что 10₂ ¹10₁₀. строго говоря, в двоичной системе счисления это и читать надо не «десять», а «один ноль». Верным являются соотношение 10₂=2₁₀. здесь слева и справа от знака равенства написаны разное обозначения одного и того же количества. Это количество просто записано с использованием алфавитов разных систем счисления- двоичная и десятичная. Вроде, как мы на русском языке скажем «яблоко», а на английском про тот же предмет –«apple», и будем правы в обоих случаях.

Сложение в двоичной системе счисления. После этих предварительных рассуждений запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел,

0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10.

Следовательно, используя известное запоминание в уме при переносе переполнения в старший разряд, получаем,

 

Вычитание в двоичной системы счисления. Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления,

0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1.

И спользуя это правело можно проверить правильность произведенного выше

сложения вычитание из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычислить в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо «занимать» недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большого числа из меньшего).

Умножение в двоичной системе счисления. Правила умножения одноразрядных двоичных чисел наиболее очевидны,

0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1.

В таком случае, записывается столбиком процесс умножения двух много разрядных двоичных чисел, получим следующий результат,

 

Затем, что при решении этого примера понадобилось в каждом разряде найти сумму четырех одноразрядных двоичных чисел. При этом мы учли, что в двоичной системе счисления.

1+1+1=10+1=11,

1+1+1+1=11+1=100.

Деление в двоичной системе счисления осуществляется так же как и в десятичной, с использованием умножения и вычитания,

 

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную (1 способ). Известно, что в десятичной системе счисления 1+1+1=3, а 1+1+1+1=4, следовательно,

3₁₀=11₂, 4₁₀=100₂.

Очевидно, что прибавлять по единице, чтобы найти представление любого десятичного числа в двоичной системе счисления, нерационально. Не приводя обоснований и общих правил перевода представления числа из одной позиционной системы счисления в другую, ограничимся краткими примерами.

Перевод целых чисел. Пусть требуется найти представление числа 12₁₀ в двоичной системе счисления (задание может быть сформулированное и так, перевести число12 из десятичной в двоичную систему счисления, или 12₁₀àX₂, где X искомое представление).

Поступаем следующим образом, делим, начиная с 12, каждое получающееся частное на основание системы, в которую переводим число, то есть на 2. Получаем.

Затем в направлении, указанном стрелкой, начиная с последнего частного (в нашем случае она всегда будет равна1), записываемого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ 12₁₀=1100₂ ..

Перевод десятичных дробей, меньше единицы. Если указанный перевод необходимо осуществить для числа меньше единицы, допустим для 0,25, то схема наших действий изменится,

Для удобства проведем вертикальную линию, отделяющую целую часть от дробной. Умножим оказавшуюся слева дробную часть на 2. Результат записываем на следующей строке, причем оставляем справа от вертикали столько разрядов, сколько было у исходной дробной части. Так как при этом произведениеравно50, то разряд слева от вертикали записываем 0. Повторяем процесс умножение на 2 числа, стоящего справа от вертикали. Результат умножения 50*2=100. Следовательно, при записи результата в следующую строку схема справа от вертикали оказываются два нуля, а единица переносится в разряд слева от вертикали. На этом процесс умножения на 2 в данном примере заканчивается, так как мы уже получили точный ответ. Ответ образует число, прочитываемое слева от вертикали направлении, указанном стрелкой (сверху вниз). Очевидно, что, если продолжать умножение дальше, мы должны были бы умножать на 2 нули справа от вертикали и, следовательно, в каждой строке слева от вертикали записывать только нули. Это были бы незначащие нули в получаемой дроби. Поэтому, получив в результате серии умножений на 2 справа от вертикали одни нули, мы заканчиваем процесс перевода десятичного дробного числа меньше единицы в двоичную систему счисления и записываем ответ 0,25₁₀=0,01₂.

Понятно, что гораздо чаще мы встречаем такую исходную десятичную дробь, когда умножение на 2 чисел, стоящих справа от вертикали, не приведет к появлению там один лишь нулей. Пусть, например, по условию задачи требуется перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,3. Поступаем описанным выше образом,

В этом случае точный ответ не может быть получен, так как процесс перевода приходится оборвать и записать с некоторой заданной точностью приблизительный ответ (конкретно в этом примере- до тех знаков после запятой), 0,3₁₀≈0,010₂ .

Перевод десятичных дробей больше единицы. В этом случае необходимо, отделив в исходном десятичном числе целую и дробную часть, провести для каждой из них независимый перевод в двоичную систему счисления указанным способом. Рассмотрим два примера, используя уже полученные результаты,

А) 12,25₁₀=12₁₀+0,25₁₀=1100₂+0,01₂=1100,01₂

Б) 12,3₁₀=12₁₀+0,3₁₀≈1100₂+0,010₂≈1100,010₂

В примере а) ответ получен точным, тогда как в примере б)из-за приблизительности перевода дробной части окончательный ответ получится также приближенный.

Наконец, остановимся на преимуществах и недостатках использования двоичной системы счисления по сравнению с любой другой позиционной системой счисления. К недостаткам относится длина записи, представляющей двоичное число. Основные преимущества- простота совершаемых операций, а также возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.

 

 

Билет4

Вопрос2