Фильтр Гаусса и его характеристики

Общее правило

Принцип работы модулятора GFSK похож на FSK, за исключением того, что сначала полоса импульсов (-1, 1) проходит через фильтр Гаусса для сглаживания, что обеспечивает уменьшения ширины его спектра, а уже после попадает в FSK. Фильтрация Гаусса — один из самых распространенных способов уменьшения ширины спектра.

Если мы используем -1 для {\displaystyle f_{c}-f_{d}} и 1 для {\displaystyle f_{c}+f_{d}}, то тогда, когда мы переходим от -1 к 1 или от 1 к -1, модулированный сигнал изменяется быстро, что приводит к появлению помех за пределами диапазона. Если мы разобьем импульс перехода от -1 к 1 например так: -1, -0,98, -0,93..... 0,96, 0,99, 1 и будем использовать этот сглаженный импульс для модуляции несущей, то количество помех за пределами диапазона будет уменьшено.

Спектр и векторная диаграмма BPSK сигнала

Поскольку BPSK сигнал можно представить как DSB сигнал, то его спектр представляет собой перенесенный на несущую частоту спектр цифрового биполярного модулирующего сигнала . На рисунке 5 показан спектр BPSK сигнала при скорости передачи информации и несущей частоте . Из рисунка 5 отчетливо видно, что спектр BPSK сигнала имеет основной лепесток и медленно убывающие боковые лепестки. На рисунке 6 показаны основные соотношения спектра BPSK и параметров исходного модулирующего сигнала.

 

Рисунок 5: Спектр BPSK сигнала	Рисунок 6: Спектральные соотношения параметров BPSK сигнала

 

Так основной лепесток спектра BPSK имеет ширину равную удвоенной скорости передачи информации , симметричен относительно несущей частоты . Уровень максимального (первого) бокового лепестка спектра равен -13 дБ. Также можно сказать о том, что ширина боковых лепестков равна .

Рассмотрим векторную диаграмму BPSK сигнала. Согласно выражению (1) синфазная компонента комплексной огибающей BPSK сигнала равна , а квадратурная компонента . При этом принимает значения , тогда векторная диаграмма BPSK сигнала показана на рисунке 7.

 

Рисунок 7: Векторная диаграмма BPSK сигнала

 

Вектор комплексной огибающей может принимать одно из двух значений (при передаче информационного нуля) и при передаче информационной единицы.

 

Выводы

Таким образом, мы рассмотрели сигналы с двоичной фазовой манипуляцией (BPSK) и показали, что BPSK – частный случай PSK при входном сигнале в виде потока биполярных импульсов, который является вырожденным и сводится к DSB сигналу. Мы рассмотрели спектр BPSK и его спектральные характеристики: ширина главного лепестка, уровень боковых лепестков. Также было введено понятие относительной или дифференциальной двоичной фазовой манипуляции DBPSK, которая позволяет устранить инверсию символов при некогерентном приеме на этапе декодирования, но ухудшает помехоустойчивость DBPSK по сравнения с BPSK ввиду размножения ошибок на этапе декодирования.

8. При квадратурной фазовой манипуляции (англ. QPSK — Quadrature Phase Shift Keying или 4-PSK) используется созвездие из четырёх точек, размещённых на равных расстояниях на окружности. Используя 4 фазы, в QPSK на символ приходится два бита, как показано на рисунке. Анализ показывает, что скорость может быть увеличена в два раза относительно BPSK при той же полосе сигнала, либо оставить скорость прежней, но уменьшить полосу вдвое.

Хотя QPSK можно считать квадратурной манипуляцией (QAM-4), иногда её проще рассматривать в виде двух независимых модулированных несущих, сдвинутых на 90°. При таком подходе чётные (нечётные) биты используются для модуляции синфазной составляющей {\displaystyle I}i EaGYas/T7JgEs7NpdpvEf9+pHvQyw+MNb76XLSbXqoH60Hg2cDNLQBGX3jZcGXjfPF3PQYWIbLH1 TAa+KcAiPz/LMLV+5DcailgpCeGQooE6xi7VOpQ1OQwz3xGL9+l7h1FkX2nb4yjhrtW3SXKvHTYs H2rsaFlT+VUcnIGxXA/bzeuzXl9tV573q/2y+Hgx5vJienwAFWmKf8dwwhd0yIVp5w9sg2oNSJH4 M8W7m4va/W6dZ/o/e34EAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAA CwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA6G1nmbkCAADDBQAA DgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEATKDpLNgAAAAD AQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAATBQAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAABgGAAAA AA== " filled="f" stroked="f">, а нечётные (чётные) — квадратурной составляющей несущей {\displaystyle Q}i EaGYas/T7JgEs7NpdpvEf9+pHvQyw+MNb76XLSbXqoH60Hg2cDNLQBGX3jZcGXjfPF3PQYWIbLH1 TAa+KcAiPz/LMLV+5DcailgpCeGQooE6xi7VOpQ1OQwz3xGL9+l7h1FkX2nb4yjhrtW3SXKvHTYs H2rsaFlT+VUcnIGxXA/bzeuzXl9tV573q/2y+Hgx5vJienwAFWmKf8dwwhd0yIVp5w9sg2oNSJH4 M8W7m4va/W6dZ/o/e34EAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAA CwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEApSGC7rkCAADDBQAA DgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEATKDpLNgAAAAD AQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAATBQAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAABgGAAAA AA== " filled="f" stroked="f">. Так как BPSK используется для обеих составляющих несущей, то они могут быть демодулированы независимо.

Когерентное детектирование[править | править вики-текст]

При когерентном детектировании вероятность ошибки на бит для QPSK такая же, как и для BPSK{\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right).}

Однако, так как в символе два бита, то значение символьной ошибки возрастает:

{\displaystyle P_{s}=1-(1-P_{b})^{2}=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-Q^{2}\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right).}При высоком отношении сигнал/шум (это необходимо для реальных QPSK систем) вероятность символьной ошибки может быть оценена приблизительно по следующей формуле:

QAM-64

Quadrature Amplitude Modulation, на русском называемый квадратурно-амплитудной модуляцией (КАМ). Он используется для передачи цифровых сигналов и предусматривает дискретное изменение состояния сегмента несущей одновременно по фазе и амплитуде.

В телевидении может применяться QAM модуляция различного уровня от 16 QAM до 256 QAM. Уровень модуляции определяет количество состояний несущей, используемых для передачи информации. Число бит, передаваемых одним состоянием, определяется как Log N где Т — уровень модуляции. Так, модуляция 16 QAM передает 4 бита информации, а модуляция 256 QAM — 8 бит. На рисунке показано пространство сигналов при модуляции 32 QAM и 64 QAM.

Векторная диаграмма сигнала при различных видах квадратурной амплитудной модуляции

Каждая точка характеризуется своим сочетанием амплитуды и фазы сигнала, поэтому соответствующий каждой точке символ переносит информацию в количестве

I = log₂N, (2.3)

где I - число битов информации, передаваемое каждым символом; N – число возможных «позиций» вектора, или точек на векторной диаграмме.

QAM256

Quadrature Amplitude Modulation, на русском называемый квадратурно-амплитудной модуляцией (КАМ). Он используется для передачи цифровых сигналов и предусматривает дискретное изменение состояния сегмента несущей одновременно по фазе и амплитуде.

В телевидении может применяться QAM модуляция различного уровня от 16 QAM до 256 QAM. Уровень модуляции определяет количество состояний несущей, используемых для передачи информации. Число бит, передаваемых одним состоянием, определяется как Log N где Т — уровень модуляции. Так, модуляция 16 QAM передает 4 бита информации, а модуляция 256 QAM — 8 бит. На рисунке показано пространство сигналов при модуляции 32 QAM и 64 QAM.

QAM1024

Quadrature Amplitude Modulation, на русском называемый квадратурно-амплитудной модуляцией (КАМ). Он используется для передачи цифровых сигналов и предусматривает дискретное изменение состояния сегмента несущей одновременно по фазе и амплитуде.

В телевидении может применяться QAM модуляция различного уровня от 16 QAM до 256 QAM. Уровень модуляции определяет количество состояний несущей, используемых для передачи информации. Число бит, передаваемых одним состоянием, определяется как Log N где Т — уровень модуляции. Так, модуляция 16 QAM передает 4 бита информации, а модуляция 256 QAM — 8 бит. На рисунке показано пространство сигналов при модуляции 32 QAM и 64 QAM.

 

Общее правило

Принцип работы модулятора GFSK похож на FSK, за исключением того, что сначала полоса импульсов (-1, 1) проходит через фильтр Гаусса для сглаживания, что обеспечивает уменьшения ширины его спектра, а уже после попадает в FSK. Фильтрация Гаусса — один из самых распространенных способов уменьшения ширины спектра.

Если мы используем -1 для {\displaystyle f_{c}-f_{d}} и 1 для {\displaystyle f_{c}+f_{d}}, то тогда, когда мы переходим от -1 к 1 или от 1 к -1, модулированный сигнал изменяется быстро, что приводит к появлению помех за пределами диапазона. Если мы разобьем импульс перехода от -1 к 1 например так: -1, -0,98, -0,93..... 0,96, 0,99, 1 и будем использовать этот сглаженный импульс для модуляции несущей, то количество помех за пределами диапазона будет уменьшено.

Фильтр Гаусса и его характеристики

ФНЧ Гаусса задается импульсной характеристикой вида:

(1)

где - безразмерная величина равная , - полоса фильтра Гаусса по уровню -3дБ, - длительность единичного импульса цифровой информации, передаваемой со скоростью .

Отметим, что (1) задает ФНЧ, причем из курса математического анализа известно, что

(2)

тогда обозначив

(3)

получим

(4)

Таким образом, ФНЧ Гаусса на нулевой частоте имеет коэффициент передачи равный 1 для любых . На рисунке 2 представлены импульсные характеристики фильтра Гаусса при и различных параметрах На рисунке 3 показана нормированная АЧХ фильтра Гаусса c нормировкой частоты . Таким образом, на рисунке 3 нормированная частота соответствует частоте .

Из рисунка 3 хорошо видно (обозначено пунктирными линиями), чтонормированная полоса фильтра Гаусса по уровню -3дБ равна .

 

7. Сигналы с двоичной фазовой манипуляцией

Рассмотрим сигнал в виде последовательности импульсов цифровой информации, как это показано на рисунке 1.

 

Рисунок 1: Униполярный и биполярный цифровой сигнал

 

На верхнем графике показан униполярный цифровой сигнал, в котором информационном логическому нулю соответствует , а на нижнем графике биполярный цифровой сигнал , в котором котором информационном логическому нулю соответствует .

Подадим цифровой сигнал в качестве модулирующего сигнала на фазовый модулятор, как это показано на рисунке 2 с девиацией фазы равной рад.

 

Рисунок 2: Формирование BPSK сигнала на основе фазвого модулятора

 

Поскольку принимает только значения равные 0 и 1, то синфазная и квадратурная компоненты комплексной огибающей BPSK сигнала равны:

(1)

Тогда BPSK сигнал можно записать:

(2)

а структурную схему модулятора можно упростить, как это показано на рисунке 3.

 

Рисунок 3: Упрощенная структурная схема BPSK модулятора

 

Внимательный читатель заметит, что эта схема точь в точь совпадает с рассмотренной ранее схемой АМ с подавлением несущей (DSB), при модулирующем сигнале . Поясняющие графики формирователя BPSK показаны на рисунке 4.

 

Рисунок 4: Поясняющие графики BPSK модулятора

 

Информация передается со скоростью бит/c, длительность одного импульса цифровой информации равна . Исходный модулирующий сигнал умножается на несущее колебание ( на рисунке ) и получаем фазоманипулированный сигнал со скачком фазы на рад. Такой же скачок фазы мы наблюдали при формировании DSB сигнала. Таким образом BPSK модуляция – вырожденный тип фазовой манипуляции, который совпадает с балансной амплитудной модуляцией при биполярном цифровом модулирующем сигнале.