Определение модуля Юнга по растяжению проволоки.

МЕХАНИКА

ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Тема: ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Введение

Деформация тел - изменение их размеров и формы - происходит под действием сил, приложенных к данным телам.

Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия силы, и пластической, если она сохраняется и после снятия нагрузки.

Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую сила действует, называется напряжением или усилием. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела, т.е. весь его объем оказывается в напряженном состоянии. Если сила F _n направлена по нормали (т.е. перпендикулярно) к поверхности, то напряжение называется нормальным и обозначается буквой σ:

(1)

Если сила F _t направлена по касательной к поверхности, то напряжение называется тангенциальным и обозначается буквой τ:

 

(2)

Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжение (или сжатие), возникающие при нормальных напряжениях, и сдвиг под действием касательных напряжений.

Деформация растяжения. Деформация растяжения возникает под действием сил F _n, направленных по нормали к той поверхности, к которой они приложены.

Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы F ₁и F ₂ (F ₁ = F ₂ = F_n), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня L получит положительное (при растяжении) или отрицательное (при сжатии) приращение Δ L (рис. 1). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня l получает приращение Δ l, пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ l / l оказывается одинаковым. Следовательно, в качестве величины, характеризующей деформацию стержня, можно взять его относительное удлинение:

	(3)
Рис. 1

Из (3) видно, что ε - безразмерная величина. В случае растяжения ε > 0, в случае сжатия ε < 0. Из опыта известно, что относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

,

(4)

где α называется коэффициентом упругости и зависит только от свойств материала стержня.

Воспользовавшись данным выше определением нормального напряжения (1), выражение (4) можно записать:

(5)

т. е. относительное удлинение пропорционально нормальному напряжению.

Для характеристики упругих свойств материала наряду с коэффициентом упругости α пользуются обратной ему величиной, которая называется модулем Юнга:

(6)

Таким образом, выражение (5) принимает вид

(7)

Отсюда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение ε было бы равно единице (т.е. приращение длины Δ L, было бы равно первоначальной длине).

С учетом (1) и (3) соотношение (7) может быть приведено к следующему виду:

(8)

где k - постоянный для данного стержня коэффициент.

Согласно выражению (8) удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Это соотношение выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.

 

Деформация сдвига. Деформация сдвига возникает под влиянием сил F_t, касательных к той поверхности, на которую они действуют. Под влиянием этих сил происходит параллельный сдвиг одного слоя тела относительно другого. Любая прямая, проходящая вначале перпендикулярно к слоям, после их сдвига окажется повернутой на некоторый угол ψ (рис. 2).

		При малом значении угла ψ приближенно имеем , (9) где d - толщина тела, bb' -абсолютная величина сдвига верхнего слоя относительно нижнего. Угол сдвига ψ характеризует относительный сдвиг слоев, и в пределах применимости закона Гука можно написать
	Рис. 2
	(10)

Используя определение тангенциального напряжения (2), получаем:

(11)

т.е. угол сдвига будет прямо пропорционален приложенному к телу усилию. Постоянная величина n, зависящая от материала тела, называется коэффициентом сдвига. Величина G, обратная коэффициенту сдвига, называется модулем сдвига

(12)

 

Если угол ψ равен одному радиану, то G = τ, т.е. в пределах упругости модуль сдвига численно равен касательному усилию, вызывающему угол сдвига, равный одному радиану.

Деформация сдвига имеет место, например, при закручивании однородного круглого стержня. Если один конец круглого стержня закрепить неподвижно, а к другому приложить вращательный момент, то одно основание стержня повернется вокруг оси стержня на некоторый угол относительно другого основания. Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой деформацию сдвига. Действительно, если разбить стержень на элементарные коаксиальные слои, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям.

Можно показать [2], произведя расчет, что угол закручивания цилиндрического стержня будет определяться следующим выражением:

(13)

где L - длина стержня, r - радиус стержня, M - момент силы, действующей на стержень, G - модуль сдвига. Обозначив величину

(14)

имеем

(15)

Это соотношение выражает закон Гука при кручении. Величину χ называют модулем кручения, в отличие от модуля сдвига. Она характеризует конкретный стержень и зависит от его размеров [1].

 

Лабораторная работа № 5

Содержание отчета.

1. Значения измеренных величин L, d и R, и их погрешностей.
2. Расчет значения углового коэффициента а и его доверительных границ по методу наименьших квадратов по пяти измеренным значениям.
3. Расчет значения модуля Юнга по формуле (5.10) и его доверительных границ по формуле (5.11) в системе СИ.
4. График зависимости Р = f(х – х₀) и угловой коэффициент этой прямой, определенный из графика.

 

Контрольные вопросы

1. Какие бывают виды деформаций?
2. Каков физический смысл модуля Юнга?
3. Как формулируется закон Гука и при каких условиях он справедлив?

 

Лабораторная работа № 6

Содержание отчета.

1. Общий вес грузов на грузодержателях выраженный в ньютонах (Н), отсчет по шкале осветителя d и расстояние D от зеркальца на установке до шкалы в миллиметрах.

2. Расчет величины углов поворота стержня для всех нагрузок.

3. График зависимости угла поворота стержня в радианах от величины груза в ньютонах. Эта зависимость должна быть линейной. По графику необходимо определить приблизительное значение тангенса угла наклона этой прямой к оси абсцисс – tg θ.

4. Расчет по методу наименьших квадратов tg θ.

5. Расчет величины G по формуле (6.6).

6. Расчет погрешности модуля сдвига по формуле (6.7).

7. Окончательный результат модуля сдвига с погрешностью в системе СИ.

 

Контрольные вопросы

s Чем отличается деформация кручения от деформации растяжения?

s В каких случаях зависимость φ = f(P) будет линейной?

s Что дает использование зеркальца в данной работе?

s Что такое модуль кручения? Как он связан с модулем сдвига?

 

 

Лабораторная работа 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА КРУГЛОГО СТЕРЖНЯ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с введением по теме: “Деформация твердого тела”

Физическое обоснование эксперимента

Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина М, определяемая выражением: , где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси С называется физическая величина равная сумме произведений их масс на квадраты расстояний до оси: I = S m_ir_i²

К твердому телу, совершающему вращательные движения, может быть применен закон вращательного движения

,

(7.1)

где М – момент возвращающей силы относительно оси вращения, I – момент инерции тела относительно той же оси, – угловое ускорение.

Если закрепить верхний конец круглого стержня, а нижний конец с прикрепленным к нему диском повернуть на угол φ и отпустить, то стержень может совершать крутильные колебания, при этом роль момента возвращающей силы будет выполнять момент силы упругости деформированного стержня.

Из уравнения (15) и третьего закона Ньютона видно, что момент силы равен

.

(7.2)

Подставляя это значение в (7.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее движение колеблющегося стержня

.

(7.3)

Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением этого уравнения является функция вида φ = φ_оcos(ω t + α), где - круговая частота.

Период таких колебаний равен соответственно:

.

(7.4)

Отсюда можно найти выражение для модуля сдвига G, если в (7.4) подставить значение величины χ из (14): .

Окончательно имеем

.

(7.5)

Таким образом, для определения модуля сдвига G методом крутильных колебаний необходимо определить длину стержня L, его радиус r, момент инерции колеблющегося тела I и период его колебаний T.

Для расчета момента инерции рассматриваемого маятника используется дополнительное массивное кольцо K, момент инерции которого I _o можно вычислить из геометрических размеров:

,

(7.6)

где R ₁ и R ₂ – внутренний и внешний радиусы кольца, m – его масса.

Если положить такое кольцо концентрически на диск (рис.7.1), то момент инерции получившейся системы будет равен (I + I _o), т. к. момент инерции величина аддитивная. Период крутильных колебаний Т ₁ этой системы в соответствии с формулой (7.4) будет:

.

(7.7)

Из выражений (7.7) и (7.4) получаем

.

(7.8)

Таким образом, определив момент инерции крутильного маятника, можно по формуле (7.5) можно определить модуль сдвига G.

Метод исследования и описание установки

Рис. 7.1

К нижнему концу зажатой вверху толстой проволоки, играющей роль круглого стержня, прикреплен горизонтальный диск (рис. 7.1). На этот диск может накладываться дополнительно массивное кольцо К. На диске Д нанесена стрелка, которая при положении равновесия должна находиться против неподвижной метки на стене.

 

Приложение

Графики и их построение

В лабораторных работах исследуемые зависимости нередко должны быть представлены в виде графиков. График позволяет очень наглядно, лучше, чем любая таблица, представить особенности функциональной зависимости изучаемых величин, сравнить экспериментальные данные с теоретической функцией, установить опытные соотношения между двумя физическими величинами (например, при градуировке того или иного прибора).

График нужно строить только на специальной миллиметровой бумаге. Имеется обычная миллиметровая бумага, используемая чаще всего; полулогарифмическая бумага, удобная, когда связь между переменными физическими величинами логарифмическая или экспоненциальная y ~ lg x, y ~ e ^kx и двойная логарифмическая, которую удобно использовать при связи переменных вида y ~ x^a.

По оси абсцисс графика следует откладывать аргумент, задаваемую величину, а по оси ординат – величину определяемую. На осях указываются обозначения и единицы откладываемой величины.

Масштаб должен быть простым (например, одному см на графике должна соответствовать единица измеряемой величины или какая-либо ее десятичная часть). При увеличенном масштабе также следует брать в 1 см на графике 10, 100 и т.д. единиц измеряемой величины. Можно брать в оном сантиметре ½, ¼ или 2 и 5 единиц измеряемой величины, но других масштабов следует избегать.

Масштабы, откладываемые по координатным осям, должны быть такими, чтобы экспериментальная кривая занимала всю плоскость чертежа, и наклон ее основной части был около 45^о. Не нужно стараться поместить на графике точку начала координат. На графике должен помещаться лишь тот интервал значений изучаемых величин, который исследовался в эксперименте.

На графике наносятся все экспериментальные точки. Кривая должна проводиться плавно и так, чтобы число точек по одну и по другую сторону кривой было одинаковым. Кривая не должна закрывать опытных точек, так как она представляет лишь толкование эксперимента, а точки – сам результат эксперимента.

График должен иметь заголовок и подпись с пояснениями и обозначениями (если на графике несколько кривых и несколько серий экспериментальных точек).

 

МЕХАНИКА

ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Тема: ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Введение

Деформация тел - изменение их размеров и формы - происходит под действием сил, приложенных к данным телам.

Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия силы, и пластической, если она сохраняется и после снятия нагрузки.

Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую сила действует, называется напряжением или усилием. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела, т.е. весь его объем оказывается в напряженном состоянии. Если сила F _n направлена по нормали (т.е. перпендикулярно) к поверхности, то напряжение называется нормальным и обозначается буквой σ:

(1)

Если сила F _t направлена по касательной к поверхности, то напряжение называется тангенциальным и обозначается буквой τ:

 

(2)

Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжение (или сжатие), возникающие при нормальных напряжениях, и сдвиг под действием касательных напряжений.

Деформация растяжения. Деформация растяжения возникает под действием сил F _n, направленных по нормали к той поверхности, к которой они приложены.

Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы F ₁и F ₂ (F ₁ = F ₂ = F_n), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня L получит положительное (при растяжении) или отрицательное (при сжатии) приращение Δ L (рис. 1). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня l получает приращение Δ l, пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ l / l оказывается одинаковым. Следовательно, в качестве величины, характеризующей деформацию стержня, можно взять его относительное удлинение:

	(3)
Рис. 1

Из (3) видно, что ε - безразмерная величина. В случае растяжения ε > 0, в случае сжатия ε < 0. Из опыта известно, что относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

,

(4)

где α называется коэффициентом упругости и зависит только от свойств материала стержня.

Воспользовавшись данным выше определением нормального напряжения (1), выражение (4) можно записать:

(5)

т. е. относительное удлинение пропорционально нормальному напряжению.

Для характеристики упругих свойств материала наряду с коэффициентом упругости α пользуются обратной ему величиной, которая называется модулем Юнга:

(6)

Таким образом, выражение (5) принимает вид

(7)

Отсюда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение ε было бы равно единице (т.е. приращение длины Δ L, было бы равно первоначальной длине).

С учетом (1) и (3) соотношение (7) может быть приведено к следующему виду:

(8)

где k - постоянный для данного стержня коэффициент.

Согласно выражению (8) удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Это соотношение выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.

 

Деформация сдвига. Деформация сдвига возникает под влиянием сил F_t, касательных к той поверхности, на которую они действуют. Под влиянием этих сил происходит параллельный сдвиг одного слоя тела относительно другого. Любая прямая, проходящая вначале перпендикулярно к слоям, после их сдвига окажется повернутой на некоторый угол ψ (рис. 2).

		При малом значении угла ψ приближенно имеем , (9) где d - толщина тела, bb' -абсолютная величина сдвига верхнего слоя относительно нижнего. Угол сдвига ψ характеризует относительный сдвиг слоев, и в пределах применимости закона Гука можно написать
	Рис. 2
	(10)

Используя определение тангенциального напряжения (2), получаем:

(11)

т.е. угол сдвига будет прямо пропорционален приложенному к телу усилию. Постоянная величина n, зависящая от материала тела, называется коэффициентом сдвига. Величина G, обратная коэффициенту сдвига, называется модулем сдвига

(12)

 

Если угол ψ равен одному радиану, то G = τ, т.е. в пределах упругости модуль сдвига численно равен касательному усилию, вызывающему угол сдвига, равный одному радиану.

Деформация сдвига имеет место, например, при закручивании однородного круглого стержня. Если один конец круглого стержня закрепить неподвижно, а к другому приложить вращательный момент, то одно основание стержня повернется вокруг оси стержня на некоторый угол относительно другого основания. Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой деформацию сдвига. Действительно, если разбить стержень на элементарные коаксиальные слои, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям.

Можно показать [2], произведя расчет, что угол закручивания цилиндрического стержня будет определяться следующим выражением:

(13)

где L - длина стержня, r - радиус стержня, M - момент силы, действующей на стержень, G - модуль сдвига. Обозначив величину

(14)

имеем

(15)

Это соотношение выражает закон Гука при кручении. Величину χ называют модулем кручения, в отличие от модуля сдвига. Она характеризует конкретный стержень и зависит от его размеров [1].

 

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ПО РАСТЯЖЕНИЮ ПРОВОЛОКИ.

Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с введением по теме: "Деформация твердого тела."

 

Постановка экспериментальной задачи. Преобразуя уравнение (8), можно получить выражение для определения модуля Юнга

(5.1)

Таким образом, для нахождения модуля Юнга надо определить удлинение проволоки ∆L под действием приложенной к ней силы F при известных длине проволоки L и площади поперечного сечения.

 

Описание экспериментальной установки. Установка (рис. 5.1)

Рис. 5.1	Рис 5.2

состоит из проволоки, закрепленной в кронштейне А, к нижнему концу которой на оправе В подвешивается груз Р, вес которого играет роль деформирующей силы. Оправа В соединена с горизонтальным рычагом С, который фиксирует вертикальное положение проволоки и делает невозможными маятникообразные раскачивания оправы. Рычаг С фиксируется винтом V для предохранения проволоки от толчков при снимании и подвешивании гирь. Груз Q небольшого веса служит для распрямления проволоки. Для определения удлинения проволоки под действием груза служит зеркальце ON, прикрепленное вертикально к горизонтальному рычагу ОВ, опирающемуся на поверхность оправы В, а также вертикальная шкала F и осветитель D.

Пусть под действием силы веса груза Р рычаг ОВ повернулся на угол ВОВ' = α (рис. 5.2). Тогда и зеркальце ON отклонится на равный ему угол NОN'. При этом луч, вышедший из точки D, отразившись от зеркала ОN', попадет в точку F на шкале. Так как плоскости зеркальца и рычага взаимно перпендикулярны, то луч ОЕ, проведенный через точку В', является нормалью к поверхности ОN' и условие равенства углов падения и отражения будет иметь вид:

DOE = EOF = α.

(5.2)

Восстановив из точки В' перпендикуляр, получим отрезок В'К, длина которого равна вертикальной составляющей смещения рычага ОВ. Из треугольника КОВ' следует:

В'К = r sinα,

(5.3)

где r – длина рычага ОВ или ОВ'.

Если обозначить расстояние от зеркальца до шкалы R, то из треугольника DOF с учетом (5.2) имеем:

х/R = tg2 α,

(5.4)

где x - отсчет на шкале, являющийся координатой точки F. Воспользуемся малостью угла α:

tg2 α = 2 tg α = 2 sinα

(5.5)

Теперь выражение (5.3) можно записать:

В'К = r х/2R

(5.6)

Кроме растяжения проволоки груз Р производит прогиб кронштейна А. Поэтому длина отрезка В'К складывается из удлинения проволоки ∆L и прогиба кронштейна АА' (на рисунке не обозначено).

Чтобы определить величину прогиба кронштейна, груз следует подвесить на крючок, соединенный посредством двух шнуров с перекладинами кронштейна, и получить отсчет x₀ на шкале, являющийся координатой точки F ₀, в которую в этом случае попадет отраженный от зеркальца луч.

Величина АА' рассчитывается аналогично величине В'К:

АА' = r х0/2R

(5.7)

Используя выражения (5.6) и (5.7) получаем, что удлинение проволоки равно:

∆L = В'К - АА' = r(х - х0)/2R

(5.8)

Подставляя в (5.1) значение ∆L, а также площадь поперечного сечения проволоки, находим величину модуля Юнга:

,

(5.9)

где d – диаметр проволоки.

Порядок выполнения работы.

1. Произвести при помощи миллиметровой линейки однократное измерение длины проволоки L ирасстояния от шкалы до зеркальца R, а также пять раз измерить диаметр проволоки d при помощи микрометра. Длина r рычага ОВ указана на установке.

2. Взять грузы 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 кг и снять для них отсчеты x₀ и x, для чего каждый груз следует подвешивать дважды: на крючок, соединенный с перекладинами кронштейна и на крючок проволоки.