Глава 8. Электромагнитные колебания и волны

Контрольные вопросы

1. Какое устройство называется колебательным контуром? Чему равна собственная частота w_о колебательного контура?

2. Каким уравнением описываются собственные электромагнитные колебания в колебательном контуре? Что дает его решение?

3. Запишите уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Охарактеризуйте величины, входящие в него.

4. Запишите уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение.

5. В чем состоит физическая сущность теории электромагнитного поля Максвелла? Запишите главные уравнения этой теории в интегральном виде.

6. Какие следствия вытекали из теории Максвелла, кем и как они были экспериментально подтверждены?

7. Рассмотрите внимательно шкалу электромагнитных излучений.

8. Чему равна плотность энергии электромагнитного поля? Что такое вектор Умова – Пойнтинга? Чему равны средние значения плотности энергии и плотности потока энергии электромагнитной волны?

9. Какой ток называется переменным? Какие значения вводятся для его характеристики? Как они связаны между собой?

10. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока?

11. Выведите закон Ома для полной цепи переменного тока, используя метод векторных диаграмм.

12. Чему равна мощность переменного тока? Как можно увеличить коэффициент мощности? Когда он будет максимальным?

Основные формулы

Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре с электроемкостью C, индуктивностью L, сопротивлением R

.

Если R - мало и , то период собственных незатухающих колебаний

.

Если R ¹ 0, то колебания будут затухающими и напряжение на обкладках конденсатора будет изменяться по закону

,

если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшему значению напряжения, где - коэффициент затухания, d = b T - логарифмический декремент затухания

.

- время релаксации (амплитуда за это время убывает в e раз). Тогда , где N - число колебаний, после совершения которых амплитуда убывает в e раз.

 

Закон Ома для цепи переменного тока

,

где I - эффективное значение силы тока ; U - эффективное значение напряжения ; - полное сопротивление цепи, R - активное сопротивление, R _L = w L - индуктивное (реактивное) сопротивление цепи, R _C = 1/ w C - емкостное (реактивное) сопротивление цепи (при их последовательном соединении).

Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

.

Средняя мощность в цепи переменного тока

,

где cos j = R/Z.

 

Методические указания

1. Методы решения задач на электромагнитные колебания сходны с методами решения задач на механические колебания. Сходство это обусловлено одинаковой структурой уравнений тех и других колебаний. При этом заряд q соответствует смещению x, омическое сопротивление R - коэффициенту сопротивления среды r, индуктивность L - массе m, емкость C - величине, обратной k.

2. При расчете электрических цепей переменного тока следует помнить, что между токами, как и между напряжениями на отдельных участках цепи возникает сдвиг фаз. Поэтому токи и напряжения (действующие и амплитудные) в цепях переменного тока надо складывать по правилу векторных величин. Законы последовательного и параллельного соединения в цепях переменного тока аналогичны законам для постоянного тока только для мгновенных значений токов и напряжений.

ЗАДАЧИ

123. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 888 пФ и катушки с индуктивностью 2 мГн. На какую длину волны настроен контур?

[2500 м]

124. На какой диапазон длин волн можно настроить колебательный контур, если его индуктивность 2 мГн, а емкость может меняться от 69 до 533 пФ?

[от 700 м до 1950 м]

125. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид U = 50 cos 10⁴ p t В. Емкость конденсатора 0,1 мкФ. Найти период колебаний, индуктивность контура, закон изменения со временем тока в цепи и длину волны, соответствующую этому контуру.

[0,2 мс; 10,15 мГн; мА; 60 км]

126. Уравнение изменения со временем тока в колебательном контуре имеет вид I = - 0,02sin400p t А. Индуктивность контура 1 Гн. Найти период колебаний, емкость контура, максимальную энергию магнитного поля и максимальную энергию электрического поля.

[5 мс; 0,63 мкФ; 25,2 В; 0,2 мДж; 0,2 мДж]

127. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 7 мкФ и катушки с индуктивностью 0,23 Гн и сопротивлением 40 Ом. Обкладки конденсатора имеют заряд 0,56 мКл. Найти период колебаний контура и логарифмический декремент затухания колебаний. Написать уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора. Найти разность потенциалов в моменты времени, равные T /2, T, 3 T /2 и 2 T. Построить график U=f(t) в пределах двух периодов.

[8 мс; 0,7; ; -56,5 В; 40 В; - 28 В; 20 В]

128. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,2 мкФ и катушки с индуктивностью 5,07 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за 1 мс уменьшится в три раза? Каково при этом сопротивление контура.

[0,22; 11,1 Ом]

129. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного 10 см² включена в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Число витков катушки 3000. Найти сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током 60^о.

[4,1 Ом]

130. Обмотка катушки состоит из 500 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 1 мм². Длина катушки 50 см ее диаметр 5 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление катушки вдвое больше ее активного сопротивления?

[300 Гц]

131. Два конденсатора с емкостям 0,2 и 0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Найти ток в цепи и падение потенциала на первом и втором конденсаторах.

[4,6 мА; 73,4 В; 146,6 В]

132. Катушка длиной 25 см и радиусом 2 см имеет обмотку из 1000 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 1 мм². Катушка включена в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Какую часть полного сопротивления катушки составляют ее активное и индуктивное сопротивления?

[74%; 68%]

133. Катушка с активным сопротивлением 10 Ом включена в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током 60^о.

[55 мГн]

134. Найти формулы для полного сопротивления цепи и сдвига фаз между напряжением и током при различных способах включения сопротивления, емкости и индуктивности. Рассмотреть случаи:

а) сопротивление и емкость включены последовательно;

б) сопротивление и емкость включены параллельно;

в) сопротивление и индуктивность включены последовательно;

г) сопротивление и индуктивность включены параллельно;

д) сопротивление, емкость и индуктивность включены последовательно.

[а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ]

Вопросы для экзамена (зачета) по электромагнетизму.

1. Два рода электричества. Дискретность электрического заряда. Элементарный заряд. Закон сохранения электрического заряда.

2. Закон Кулона и границы его применимости.

3. Электростатическое поле и его силовые характеристики. Графическое изображение электростатического поля. Напряженность поля точечного заряда. Принцип суперпозиции.

4. Теорема Остроградского-Гаусса и ее частные случаи.

5. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле (общий случай и случай точечного заряда). Циркуляция вектора напряженности. Потенциальный характер электростатического поля.

6. Потенциал. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Эквипотенциальная поверхность.

7. Связь между напряженностью и потенциалом. Использование этой связи для нахождения потенциала.

8. Электроемкость. Емкость плоского и сферического конденсаторов. Соединение конденсаторов в батареи и их емкость.

9. Диэлектрики. Виды диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Поле в диэлектрике.

10. Энергия системы зарядов и заряженного проводника.

11. Энергия заряженного конденсатора. Энергия и плотность энергии электростатического поля.

12. Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока. Закон Ома для однородного участка цепи.

13. Сопротивление. Удельное сопротивление. Зависимость сопротивления от температуры. Соединение сопротивлений и расчет сопротивления батарей.

14. Источники тока. ЭДС. Закон Ома для полной цепи постоянного тока.

15. Закон Ома в дифференциальной и обобщенной формах.

16. Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

17. Природа электрического тока в металлах. Основные положения классической теории электропроводности металлов, ее успехи и трудности.

18. Поверхностный потенциал. Работа выхода электрона из металла. Контактная разность потенциалов и ее законы.

19. Магнитное поле тока. Силовые линии. Индукция и напряженность. Вихревой характер магнитного поля.

20. Закон Био – Савара – Лапласа и его частные случаи.

21. Закон Ампера в интегральной и дифференциальной формах. Направление силы Ампера. Взаимодействие двух параллельных токов.

22. Магнитный поток и его вычисление. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

23. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. Сила Лоренца. Ее величина, направление и использование для управления движением заряженных частиц.

24. Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). ЭДС индукции. Правило Ленца.

25. Самоиндукция и индуктивность. Проявление индуктивности в электрических цепях.

26. Энергия и плотность энергии магнитного поля.

27. Взаимодействие магнитного поля с веществом. Вектор намагниченности. Магнитное поле в веществе.

28. Диа-, пара-, ферромагнетики и их свойства.

29. Переменный ток. Получение переменной ЭДС. Мгновенное, среднее и действующее значения переменного тока. Работа и мощность переменного тока.

30. Сопротивление и индуктивность в цепи переменного тока. Векторная диаграмма. Закон Ома.

31. Сопротивление и электроемкость в цепи переменного тока. Векторная диаграмма. Закон Ома.

32. Сопротивление, индуктивность и электроемкость в цепи переменного тока. Векторная диаграмма. Закон Ома. Резонанс напряжений.

33. Электрический колебательный контур. Собственные колебания. Формула Томсона.

34. Затухающие колебания. Уравнение, график и характеристики.

35. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Физическая сущность теории Максвелла.

36. Волновое уравнение. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме и следствия из них.

37. Экспериментальное открытие и исследование электромагнитных волн.

38. Уравнение плоской электромагнитной волны и ее характеристики. Шкала электромагнитных волн.

39. Плотность энергии электромагнитного поля. Поток и плотность потока энергии электромагнитного поля.

Приложение

Таблица 1. Фундаментальные физические константы

Гравитационная постоянная	G = 6,6720×10 -11 Н×м2/кг2
Скорость света в вакууме	c = 2,99792458×108 м/с
Магнитная постоянная	mo = 12,5663706144×10-7 Гн/м
Электрическая постоянная	eo = 8,85418782×10-12 Ф/м
Постоянная Планка	h = 6,626176×10-34 Дж×с
Масса покоя электрона	me = 9,109534×10-31 кг
Масса покоя протона	mp = 1,6726485×10-27 кг
Масса покоя нейтрона	mn = 1,6749543×10-27 кг
Элементарный заряд	e = 1,6021892×10-19 Кл
Атомная единица массы	1 a.e.м. = 1,6605655×10-27 кг
Постоянная Авогадро	NA = 6,022045×1023 моль-1
Постоянная Фарадея	F = 96,48456×103 Кл/моль
Молярная газовая постоянная	R = 8,31441 Дж/(моль× К)
Молярный объем идеального газа при нормальных условиях	Vo = 22,41383×10-3 м3/моль
Постоянная Больцмана	k = 1,380662×10-23 Дж/К

Таблица 2. Астрономические постоянные

Радиус Земли	6,378164×106 м
Средняя плотность Земли	5,518×103 кг/м3
Масса Земли	5,976×1024 кг
Радиус Солнца	6,9599×108 м
Масса Солнца	1,989×1030 кг
Радиус Луны	1,737×106 м
Масса Луны	7,35×1022 кг
Среднее расстояние до Луны	3,844×108 м
Среднее расстояние до Солнца	1,49598×1011 м
Период обращения Луны вокруг Земли	27 сут 7 ч 43 мин
Средняя плотность Солнца	1,41×103 кг/м3

Таблица 3. Эффективные диаметры атомов и молекул (нм)

Гелий	0,20	Кислород	0,30
Водород	0,23	Азот	0,30

Таблица 4. Свойства некоторых жидкостей

Вещество	Плотность, 103 кг/м3	Удельная теплоемкость, Дж/(кг×К)	Поверхностное натяжение, Н/м
Бензол	0,88		0,03
Вода	1,00		0,073
Глицерин	1,20		0,064
Касторовое масло	0,90		0,035
Керосин	0,80		0,03
Ртуть	13,60		0,5
Спирт	0,79		0,02

Таблица 5. Свойства некоторых твердых тел

Вещество	Плотность, 103 х кг/м3	Температура плавления, Со	Удельная теплоемкость, Дж/(кг×К)	Удельная теплота плавления, кДж/кг	Температурный коэффициент линейного расширения, 10-5 К-1
Алюминий	2,6				2,3
Железо	7,9				1,2
Латунь	8,4			-	1,9
Лед	0,9				-
Медь	8,6				1,6
Олово	7,2			58,6	2,7
Платина	21,4				0,89
Пробка	0,2	-		-	-
Свинец	11,3			22,6	2,9
Серебро	10,5				1,9
Сталь	7,7			-	1,06
Цинк	7,0				2,9

Таблица 6. Критические значения T _к и Р _к

Вещество	Tк, К	Рк, Па
Азот		3,4
Аргон		4,87
Вещество	Tк, К	Рк, Па
Водород		1,3
Водяной пар		22,0
Гелий	5,2	0,23
Кислород		5,07
Углекислый газ		7,38

Таблица 7. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

Воск	7,8	Слюда
Вода		Стекло
Керосин		Фарфор
Масло		Эбонит	2,6
Парафин		Парафин. бумага

Таблица 8. Удельное сопротивление проводников (при 0 ⁰С), мкОм×м

Алюминий	0,025	Нихром
Графит	0,039	Олово	0,115
Железо	0,087	Ртуть	0,94
Медь	0,017	Свинец	0,22
Молибден	0,057	Серебро	0,016
Никель	0,100	Сталь	0,10

Таблица 9. Работа выхода электронов из металла, эВ

Платина	5,3	Натрий	2,3
Серебро	4,74	Калий	2,0
Литий	2,4	Цезий	1,9

Таблица 10. Показатели преломления

Алмаз	2,42	Лед	1,31	Скипидар	1,48
Вода	1,33	Сероуглерод	1,63	Стекло	1,5-1,9

Таблица11.Массы некоторых изотопов, в а.е.м.

Изотоп	Масса	Изотоп	Масса
	1,00783		13,00574
	2,01410		14,00307
	3,01605		16,99913
	3,01603		22,99413
	4,00260		23,98504
	6,01512		26,98154
	7,01600		29,97377
	7,01693		39,96257
	8,00531		55,93984
	9,01218		62,92960
	10,01294		199,96832
	12,0		235,04393
	13,00335		238,05353

Таблица 12. Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов

	5568 лет		3,82 сут
	164 сут		1590 лет
	28 лет		7,1.108 лет
	138 сут		4,5.109 лет