Определители 2-го и 3-го порядков

Глава II. Определители

Понятие определителя

Определители 2-го и 3-го порядков

1.1.1. Определение. Пусть дана квадратная матрица A второго порядка . Определителем матрицы A называется число a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂.

Определитель матрицы обозначается через , то есть, обозначение определителя матрицы второго порядка аналогично обозначению самой матрицы, только таблица заключается не в круглые скобки, а в прямые.

Таким образом, = a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂. Например, =1×8-4×(-1)= =8+4=12.

1.1.2. Определение. Пусть дана матрица третьего порядка

.

Определителем этой матрицы называется число

a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃,

и оно обозначается, аналогично определителю матрицы второго порядка, через

.

Таким образом,

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃.

Если формула для определителя матрицы второго порядка запоминается просто, то для определителя матрицы третьего порядка формула несколько сложнее. Тем не менее, следующее правило Саррюса относительно просто позволяет запомнить эту формулу.

Составляем произведения элементов главной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, как показано на диаграмме 1. Эти произведения берутся со знаком «+»

	Диаг.1

 

Составляем произведение элементов побочной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали, как показано на диаграмме 2. Эти произведения берутся со знаком «-».

	Диаг.2

 

Например,

=3×1×6+2×(-2)×0+5×(-1)×4-5×1×0-2×(-1)×6-3×(-2)×4=18-20+12+24=34.

Всюду в дальнейшем под определителями 2-го и 3-го порядков будут подразумеваться определители матриц соответствующих порядков.

Общее понятие определителя

1.2.1. Определение. Выберем в квадратной матрице второго порядка какую-нибудь строку, в общем случае i -ю, и какой-нибудь столбец, в общем случае j -й, и исключим их из матрицы. Оставшийся элемент назовём минором элементаa_ij и обозначим его через M_ij. Число A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A.

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= a ₂₂, A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂=- a ₂₁,

A ₂₁=(-1)²⁺¹ M ₂₁=- a ₁₂, A ₂₂=(-1)²⁺² M ₂₂= a ₁₁,

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂= a ₂₁ A ₂₁+ a ₂₂ A ₂₂= a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁= a ₁₂ A ₁₂+ a ₂₂ A ₂₂.

Аналогичное проделаем с квадратной матрицей третьего порядка. Именно, исключив i -ю строку и j -й столбец, получим матрицу второго порядка, определитель которой называется минором элементаa_ij и обозначается через M_ij, A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij. Заметим, что

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁+ a ₃₁ A ₃₁,

и, вообще,

det A = a _{1 i} A _{1 i} + a _{2 i} A _{2 i} + a _{3 i} A _{3 i} ,

а также

det A = a_{i 1} A_{i 1}+ a_{i 2} A_{i 2}+ a_{i 3} A_{i 3}

для любого i =1, 2, 3.

Пусть теперь дана матрица четвёртого порядка

A = .

Проделав ту же процедуру, что и с матрицами 2-го и 3-го порядков, введём для элементов a_ij этой матрицы миноры M_ij и алгебраические дополнения A_ij.

Определителем матрицы 4-го порядка называется число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄.

Например, вычислим следующий определитель, исходя из определения:

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= =

=1×1×1+1×3×1+2×1×(-1)-2×1×1-1×1×1-1×3×(-1)=1+3-2-2-1+3=2,

A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂= =

=-(-1×1×4+1×3×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×3×(-1))=-(-4+3-1-1-4-3)=10,

A ₁₃=(-1)¹⁺³ M ₁₃= =

=-1×1×4+1×2×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×2×(-1)=-4+2-1-1-4-2=-10,

A ₁₄=(-1)¹⁺⁴ M ₁₄= =

=-(-1×1×3+1×2×1+1×1×1-1×1×1-1×1×3-(-1)×2×1)=-(-3+2-1-1-3+2)=2.

Теперь по определению

= a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄=4×2+3×10+2×(-10)+1×2=20,

то есть

=20.

Теперь, зная, что такое определитель 4-го порядка, аналогично введём определитель 5-го порядка, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄+ a ₁₅ A ₁₅.

В общем случае определитель n -го порядка вводится в предположении, что определители всех порядков до n -1-го включительно введены, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+…+ a _{1 n} A _{1 n} .

Как и в случае определителей 2-го и 3-го порядков, определитель n -го порядка обозначается в виде таблицы, взятой в прямые скобки:

.

Свойства определителей

2.1.1. Теорема. Справедливы следующие свойства определителей:

1^о. При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется.

Например, =4 и =4 (убедитесь!), то есть = .

2^о. Если все элементы строки или столбца определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число. В частности, из строки или столбца можно вынести общий множитель за знак определителя.

Например,

= =(-2)× =(-2)×4=-8

и =2× =2×2 (убедитесь!) или =2× =2×2 (убедитесь!).

3^о. Определитель не меняется, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. В частности, определитель не меняется, если из элементов строки (столбца) вычесть соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Например, если из последней строки вычесть первую, то определитель не иеняется:

= =4 (убедитесь!).

Также определитель не изменится, если последний столбец, умноженный на 3, прибавим к первому:

= =4 (убедитесь!).

4^о. Если поменять местами любые две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

=- =-4.

5^о. Если некоторая строка (столбец) определителя является суммой произведений некоторых других строк (столбцов) на произвольные числа, то определитель равен нулю. В частности, определитель, у которого пропорциональны соответствующие элементы некоторых строк (столбцов), равен нулю. Также, в частности, определитель с одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Наконец, если некоторая строка (столбец) определителя является суммой некоторых других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

Например, в следующем определителе второй столбец является суммой первого, умноженного на 2, и последнего, умноженного на (-1), а его значение равно нулю (убедитесь!):

=0.

А в следующем определителе вторая строка пропорциональна первой, определитель равен нулю (убедитесь!):

=0.

6^о. Определитель равен сумме произведений элементов i - го столбца (i - й строки) на их алгебраические дополнения:

det A = a _{1 i} A _{1 i} + a _{2 i} A _{2 i} +…+ a_ni A_ni (det A = a_{i 1} A_{i 1}+ a_{i 2} A_{i 2}+…+ a_in A_in).

Это значит, что, например, определитель 3- го порядка равен сумме произведений элементов, например, 1- го столбца, на их алгебраические дополнения:

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁+ a ₃₁ A ₃₁;

или сумме произведений элементов, например, второй строки на их алгебраические дополнения:

det A = a ₂₁ A ₂₁+ a ₂₂ A ₂₂+ a ₂₃ A ₂₃.

Например, непосредственно проверяется (проверьте!) равенство

= a ₁₂ A ₁₂+ a ₂₂ A ₂₂+ a ₃₂ A ₃₂=

=- a ₁₂ + a ₂₂ - a ₃₂ .

7^о. Сумма произведений элементов i -го столбца (i -й строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю:

a _{1 i} A _{1 j} + a _{2 i} A _{2 j} +…+ a_ni A_nj =0 (a_{i 1} A_{j 1}+ a_{i 2} A_{j 2}+…+ a_in A_jn =0).

Это значит, что, например, сумма произведений элементов 1- го столбца определителя четвёртого порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов, например, 2- го столбца равна нулю:

a ₁₁ A ₁₂+ a ₂₁ A ₂₂+ a ₃₁ A ₃₂+ a ₄₁ A ₄₂=0,

или сумма произведений элементов 2- й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов третьей строки равна нулю:

a ₂₁ A ₃₁+ a ₂₂ A ₃₂+ a ₂₃ A ₃₃+ a ₂₄ A ₃₄=0.

8^о. Определитель «треугольного» вида

равен произведению диагональных элементов a ₁₁ a ₂₂… a_nn.

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃.

Заметим, что свойство 6^о определителя является обобщением его определения.

2.2. Методы вычисления определителей. При вычислении определителей порядков, больших, чем 3, использование определения является не лучшим подходом. Действительно, если действовать по определению, то при вычислении определителя 4-го порядка, возможно, придётся вычислять 4 определителя 3-го порядка, при вычислении определителя 5-го порядка это число может возрасти до 20! Поэтому при вычислении определителей больших порядков используют специальные методы, которые основываются на их свойствах.

2.3.1. Приведение к треугольному виду. Мы знаем, что элементарными преобразованиями квадратную матрицу можно привести к треугольному или к тапециедальному виду. Это и лежит в основе метода приведения к треугольному виду. При этом учитываются все свойства определителей относительно преобразований каждого типа.

Пример. Вычислить определитель D:

1) D= ; 2) D= ; 3) D= .

Решение. 1) Вычтем из каждой строки первую (при этом по свойству 3^о значение определителя не меняется):

D= .

Мы привели D к треугольному виду. Согласно свойству 8^о он равен произведению диагональных элементов:

D=1×1×2×3=6.

2) D - - -2×

2× 2× 2× 2×(-1)×1×(-1)×10=20.

á(1) Поменяли местами первую и вторую строки. По свойству 4^о определитель изменил знак на противоположный, сохранив абсолютную величину.

(2) Первую строку прибавили к третьей и четвёртой строке и её же, умноженную на 4, прибавили ко второй. По свойству 3^о значение определителя не изменилось.

(3) Общий множитель 2 третьей строки вынесли за знак определителя (свойство 2^о).

(4) Поменяли местами вторую и третью строку. Знак определителя изменился.

(5) Вторую строку, умноженную на 7 и 3, вычли соответственно из третьей и четвёртой.

(6) Третью строку прибавили к четвёртой.

(7) Треугольный определитель равен произведению диагональных элементов.ñ

3) D=- - 0.

á(1) Первую строку, умноженную на 3, 5 и 4, вычли соответственно из второй, третьей и четвёртой строк.

(2) Определитель с одинаковыми строками равен нулю (свойство 5^о).ñ

Ответ: 1) 6; 2) 20; 3) 0.

2.3.2. Разложение определителя по строке или столбцу основано на свойстве 6^о, и заключается в том, что если в какой-либо строке или столбце определителя достаточно много нулевых элементов, то к этой строке, соответственно к столбцу, применяется данное свойство.

Пример. Вычислить определитель D:

1) D= ; 2) D= .

Решение. 1) Так как в третьем столбце только один элемент ненулевой, то разлагаем определитель по этому столбцу:

D= a ₁₃ A ₁₃+ a ₂₃ A ₂₃+ a ₃₃ A ₃₃+ a ₄₃ A ₄₃=0× A ₁₃+(-2)× A ₂₃+0× A ₃₃+0× A ₄₃=

=(-2)×(-1)²⁺³ 4× 4×(-3)× (-1)²⁺³ =12×(-1)=-12.

á(1) Из последнего столбца вычли второй, умноженный на 2, и из второго столбца вынесли 2 за знак определителя.

(2) Разложили определитель по последнему столбцу.ñ

2) Предварительно преобразуем определитель, вычитая второй столбец из четвёртого, и его же, умноженного на 2, из третьего:

D= 1×(-1)⁴⁺⁴ 1×(-1)⁴⁺³ .

á(1) Разложили определитель по четвёртому столбцу.

(2) Разложили определитель по третьему столбцу.ñ

Мы свели вычисление определителя 5-го порядка к вычислению определителя 3-го порядка, что не составляет труда и предоставляется читателю.

Упражнения.

2.4.1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

2.4.4. Вычислить определители разложением по строке или столбцу:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

2.4.3. Вычислить определители:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.4.4. Доказать свойства для определителей 2-го и 3-го порядков.

Решение. Докажем, например свойство 3^о: Определитель не меняется, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Действительно, допустим, что ко всем элементам второй строки прибавлены соответствующие элементы первой, умноженные на число a. Тогда:

D= =

= a ₁₁(a ₂₂+ aa ₁₂) a ₃₃+(a ₂₁+ aa ₁₁) a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂(a ₂₃+ aa ₁₃)-

- a ₃₁(a ₂₂+ aa ₁₂) a ₁₃-(a ₂₁+ aa ₁₁) a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂(a ₂₃+ aa ₁₃)=Ä

После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых соответствующим образом, получаем

Ä=(a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃)+

+ a (a ₁₁ a ₁₂ a ₃₃+ a ₁₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₁₃- a ₃₁ a ₁₂ a ₁₃- a ₁₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₁₃)= ,

так как сумма во второй скобке равна нулю.

Упражнения.

3.3.1. Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и с помощью элементарных преобразований:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3.3.2. Найти матрицу, обратную данной, двумя способами:

а) ; б) ; в) ;

г) .

 

Глава II. Определители

Понятие определителя

Определители 2-го и 3-го порядков

1.1.1. Определение. Пусть дана квадратная матрица A второго порядка . Определителем матрицы A называется число a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂.

Определитель матрицы обозначается через , то есть, обозначение определителя матрицы второго порядка аналогично обозначению самой матрицы, только таблица заключается не в круглые скобки, а в прямые.

Таким образом, = a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂. Например, =1×8-4×(-1)= =8+4=12.

1.1.2. Определение. Пусть дана матрица третьего порядка

.

Определителем этой матрицы называется число

a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃,

и оно обозначается, аналогично определителю матрицы второго порядка, через

.

Таким образом,

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃.

Если формула для определителя матрицы второго порядка запоминается просто, то для определителя матрицы третьего порядка формула несколько сложнее. Тем не менее, следующее правило Саррюса относительно просто позволяет запомнить эту формулу.

Составляем произведения элементов главной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, как показано на диаграмме 1. Эти произведения берутся со знаком «+»

	Диаг.1

 

Составляем произведение элементов побочной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали, как показано на диаграмме 2. Эти произведения берутся со знаком «-».

	Диаг.2

 

Например,

=3×1×6+2×(-2)×0+5×(-1)×4-5×1×0-2×(-1)×6-3×(-2)×4=18-20+12+24=34.

Всюду в дальнейшем под определителями 2-го и 3-го порядков будут подразумеваться определители матриц соответствующих порядков.

Общее понятие определителя

1.2.1. Определение. Выберем в квадратной матрице второго порядка какую-нибудь строку, в общем случае i -ю, и какой-нибудь столбец, в общем случае j -й, и исключим их из матрицы. Оставшийся элемент назовём минором элементаa_ij и обозначим его через M_ij. Число A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A.

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= a ₂₂, A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂=- a ₂₁,

A ₂₁=(-1)²⁺¹ M ₂₁=- a ₁₂, A ₂₂=(-1)²⁺² M ₂₂= a ₁₁,

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂= a ₂₁ A ₂₁+ a ₂₂ A ₂₂= a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁= a ₁₂ A ₁₂+ a ₂₂ A ₂₂.

Аналогичное проделаем с квадратной матрицей третьего порядка. Именно, исключив i -ю строку и j -й столбец, получим матрицу второго порядка, определитель которой называется минором элементаa_ij и обозначается через M_ij, A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij. Заметим, что

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁+ a ₃₁ A ₃₁,

и, вообще,

det A = a _{1 i} A _{1 i} + a _{2 i} A _{2 i} + a _{3 i} A _{3 i} ,

а также

det A = a_{i 1} A_{i 1}+ a_{i 2} A_{i 2}+ a_{i 3} A_{i 3}

для любого i =1, 2, 3.

Пусть теперь дана матрица четвёртого порядка

A = .

Проделав ту же процедуру, что и с матрицами 2-го и 3-го порядков, введём для элементов a_ij этой матрицы миноры M_ij и алгебраические дополнения A_ij.

Определителем матрицы 4-го порядка называется число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄.

Например, вычислим следующий определитель, исходя из определения:

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= =

=1×1×1+1×3×1+2×1×(-1)-2×1×1-1×1×1-1×3×(-1)=1+3-2-2-1+3=2,

A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂= =

=-(-1×1×4+1×3×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×3×(-1))=-(-4+3-1-1-4-3)=10,

A ₁₃=(-1)¹⁺³ M ₁₃= =

=-1×1×4+1×2×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×2×(-1)=-4+2-1-1-4-2=-10,

A ₁₄=(-1)¹⁺⁴ M ₁₄= =

=-(-1×1×3+1×2×1+1×1×1-1×1×1-1×1×3-(-1)×2×1)=-(-3+2-1-1-3+2)=2.

Теперь по определению

= a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄=4×2+3×10+2×(-10)+1×2=20,

то есть

=20.

Теперь, зная, что такое определитель 4-го порядка, аналогично введём определитель 5-го порядка, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄+ a ₁₅ A ₁₅.

В общем случае определитель n -го порядка вводится в предположении, что определители всех порядков до n -1-го включительно введены, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+…+ a _{1 n} A _{1 n} .

Как и в случае определителей 2-го и 3-го порядков, определитель n -го порядка обозначается в виде таблицы, взятой в прямые скобки:

.