Нахождение из графика параметров зависимостей

Для начала рассмотрим случай линейной зависимости. Пусть из теоретических соображений известно, что физические величины и связаны соотношением

и требуется определить значение коэффициентов , . Казалось бы, алгоритм прост: строим график , наносим на него экспериментальные точки, проводим прямую, по которой легко находятся искомые коэффициенты. Однако экспериментальные точки зачастую не ложатся на одну линию, поэтому прямую по ним можно построить не одну и получить разные (хотя и близкие) значения для коэффициентов. Как же провести оптимальную прямую? Наиболее простой способ сделать это — провести линию так, чтобы по обе стороны от неё оказалось одинаковое количество экспериментальных точек, и линия проходила через все области ошибок точек. Для этого удобно использовать прозрачную линейку. Бывают случаи, когда прямая не проходит через все области ошибок точек – в этом случае погрешность эксперимента недооценена, и прямая строится так, чтобы она лежала максимально близко к полученным значениям точек. Данный способ не является самым точным и некоторый произвол в проведении прямой всё ещё остаётся, но считается, что получающаяся точность достаточна для школьных олимпиад (вплоть до заключительного этапа всероссийской). Более точным является метод наименьших квадратов (МНК). Его идея заключается в поиске прямой, сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от которой была бы минимальна. Значения коэффициентов и при этом задаются следующими выражениями:

где угловыми скобками обозначено усреднение: . На олимпиадах можно пользоваться методом наименьших квадратов (особенно если калькулятор позволяет легко проводить статистические расчёты), однако это занимает больше времени, чем способ с прозрачной линейкой, и не будет оценено дополнительными баллами[4].

Помимо определения значений коэффициентов и нужно ещё узнать их погрешность. При использовании МНК, погрешности коэффициентов рассчитываются по формулам:

Для графической оценки погрешности коэффициента нужно повернуть линию 2 раза таким образом, чтобы отношение количества точек сверху и снизу линии в первый раз оказалось равным 2:1, а во второй раз 1:2. Таким образом, получается верхняя ограничивающая линия с угловым коэффициентом и нижняя с коэффициентом . Затем погрешность рассчитывается по формуле

где — количество точек на графике. Аналогично проводится графическая оценка погрешности коэффициента , только теперь нужно не менять наклон линии, а смещать её параллельно. Однако, все подобные правила являются условными, основная цель данных построений – рассчитать угловой коэффициент прямой и его погрешность.

Пример:

Пусть на тела разной массы действует одинаковая сила, и был проведен эксперимент по определению ускорения этих тел. Необходимо узнать, какова была сила, действующая на тела.

Тогда в предположении выполнения второго закона Ньютона, построим график зависимости массы тела от обратной величины ускорения этого тела. Проведем через экспериментальные точки прямую, угловой коэффициент которой окажется равным силе , действующей на тела.

Найдем из графика:

Линеаризация

Более сложным является случай, когда исследуемая зависимость не линейна. Действительно, на глаз невозможно отличить кубическую параболу от квадратичной! Для того, чтобы проверить подобную зависимость, нужно провести линеаризацию, то есть отложить по осям такие величины, зависимость между которыми линейна.

Пусть теоретическая зависимость имеет вид

и из эксперимента нужно определить соответствуют ли экспериментальные точки данной зависимости, и, если соответствуют, найти величины и . Для этого по вертикальной оси нужно отложить величину , а по горизонтальной — . В новых координатах зависимость будет линейной:

Если экспериментальные точки в новых координатах графика ложатся на прямую, то можно утверждать, что экспериментальные точки отвечают теоретической зависимости. По наклону прямой определяется (угловой коэффициент графика будет составлять ), а по смещению (смещение будет составлять ) и известному значению рассчитывается . Наиболее частые зависимости в школьном курсе физики и их линеаризация приведены в таблице:

Зависимость	1ая новая перемен.	2ая новая перем.	Линеаризованная зависимость	Угловой коэфф.	Смещен.
не
не

Оформление решения экспериментальной задачи

Всероссийская олимпиада школьников по физике ­состоит из четырех этапов. На третьем (региональном) и четвёртом (заключительном) помимо теоретического тура имеется экспериментальный, на котором учащимся предлагается решить две практических задачи. Поскольку практическая задача на олимпиаде принципиально отличается от лабораторной работы в школе (в первую очередь тем, что школьнику часто необходимо самому придумать метод решения), то правила оформления отчёта по экспериментальной олимпиадной задаче имеют свои особенности. Неправильное оформление экспериментальной задачи на олимпиаде может привести к потере баллов и, как следствие, шансов на успех. Далее будут изложены советы и рекомендации по оформлению работы на экспериментальном туре олимпиады. Предполагается, что читатель знаком с рекомендациями по расчёту погрешностей измерений и построению графиков, о которых подробно написано в соответствующих документах.

Структура работы

Структура решения по экспериментальной работе на олимпиаде должна состоять из нескольких обязательных пунктов:

1. Описание метода измерений и экспериментальной установки

2. Теоретическое обоснование эксперимента

3. Измеренные величины

4. Оценка погрешностей

5. Представление результатов и ответы на поставленные вопросы

Порядок пунктов может быть любым. Важно, чтобы любое измерение в задаче было рассмотрено с позиции этих пунктов.

В отличие от лабораторной работы, не требуется приводить цель работы и список используемого оборудования. Цель любой работы на экспериментальном туре олимпиады одна — ответить на поставленный в условии вопрос, по возможности проведя измерения с наибольшей точностью. Список оборудования, которое должно быть предоставлено учащемуся и может быть использовано при решении задачи, всегда указывается в условии, и жюри с ним знакомо не хуже школьника. Написав эти вещи в своей работе, участник лишь потеряет драгоценное время, не получив за это баллов.

Использование черновика часто бывает неоправданным, так как перенос записей из него в «чистовик» занимает много времени. В «черновике» участник делает пометки для себя, а всё то, что хочется донести до жюри, нужно оформлять сразу в «чистовике».